第18章《平行四邊形》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)復(fù)習(xí)題【題型1添加條件使成為四邊形】1.如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，在條件：①AB=AD；②AC=BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD中，選擇一個(gè)條件，使得四邊形ABCD是菱形，可選擇的條件是（

）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④2.如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，那么添加下列條件能判定四邊形ABCD是正方形的是（

）

A．AB=AD且AC⊥BD B．AC⊥BD且AC和BD互相平分C．∠BAD=∠ABC且AC=BD D．AC=BD且AB=AD3.如圖，在平行四邊形ABCD中，O是BC的中點(diǎn)，連結(jié)DO并延長(zhǎng)，交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連結(jié)BD，EC．(1)求證：四邊形BECD是平行四邊形．(2)若∠A＝50°：①當(dāng)∠ADE＝°時(shí)，四邊形BECD是矩形；②當(dāng)∠ADE＝°時(shí)，四邊形BECD是菱形．4.如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB,CD的中點(diǎn)．連接BD，過(guò)點(diǎn)A作AG∥BD交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)

(1)求證：DE∥(2)若∠G=90°，則四邊形DAGB是_____，四邊形DEBF是______；(3)當(dāng)AD與BD滿(mǎn)足______時(shí)，四邊形DEBF是正方形．【題型2根據(jù)四邊形的性質(zhì)求解】1.如圖，在?ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，AB=6，BC=9，則EF長(zhǎng)為.2.中國(guó)結(jié)象征著中華民族的歷史文化與精神．小樂(lè)家有一中國(guó)結(jié)掛飾，他想求兩對(duì)邊的距離，于是利用所學(xué)知識(shí)抽象出如圖所示的菱形ABCD，測(cè)得BD=4cm,∠DAB=60°，直線(xiàn)EF過(guò)點(diǎn)O且與AB垂直，分別交AB,DC于E,F，則EF的長(zhǎng)為（A．23cm B．52cm C．3.將n個(gè)邊長(zhǎng)都為1的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)A1，A2，…，An

4.小明用4根長(zhǎng)度為6cm的相同木條制作了能夠活動(dòng)的菱形學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為如圖1所示的菱形，此時(shí)∠B=60°，接著活動(dòng)學(xué)具成為如圖2所示的正方形，則圖1中BD比圖2中的BD

A．長(zhǎng)63?62C．長(zhǎng)3cm D．短【題型3四邊形的證明】1.如圖，在短形OACB中，OA=8，OB=6，P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△OBP沿OP折疊得到△OPD，連接CD，AD．

(1)若∠BOP=45°，求證：四邊形OBPD為正方形；(2)當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，CD的最小值為_(kāi)_____；(3)當(dāng)OD⊥AD時(shí)，求BP的長(zhǎng)．2.如圖，在四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，G，H分別是BD，AC的中點(diǎn)，順次連接各點(diǎn)得到四邊形EGFH．

(1)求證：四邊形EGFH是平行四邊形；(2)若AB=CD，求證：?EGFH是菱形．3.如圖，在平行四邊形ABCD中，AF平分∠BAD，DE平分∠ADC，且BE=CF，AF=DE．

(1)求證：△ABF≌△DCF；(2)求證：四邊形ABCD是矩形；(3)若AB=3，BC=5，求EF的長(zhǎng)．4.如圖1，矩形ABCD中，E為BC中點(diǎn)，連接AE，BF⊥AE于點(diǎn)G，交CD于F，DH⊥AE于點(diǎn)H，GI∥CD，交DH于點(diǎn)

(1)求證：GI=DF；(2)若DF=FG，求證：A、I、F三點(diǎn)共線(xiàn)；(3)如圖2，連接HC交BF于點(diǎn)P，連接PI，求證：四邊形GPIH是矩形．【題型4根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)】1.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，E為BC上一點(diǎn)，且BE=1，作EF⊥AE交邊CD于F，將△CEF沿EF折疊后點(diǎn)C恰好落在AD邊上的G處，則AD長(zhǎng)＝．

