北大考硏高數試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\frac{1}{x-1}\)的定義域是（）A.\(x\neq0\)B.\(x\neq1\)C.\(x\gt1\)D.\(x\lt1\)2.\(\lim\limits_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)的值為（）A.0B.1C.\(\infty\)D.不存在3.函數\(y=x^2\)在點\(x=1\)處的導數是（）A.1B.2C.3D.44.\(\intxdx\)等于（）A.\(\frac{1}{2}x^2+C\)B.\(x^2+C\)C.\(\frac{1}{3}x^3+C\)D.\(2x+C\)5.曲線\(y=x^3\)的拐點是（）A.\((0,0)\)B.\((1,1)\)C.\((-1,-1)\)D.無拐點6.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(2,m)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，則\(m\)的值為（）A.1B.2C.4D.87.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是（）A.發散的B.條件收斂的C.絕對收斂的D.不確定8.函數\(z=x^2+y^2\)在點\((1,1)\)處沿\(\vec{l}=(1,1)\)方向的方向導數為（）A.\(2\sqrt{2}\)B.\(2\)C.\(\sqrt{2}\)D.19.方程\(x^2+y^2-z^2=1\)表示的曲面是（）A.橢球面B.雙曲面C.拋物面D.圓錐面10.\(\int_{0}^{1}e^xdx\)的值為（）A.\(e\)B.\(e-1\)C.\(1-e\)D.\(e+1\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在其定義域內連續的有（）A.\(y=\sinx\)B.\(y=\frac{1}{x}\)C.\(y=\lnx\)D.\(y=e^x\)2.以下哪些是求導公式（）A.\((x^n)^\prime=nx^{n-1}\)B.\((\sinx)^\prime=\cosx\)C.\((\lnx)^\prime=\frac{1}{x}\)D.\((e^x)^\prime=e^x\)3.下列積分中，值為0的有（）A.\(\int_{-a}^{a}x^3dx\)B.\(\int_{-\pi}^{\pi}\sinxdx\)C.\(\int_{0}^{1}x^2dx\)D.\(\int_{-1}^{1}xdx\)4.多元函數\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的必要條件有（）A.\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處連續B.\(f_x(x_0,y_0)\)存在C.\(f_y(x_0,y_0)\)存在D.\(f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處偏導數連續5.下列級數中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+1)}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)6.空間曲線\(\begin{cases}x=t\\y=t^2\\z=t^3\end{cases}\)在\(t=1\)處的切線方程為（）A.\(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)B.\(x-1=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{3}\)C.\(\begin{cases}x=1+t\\y=1+2t\\z=1+3t\end{cases}\)D.\(\begin{cases}x=1-t\\y=1-2t\\z=1-3t\end{cases}\)7.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&2&0\\2&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)8.下列說法正確的是（）A.可導函數一定連續B.連續函數一定可導C.函數在某點極限存在則一定連續D.函數在某點可微則一定可導9.對于二重積分\(\iint_Df(x,y)d\sigma\)，\(D\)為\(x^2+y^2\leqslant1\)，下列說法正確的有（）A.可利用極坐標變換計算B.積分區域\(D\)是圓域C.當\(f(x,y)=1\)時，\(\iint_Df(x,y)d\sigma=\pi\)D.可以化為累次積分\(\int_{-1}^{1}\int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}f(x,y)dydx\)10.函數\(y=x^3-3x\)的極值點有（）A.\(x=-1\)B.\(x=0\)C.\(x=1\)D.\(x=2\)判斷題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sqrt{x}\)在\(x=0\)處可導。（）2.\(\lim\limits_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e\)。（）3.若\(f^\prime(x_0)=0\)，則\(x_0\)一定是\(f(x)\)的極值點。（）4.函數\(z=x^2+y^2\)的全微分\(dz=2xdx+2ydy\)。（）5.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)收斂。（）6.向量\(\vec{a}=(1,-1)\)與\(\vec{b}=(-1,1)\)平行。（）7.曲線\(y=\sinx\)的一個周期內與\(x\)軸圍成圖形的面積為\(0\)。（）8.函數\(f(x,y)=x^2+y^2\)在點\((0,0)\)處的梯度為\((0,0)\)。（）9.方程\(x^2+y^2=1\)在空間直角坐標系中表示圓柱面。（）10.定積分\(\int_{a}^{b}f(x)dx\)的值與積分變量用什么字母表示無關。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數\(y=x^3-2x^2+1\)的單調區間。答案：對\(y=x^3-2x^2+1\)求導得\(y^\prime=3x^2-4x=x(3x-4)\)。令\(y^\prime=0\)，解得\(x=0\)或\(x=\frac{4}{3}\)。當\(x\lt0\)或\(x\gt\frac{4}{3}\)時，\(y^\prime\gt0\)，函數單調遞增；當\(0\ltx\lt\frac{4}{3}\)時，\(y^\prime\lt0\)，函數單調遞減。2.計算\(\intx\sinxdx\)。答案：用分部積分法，設\(u=x\)，\(dv=\sinxdx\)，則\(du=dx\)，\(v=-\cosx\)。由分部積分公式\(\intudv=uv-\intvdu\)，得\(\intx\sinxdx=-x\cosx+\int\cosxdx=-x\cosx+\sinx+C\)。3.求函數\(z=\ln(x^2+y^2)\)的偏導數\(\frac{\partialz}{\partialx}\)和\(\frac{\partialz}{\partialy}\)。答案：\(\frac{\partialz}{\partialx}=\frac{2x}{x^2+y^2}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}=\frac{2y}{x^2+y^2}\)。4.簡述判斷級數\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂的比較判別法。答案：設\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)和\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)是兩個正項級數，且\(u_n\leqslantv_n(n=1,2,\cdots)\)。若\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)收斂，則\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)收斂；若\(\sum_{n=1}^{\infty}u_n\)發散，則\(\sum_{n=1}^{\infty}v_n\)發散。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的漸近線情況。答案：垂直漸近線：令\(x^2-1=0\)，即\(x=\pm1\)，\(x=\pm1\)是垂直漸近線。水平漸近線：\(\lim\limits_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^2-1}=0\)，\(y=0\)是水平漸近線。無斜漸近線。2.討論多元函數\(z=f(x,y)\)的極值與最值的關系。答案：極值是函數在局部范圍內的最值。函數的極值點可能是最值點，但最值點不一定是極值點，最值還可能在區域邊界取得。需比較函數在極值點與邊界點處的值才能確定最值。3.討論定積分與不定積分的聯系與區別。答案：聯系：定積分計算常借助不定積分，牛頓-萊布尼茨公式將二者相連。區別：不定積分是原函數族，定積分是一個數值。不定積分側重于求原函數，定積分用于計算面積、體積等實際問題的值。4.討論級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n^p}\)（\(p\gt0\)）的斂散性情況。答案：當\(p\gt1\)時，\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂，原級數絕對收斂；當\(0\ltp\leqslant1\)時，\(\sum_{n=1}^{\infty}\