組合數(shù)學(xué)試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.從5個不同元素中選3個的組合數(shù)是（）A.10B.15C.202.5個人站成一排，共有（）種排法A.120B.24C.603.滿足x+y+z=5（x,y,z為非負(fù)整數(shù)）的解的個數(shù)是（）A.21B.15C.104.一個集合有4個元素，它的子集個數(shù)是（）A.8B.16C.325.8個相同的球放入3個不同盒子，允許有空盒，方法數(shù)是（）A.45B.55C.656.從1-10中選3個不同數(shù)，使它們成等差數(shù)列，有（）種選法A.20B.16C.127.有3種顏色給4個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域不同色，方法數(shù)是（）A.36B.48C.728.用紅、黃、藍(lán)三色給正方體6個面染色，方法數(shù)是（）A.21B.24C.279.10個人圍圓桌而坐，有（）種坐法A.9!B.10!C.8!10.有5個男生，3個女生排成一排，女生不相鄰的排法有（）種A.$A_{5}^5A_{6}^3$B.$A_{5}^5A_{5}^3$C.$A_{8}^8-A_{5}^5A_{3}^3$多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下屬于組合數(shù)學(xué)研究內(nèi)容的有（）A.排列組合B.遞推關(guān)系C.容斥原理D.圖論2.關(guān)于組合數(shù)$C_{n}^k$正確的是（）A.$C_{n}^k=C_{n}^{n-k}$B.$C_{n}^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$C.$C_{n}^k+C_{n}^{k+1}=C_{n+1}^{k+1}$D.$C_{n}^0=1$3.下列哪些是解決組合問題的常用方法（）A.加法原理B.乘法原理C.隔板法D.捆綁法4.用0、1、2、3組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，正確的是（）A.千位不能為0B.共有$A_{4}^4$個四位數(shù)C.共有$3\timesA_{3}^3$個四位數(shù)D.偶數(shù)有$A_{3}^3+2\timesA_{2}^2$個5.關(guān)于容斥原理，說法正確的是（）A.可用于計算多個集合的并集元素個數(shù)B.是組合數(shù)學(xué)重要工具C.計算時需考慮集合間交集情況D.形式有兩個集合、三個集合等多種6.滿足$x_1+x_2+x_3=10$（$x_1,x_2,x_3$為正整數(shù)）的解有（）A.用隔板法求解B.解的個數(shù)為$C_{9}^2$C.等價于$y_1+y_2+y_3=7$（$y_1,y_2,y_3$為非負(fù)整數(shù)）的解D.解的個數(shù)為$C_{12}^2$7.以下哪些問題可以用排列組合知識解決（）A.分配任務(wù)B.安排座位C.分組活動D.計算概率8.關(guān)于錯位排列$D_n$，正確的是（）A.$D_1=0$B.$D_2=1$C.$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$D.$D_n=n!(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!})$9.從1-15中選3個數(shù)，使它們的和為偶數(shù)，選法有（）A.三個偶數(shù)相加B.兩個奇數(shù)一個偶數(shù)相加C.計算組合數(shù)$C_{7}^3+C_{8}^2\timesC_{7}^1$D.計算組合數(shù)$C_{8}^3+C_{8}^1\timesC_{7}^2$10.用黑白兩色給一個正六邊形的頂點染色，方法數(shù)計算中可能涉及（）A.旋轉(zhuǎn)等價情況B.反射等價情況C.不考慮等價情況有$2^6$種D.利用Burnside引理求解判斷題（每題2分，共10題）1.排列是有序的，組合是無序的。（）2.二項式定理$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^ka^{n-k}b^{k}$。