2.如圖，將邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD沿EF對(duì)折再展平，沿折痕剪開(kāi)，得到矩形ABEF和矩形CEFD，再將矩形ABEF繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F′，則圖②中陰影部分的周長(zhǎng)為

3.如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在矩形的各邊上，且AE=CG，BF=DH，則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為．4.如圖，在?ABCD中，∠BAC=90°，AB=AC，過(guò)點(diǎn)A作邊BC的垂線(xiàn)AF交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，點(diǎn)F是垂足，連接BE、DF，DF交AC于點(diǎn)O．則下列結(jié)論：①四邊形ABEC是正方形；②DE=2BC，③

A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【題型5根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求角度】1.如圖，?ABCD對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC且DE=OC，連接CE，OE，(1)求證：?ABCD是菱形；(2)若AB=4，∠ABC=60°，求AE的長(zhǎng)．2.如圖，在一正方形ABCD中，E為對(duì)角線(xiàn)AC上一點(diǎn)，連接EB、ED．（1）求證：△BEC≌△DEC．（2）延長(zhǎng)BE交AD于點(diǎn)F，若FD=FE．求∠AFE的度數(shù)．3.如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，CF∥BE，CF交DE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接BF交

(1)求證：CF=BE；(2)若BE=2DE，∠ACB=70°，求∠BFC的度數(shù)．4.在平行四邊形ABCD中，∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E，交直線(xiàn)DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F．（1）如圖①，求證：CE=CF；（2）如圖②，若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)，猜想BG和DG的關(guān)系，并證明；（3）如圖③，若∠ABC=120°，F(xiàn)G∥CE，F(xiàn)G=CE，連接DB、DG，求∠BDG的度數(shù)．【題型6根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求面積】1.如圖，矩形ABCD中，AC交BD于點(diǎn)O，且AB=24，BC=10，將AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至CE．連接AE，且F、G分別為AE、EC的中點(diǎn)，則四邊形OFGC的面積是（）A．100 B．144 C．169 D．2252.已知點(diǎn)E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F，連接AC，BF，AF=BC．

(1)求證：四邊形ABFC為矩形；(2)若△AFD是等邊三角形，且邊長(zhǎng)為6，求四邊形ABFC的面積．3.如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB=BC=2CD，E為對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，連接DE，EF．

(1)求證：四邊形CDEF為菱形；(2)連接DF交AC于點(diǎn)G，若DF=3，CD=52，求四邊形4.如圖，在Rt△ABC中，AC=BC，點(diǎn)P是BC上一點(diǎn)，BD⊥AP交AP延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，連接CD．若圖中兩陰影三角形的面積之差為32（即，S△ACP?S

【題型7三角形的中位線(xiàn)】1.如圖，某花木場(chǎng)有一塊如四邊形ABCD形狀的空地，其中AD//BC,∠B=∠BCD，其各邊中點(diǎn)分別是E、F、G、H，測(cè)得對(duì)角線(xiàn)AC=10m，現(xiàn)想利用籬笆圍成四邊形EFGHA．40m B．30m C．20m D．10m2.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，E為AD中點(diǎn)，OE=4，則菱形ABCD的周長(zhǎng)為．3.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC，且DE=12AC．連接CE，OE，OE

(1)求證：四邊形OCED是矩形；(2)若AD=10，求OF的長(zhǎng)．4.如圖，DE是△ABC的中位線(xiàn)，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，CF的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)G，若△CFE的面積為2，則△ABC的面積為（

）

A．18 B．16 C．14 D．12【題型8中點(diǎn)四邊形】1.如圖，四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1B1C1D1，再順次連接四邊形A1B①四邊形A2②四邊形A4③四邊形A5B5④四邊形AnBnA．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2.如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別是四邊形ABCD邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．則正確的是（

