聯考理數試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.若集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,4\}\)，則\(A\cupB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2\}\)C.\(\{1,3\}\)D.\(\varnothing\)2.復數\(z=2+3i\)，則\(\vertz\vert=\)（）A.\(\sqrt{5}\)B.\(\sqrt{13}\)C.\(5\)D.\(13\)3.函數\(y=\log_2x\)的定義域是（）A.\((-\infty,+\infty)\)B.\((0,+\infty)\)C.\([0,+\infty)\)D.\((-\infty,0)\)4.等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(d=2\)，則\(a_5=\)（）A.\(9\)B.\(8\)C.\(7\)D.\(6\)5.已知\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，則\(m=\)（）A.\(-2\)B.\(2\)C.\(0\)D.\(1\)6.\(\sin150^{\circ}\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)C.\(-\frac{1}{2}\)D.\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)7.拋物線\(y=4x^2\)的焦點坐標為（）A.\((0,1)\)B.\((1,0)\)C.\((0,\frac{1}{16})\)D.\((\frac{1}{16},0)\)8.若\(\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=3\)，則\(\sin\alpha\cos\alpha=\)（）A.\(\frac{1}{10}\)B.\(\frac{3}{10}\)C.\(\frac{2}{5}\)D.\(\frac{4}{5}\)9.函數\(f(x)=x^2-4x+5\)的對稱軸為（）A.\(x=2\)B.\(x=-2\)C.\(x=1\)D.\(x=-1\)10.直線\(l\)：\(3x+4y-5=0\)的斜率為（）A.\(\frac{3}{4}\)B.\(-\frac{3}{4}\)C.\(\frac{4}{3}\)D.\(-\frac{4}{3}\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是奇函數（）A.\(y=x\)B.\(y=x^2\)C.\(y=\frac{1}{x}\)D.\(y=\sinx\)2.已知雙曲線\(\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)，以下正確的是（）A.\(a=2\)B.\(b=3\)C.\(c=\sqrt{13}\)D.\(離心率e=\frac{\sqrt{13}}{2}\)3.若\(a\gtb\)，則下列不等式可能成立的是（）A.\(a^2\gtb^2\)B.\(a^3\gtb^3\)C.\(\frac{1}{a}\lt\frac{1}{b}\)D.\(ac\gtbc(c\neq0)\)4.立體幾何中，以下哪些是平行關系判定定理（）A.線面平行判定B.面面平行判定C.線面垂直判定D.面面垂直判定5.已知向量\(\vec{m}=(1,2)\)，\(\vec{n}=(x,4)\)，且\(\vec{m}\parallel\vec{n}\)，則（）A.\(x=2\)B.\(\vec{m}\cdot\vec{n}=10\)C.\(|\vec{n}|=2\sqrt{5}\)D.\(\vec{m}+\vec{n}=(3,6)\)6.以下函數在\((0,+\infty)\)單調遞增的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=2^x\)C.\(y=\log_2x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)7.關于函數\(y=\cosx\)，正確的是（）A.周期是\(2\pi\)B.值域是\([-1,1]\)C.是偶函數D.在\([0,\pi]\)單調遞增8.已知\(a\)，\(b\)，\(c\)為\(\triangleABC\)三邊，滿足\(a^2+b^2=c^2\)，則（）A.\(\triangleABC\)是直角三角形B.\(\angleC=90^{\circ}\)C.\(\sinA=\frac{a}{c}\)D.\(\cosB=\frac{b}{c}\)9.若函數\(f(x)\)零點是\(x_1\)，\(x_2\)（\(x_1\neqx_2\)），則（）A.\(f(x_1)=0\)B.\(f(x_2)=0\)C.\(f(x)\)圖像與\(x\)軸有兩個交點D.函數必為二次函數10.關于直線\(Ax+By+C=0\)（\(A\)、\(B\)不同時為\(0\)），以下說法正確的是（）A.當\(A=0\)時，直線與\(x\)軸平行B.當\(B=0\)時，直線與\(y\)軸平行C.其斜率為\(-\frac{A}{B}\)（\(B\neq0\)）D.直線過\((-\frac{C}{A},0)\)（\(A\neq0\)）三、判斷題（每題2分，共20分）1.空集是任何集合的真子集。（）2.復數的虛部可以為實數。（）3.若\(x\gty\)，則\(x^2\gty^2\)。（）4.異面直線就是空間中不同在任何一個平面內的兩條直線。（）5.等比數列的公比可以為\(0\)。（）6.\(y=\tanx\)的定義域是\(x\neqk\pi+\frac{\pi}{2},k\inZ\)。（）7.橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gtb\gt0)\)中，\(c^2=a^2+b^2\)。（）8.導數為\(0\)的點一定是函數的極值點。（）9.兩個平面垂直，一個平面內垂直于交線的直線垂直于另一個平面。（）10.設\(a\)，\(b\)是兩條直線，\(\alpha\)，\(\beta\)是兩個平面，若\(a\subset\alpha\)，\(b\subset\beta\)，\(\alpha\parallel\beta\)，則\(a\parallelb\)。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數\(y=x^2+2x-3\)的最值，并說明是最大值還是最小值及取得最值時\(x\)的值。答案：配方得\(y=(x+1)^2-4\)，因為二次項系數大于\(0\)，所以有最小值。當\(x=-1\)時，\(y_{min}=-4\)。2.求\(\cos75^{\circ}\)的值。答案：\(\cos75^{\circ}=\cos(45^{\circ}+30^{\circ})=\cos45^{\circ}\cos30^{\circ}-\sin45^{\circ}\sin30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)。3.已知等差數列\(\{a_n\}\)中，\(a_3=5\)，\(a_5=9\)，求\(a_n\)的通項公式。答案：公差\(d=\frac{a_5-a_3}{2}=\frac{9-5}{2}=2\)，\(a_1=a_3-2d=5-4=1\)。則\(a_n=a_1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1\)。4.在\(\triangleABC\)中，\(a=3\)，\(b=\sqrt{3}\)，\(\angleA=60^{\circ}\)，求\(\angleB\)。答案：由正弦定理\(\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sinB}\)，即\(\frac{3}{\sin60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{\sinB}\)，解得\(\sinB=\frac{1}{2}\)。因為\(a\gtb\)，所以\(\angleB=30^{\circ}\)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數\(y=\sinx\)與\(y=\cosx\)在\([0,2\pi]\)上的單調性有何異同？答案：相同點：在\([0,2\pi]\)上都有增區間和減區間。不同點：\(y=\sinx\)在\([0,\frac{\pi}{2}]\)遞增，\([\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}]\)遞減，\([\frac{3\pi}{2},2\pi]\)遞增；\(y=\cosx\)在\([0,\pi]\)遞減，\([\pi,2\pi]\)遞增。2.探討直線與圓的位置關系有哪些判定方法？答案：一是幾何法，通過圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)比較，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數法，聯立直線與圓的方程，通過判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。3.結合實際，談談等比數列在生活中有哪些應