（）3.從n個元素中取r個元素的排列數(shù)一定大于組合數(shù)。（）4.用4種顏色給地圖上5個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域不同色，至少需要4種顏色。（）5.遞推關(guān)系只能用迭代法求解。（）6.容斥原理中求多個集合交集元素個數(shù)需逐步計算。（）7.10個球放入5個盒子，每個盒子至少一個球，方法數(shù)是$C_{9}^4$。（）8.錯位排列$D_n$隨著n增大，$D_n$與$n!$的比值趨近于$e^{-1}$。（）9.用3種顏色給正方體染色，考慮旋轉(zhuǎn)等價，染色方法數(shù)小于不考慮旋轉(zhuǎn)等價的情況。（）10.組合數(shù)學(xué)中的組合恒等式都可以通過數(shù)學(xué)歸納法證明。（）簡答題（每題5分，共4題）1.簡述加法原理和乘法原理。加法原理：完成一件事有n類辦法，在第1類辦法中有$m_1$種不同方法，在第2類辦法中有$m_2$種不同方法……在第n類辦法中有$m_n$種不同方法，那么完成這件事共有$N=m_1+m_2+\cdots+m_n$種不同方法。乘法原理：完成一件事需要分成n個步驟，做第1步有$m_1$種不同方法，做第2步有$m_2$種不同方法……做第n步有$m_n$種不同方法，那么完成這件事共有$N=m_1\timesm_2\times\cdots\timesm_n$種不同方法。2.用隔板法求方程$x_1+x_2+\cdots+x_k=n$（$x_i$為正整數(shù)，$n\geqk$）解的個數(shù)。將n個相同元素排成一排，它們之間有n-1個空，插入k-1個隔板，將其分成k份，對應(yīng)$x_1,x_2,\cdots,x_k$。則解的個數(shù)為$C_{n-1}^{k-1}$。3.簡述容斥原理在計算三個集合并集元素個數(shù)時的公式及含義。公式：$|A\cupB\cupC|=|A|+|B|+|C|-|A\capB|-|A\capC|-|B\capC|+|A\capB\capC|$。含義是先將三個集合元素個數(shù)相加，由于兩兩交集部分被重復(fù)計算了，所以減去，而三個集合交集部分先加了三次又減了三次，所以最后要加上。4.什么是錯位排列？錯位排列是指將n個元素重新排列，使得每個元素都不在原來的位置上。記為$D_n$，有遞推公式$D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2})$，也有通項公式$D_n=n!(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\cdots+(-1)^n\frac{1}{n!})$。討論題（每題5分，共4題）1.討論排列組合在生活中的應(yīng)用實例。在生活中，如安排座位，不同人坐在不同位置是排列問題；分組做游戲，將人員分成不同小組是組合問題。分配任務(wù)、抽獎等場景也常用到排列組合知識，能幫助我們計算不同安排方式的數(shù)量。2.分析解決復(fù)雜組合問題時常用的思路和方法。常用思路是先分析問題本質(zhì)，確定是排列還是組合問題。方法有分情況討論，利用加法原理將復(fù)雜問題分解；用乘法原理分步處理；還可借助隔板法、捆綁法等特殊方法。容斥原理用于處理有重疊情況，遞推關(guān)系可解決有規(guī)律變化的問題。3.探討組合數(shù)學(xué)與其他數(shù)學(xué)分支的聯(lián)系。組合數(shù)學(xué)與概率論緊密相關(guān)，計算概率常需用排列組合知識確定基本事件個數(shù)。與圖論也有聯(lián)系，圖的染色、路徑計數(shù)等問題可轉(zhuǎn)化為組合問題求解。在代數(shù)中，二項式定理就是組合數(shù)學(xué)的成果應(yīng)用。4.說說如何驗證組合恒等式。可以用數(shù)學(xué)歸納法，先驗證基礎(chǔ)情況成立，再假設(shè)n=k時成立，推導(dǎo)n=k+1時也成立。也可通過組合意義解釋，從不同角度分析同一個組合問題，得出等式兩邊的表達式，從而驗證恒等式。還可以用代數(shù)方法，通過公式化簡變形來驗證。答案單項選擇題1.A2.A3.A4.B5.B