）

A．若AC=BD，則四邊形EFGH為矩形B．若AC⊥BD，則四邊形EFGH為菱形C．若EFGH是平行四邊形，則AC與BD互相平分D．若EFGH是正方形，則AC與BD互相垂直且相等3.如圖1，P是線(xiàn)段AB上的一點(diǎn)，在AB的同側(cè)作△APC和△BPD，使PC=PA，PD=PB，∠APC=∠BPD，連接CD，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AC，AB，BD，CD的中點(diǎn)，順次連接E，F(xiàn)，G，H．(1)猜想四邊形EFGH的形狀，直接回答，不必說(shuō)明理由；(2)點(diǎn)P在線(xiàn)段AB的上方時(shí)，如圖2，在△APB的外部作△APC和△BPD，其他條件不變，（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由；(3)如果（2）中，∠APC=∠BPD=90°，其他條件不變，先補(bǔ)全圖3，再判斷四邊形EFGH的形狀，并說(shuō)明理由．4.問(wèn)題背景：△ABC和△CDE均為等邊三角形，且邊長(zhǎng)分別為a，b，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，點(diǎn)F，G，H，I分別為AB，BE，ED，AD的中點(diǎn)，連接FG，GH，HI，IF猜想證明：(1)如圖①，判斷四邊形FGHI是什么特殊四邊形，并說(shuō)明理由．(2)當(dāng)a＝6，b＝2時(shí)，求四邊形FGHI的周長(zhǎng)．拓展延伸：(3)如圖②，當(dāng)四邊形FGHI是正方形時(shí)，連接AE，BD相交于點(diǎn)N，點(diǎn)N，H恰好在FC上．求證：△ABN和△DEN均為等腰直角三角形．參考答案【題型1添加條件使成為四邊形】1.C【分析】根據(jù)題意和菱形的判定進(jìn)行選擇即可，先證△DAO≌△BCO(ASA)，得OA=OC，再證四邊形【詳解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠ADO=∠CBO，∵點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∴OD=OB，在△DAO和△BCO中，∠HAM=∠HFGAH=FH∴△DAO≌△BCO(ASA∴OA=OC，∵OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，①∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD，∴平行四邊形ABCD是菱形；③∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形；④∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴∠DCA=∠DAC，∴AD=CD，∴平行四邊形ABCD是菱形．綜上所述：選擇①③④，使得四邊形ABCD是菱形，故選：C．2.D【分析】根據(jù)正方形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AB=AD，∴四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，不能證明四邊形ABCD是正方形，不符合題意；B、∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC和BD互相平分，∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形，不能證明四邊形ABCD是正方形，不符合題意；C、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD∴四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，不能證明四邊形ABCD是正方形，不符合題意；D、∵四邊形ABCD是平行四邊形，AC=BD∴四邊形ABCD是矩形，又AB=AD，∴四邊形ABCD是正方形，符合題意；故選D．3.（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝CD，∴∠OEB＝∠ODC又∵O為BC的中點(diǎn)，∴BO＝CO，在△BOE和△COD

中，∠OEB=∠ODC∴△BOE≌△COD

∴OE＝OD，∴四邊形BECD是平行四邊形；（2）解：①當(dāng)∠ADE=80°時(shí)，四邊形BECD是矩形；理由：∵∠A=50°，∠ADE=80°，∴∠AED=50°，∴∠A=∠AED，∴AD=DE，∵AB=CD=BE，∴BD⊥AE，∴∠DBE=90°，∵四邊形BECD是平行四邊形，∴四邊形BECD是矩形；②當(dāng)∠ADE=90°時(shí)，四邊形BECD是菱形，∵∠A=50°，∠ADE=90°，∴∠AED=40°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CBE=∠A=50°，∴∠BOE=90°，∴BC⊥DE，∴四邊形BECD是菱形，故答案為：80，90．4.（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DF∥BE，又∵E，F(xiàn)分別為邊AB，CD的中點(diǎn)，∴DF=12DC∴DF=BE．∴四邊形DEBF是平行四邊形．∴DE∥（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥∵AG∥∴四邊形DAGB是平行四邊形，而∠G=90°，∴四邊形DAGB是矩形，∴∠ADB=90°，∵E為AB的中點(diǎn)，∴DE=BE，而四邊形DEBF是平行四邊形．∴四邊形DEBF是菱形．（3）當(dāng)AD⊥BD且AD=BD時(shí)，四邊形DEBF是正方形．理由：∵AD⊥BD且AD=BD，∴∠EDB=45°，∵DE=BE，∴∠EBD=∠EDB=45°，∴∠DEB=90°，∵E為AB中點(diǎn)，AD⊥BD，∴ED=EB，由（1）得：四邊形DEBF是平行四邊形．∴四邊形DEBF是正方形．【題型2根據(jù)四邊形的性質(zhì)求解】1.3【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，角平分線(xiàn)的定義，等角對(duì)等邊；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，得出AF=AB是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC=9；根據(jù)兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AFB=∠FBC；根據(jù)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角的射線(xiàn)，叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)可得∠ABF=∠FBC；推得∠ABF=∠AFB，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AF=AB=6，DE=DC=6，即可列出等式，求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，DC=AB=6，AD=BC=9，∵AD∥BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，則∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=6，同理可證：DE=DC=6，∵EF=AF+DE?AD=2，即6+6?EF=9，解得：EF=3；故答案為：3．2.A【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出AD=AB，BO=12BD=2cm，AC⊥BD，推出△ABD是等邊三角形，AD=AB=BD=4cm，根據(jù)勾股定理求出AO=2【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，BO=12BD=2∵∠DAB=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AD=AB=BD=4cm根據(jù)勾股定理可得：AO=A∴AC=2AO=43∵S菱形∴12解得：EF=23故選：A．3.1011【分析】連接A1A2，A1D，根據(jù)正方形性質(zhì)可得∠A1A2【詳解】解：連接A1A2

∵正方形的邊長(zhǎng)為1，∴∠A1A2B=∠∴∠BA∴△BA∴2個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積為S△∴3個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和=3?1∴4個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和=1?1∴5個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和=5?1…∴2023個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和=2023?1故答案為：101124.A【分析】如圖1，連接AC，BD交于點(diǎn)O，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求出BD；在圖2中，連接BD，由正方形的性質(zhì)求出【詳解】解：如圖1，連接AC，BD交于點(diǎn)∵∠B=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=6cm∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=12AC=3cm，∴OB=A∴BD=2OB=63在圖2中，連接BD，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∴BD=A∴圖1中BD比圖2中的BD長(zhǎng)63故選：A．

【題型3四邊形的證明】1.（1）證明：∵四邊形OACB是矩形，∴∠OBC=90°，∵將△OBP沿OP折疊得到△OPD，∴OB=OD，∠PDO=∠OBP=90°，∠BOP=∠DOP，∵∠BOP=45°，∴∠DOP=∠BOP=45°，∴∠BOD=90°，∴∠BOD=∠OBP=∠ODP=90°，∴四邊形OBPD是矩形，∵OB=OD，∴四邊形OBPD為正方形；（2）解：如圖，連接OC，如圖所示：

則OD+CD≥OC，即當(dāng)OD+CD=OC時(shí)，CD取最小值，∵AC=OB=6，OA=8，∴OC=O∴CD=OC?OD=10?6=4，即CD的最小值為4；（3）解：∵OD⊥AD，∴∠ADO=90°，∵∠ODP=∠OBP=90°，∴∠ADP=180°，∴P，D，A三點(diǎn)共線(xiàn)，∵OA∥CB，∴∠OPB=∠POA，∵∠OPB=∠OPD，∴∠OPA=∠POA，∴AP=OA=8，∵AC=6，∴CP=P∴BP=BC?CP=8?272.（1）證明：∵點(diǎn)E與點(diǎn)H分別為AD，AC的中點(diǎn)，∴EH是△ADC的中位線(xiàn)，∴EH∥CD，同理：GF∥CD，∴GF∥EH，∴四邊形EGFH是平行四邊形；（2）證明：∵點(diǎn)F與點(diǎn)H分別為BC，AC的中點(diǎn)，∴FH是△ABC的中位線(xiàn)，∴FH=1∵FG=12CD∴FH=FG，由（1）知四邊形EGFH是平行四邊形，∴?EGFH是菱形．3.（1）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，又∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在△ABF和△DCE中，AB=DC∴△ABF≌△DCE(SSS（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C，又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠B+∠C=180°，∴∠B=∠C=90°，∴四邊形ABCD是矩形；（3）∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD=90°，CD=AB=3又∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF=∠AFB=45°，∴BF=AB=3，又∵BF=CE，∴CE=BF=3，∴EF=BF+CE?BC=1．4.（1）解：證明：∵BF⊥AE，DH⊥AE，∴∠AGF=∠AHD=90°，∴BF∥DH，即又∵GI∥∴四邊形DFGI是平行四邊形，∴GI=DF．（2）證明：連接DG、AF、IF，由（1）得四邊形DFGI是平行四邊形，∵DF=FG，∴平行四邊形DFGI是菱形，∴FI是DG的垂直平分線(xiàn)，在矩形ABCD中，∠ADF=90°，∵BF⊥AE，∴∠AGF=90°=∠ADF，∴Rt△ADF≌∴AD=AG，∴點(diǎn)A在DG的垂直平分線(xiàn)上，∴A、I、F三點(diǎn)共線(xiàn)．

（3）證明：延長(zhǎng)AE、DC，交于點(diǎn)Q，在矩形ABCD中，AB=DC，∠ABE=∠BCD=∠ECQ=90°，∵E為BC中點(diǎn)，∴BE=CE，∵∠AEB=∠OEC，∴△ABE≌△QCE(ASA∴CQ=BA=CD，∴C為DQ中點(diǎn)，又∵AE⊥BF，DH⊥AE，∴∠FGH=∠DHQ=90°，∴在Rt△DHO中，HC=∴∠CHD=∠CDH，由（1）得，四邊形DFGI是平行四邊形，∴∠IGF=∠CDI，∴∠IGF=∠CHD，∴90°?∠IGF=90°?∠CHD，即∠PHG=∠IGH，∵∠PGH=∠IHG=90°，HG=GH，∠PHG=∠IGH，∴△PGH≌△IHG(ASA∴IH=PG，又∵IH∥∴四邊形IHGP是平行四邊形，又∵∠DHQ=90°，∴平行四邊形IHGP是矩形．

【題型4根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)】1.7【分析】如圖，連接AF，過(guò)E作EH⊥AD于H，證明四邊形EHDC為矩形，求解AE=22+12=5，設(shè)CF=x，CE=y，EF=z，則x2+y2=z2，由等面積法可得：12【詳解】解：∵矩形ABCD，∴∠B=∠BAD=∠D=∠C=90°，AB=CD=2，如圖，連接AF，過(guò)E作EH⊥AD于H，則四邊形EHDC為矩形，∴HD=EC，EH=CD=2，∵AE⊥EF，∴∠AEF=90°，

∵BE=1，∴AE=2設(shè)CF=x，CE=y，EF=z，則x2由等面積法可得：12整理得：x+2y=5z，則∴4x2?4xy+∴y=2x，設(shè)GD=n，∴HG=2x?n，由對(duì)折可得：GF=FC=x，∠EGF=∠C=90°，EG=EC=2x，而DF=2?x，同理可得：12整理得：x4x?n?4∵x≠0，∴4x?n?4=0，即n=4x?4，∴GH=2x?4x?4由勾股定理可得：EH∴4+4?2x解得：x=5∴AD=BC=2x+1=5故答案為：72.10【分析】首先根據(jù)已知條件判斷出△BGE≌△FGDAAS，得到BG=FG，EG=DG，然后可設(shè)FG的長(zhǎng)度為x，則DG=4?x【詳解】解：如圖，設(shè)BD交EF于G，EF旋轉(zhuǎn)后交CD于點(diǎn)H，

由題意知，BE=FD=2，∠B=∠F=90°，又∵∠BGE=∠FGD，∴△BGE≌∴BG=FG，EG=DG，設(shè)BG=FG=x，則DG=4?x，在Rt△FDG中，4?x解得：x=3∴DG=4?x=5∵DG∥EH，∴四邊形DGEH為平行四邊形，又∵EG=DG，∴?DGEH為菱形，∴陰影部分的周長(zhǎng)為：52故答案為：10．3.6【分析】先證明四邊形EFGH是平行四邊形，延長(zhǎng)EB，使得BE′=BE，連接FE′，GE′，則E和E′關(guān)于BC對(duì)稱(chēng)，由EF+FG=E′F+FG≥E′G得，當(dāng)E′、F、G共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，EF+FG最小，最小值為GE′的長(zhǎng)，過(guò)G作GP⊥AB于P【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∵AE=CG，BF=DH，∴AH=CF，BE=DG，∴△AEH≌△CGFSAS，△BEF≌△DGH∴EH=GF，EF=GH，∴四邊形EFGH是平行四邊形，延長(zhǎng)EB，使得BE′=BE，連接FE′，GE′∴EF=E∴EF+FG=E′F+FG≥E′G，當(dāng)E′、F過(guò)G作GP⊥AB于P，則∠GPB=∠B=∠C=90°，∴四邊形BCGP是矩形，∴BP=CG=AE，GP=BC=6，在Rt△GPE′由勾股定理得E′∴EF+FG最小值為35則四邊形EFGH周長(zhǎng)的最小值為2EF+FG故答案為：654.D【分析】①先證明△ABF≌△ECF，得AB=EC，再得四邊形ABEC為平行四邊形，進(jìn)而由∠BAC=90°，得四邊形ABCD是正方形，便可判斷正誤；②根據(jù)BC=2AB，③根據(jù)正方形的性質(zhì)，得出AE與BC互相垂直平分，然后利用等底等高的三角形面積相等即可解決問(wèn)題．【詳解】∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥∴∠BAF=∠CEF，在△ABF和△EFC中，∠BAF=∠CEF∠BFA=∠CFE∴△ABF≌△EFCAAS∴AB=CE，∴四邊形ABEC是平行四邊形，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴四邊形ABEC是正方形，故①正確；∵AB=CD=EC，∴DE=2AB，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴AB=2∴DE=2×2故②正確；∵四邊形ABEC是正方形，∴BF=CF，AF=EF，BC⊥AE，∴S△CFD=1∴S△CFD故③正確；故選：D．【題型5根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求角度】1.（1）證明：∵DE∥AC，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵OE=CD，∴平行四邊形OCED是矩形，∴∠COD=90°，∴AC⊥BD，∴?ABCD是菱形；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，CD=AB=BC=4，AC⊥BD，∵∠ABC=60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AC=AB=4，∴OA=OC=2，在Rt△OCD中，由勾股定理得：OD=由（1）可知，四邊形OCED是矩形，∴CE=OD=23，∠OCE=90°∴AE=A即AE的長(zhǎng)為272.解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，在△BEC和△DEC中，CD=CB∠DCA=∠BCA∴△BEC≌△DEC（SAS）；（2）∵FD=FE，∴設(shè)∠FDE=∠FED=x，則∠AFE=2x，∵四邊形ABCD是正方形∴∠ACB=45°，∠EBC=∠AFE=2x∴∠AEF=∠BEC=180°-2x-45°=135°-2x，∵△BEC≌△DEC，∴∠BEC=∠DEC=135°-2x，∴∠AEF+∠DEF+∠DEC=180°，即135°-2x+x+135°-2x=180°，解得：x=30，∴∠AFE=60°．3.（1）證明：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，∴DE又∵CF∴四邊形BCFE為平行四邊形，∴CF=BE（2）解：∵點(diǎn)D，E分別是邊AB，∴BC=2DE，又∵BE=2DE，∴BC=2DE=BE，∴平行四邊形BCFE為菱形，∴∠ACB=∠ACF，∠COF=90°，∵∠ACB=70°，∴∠BFC=90°?70°=20°．4.解：（1）證明：如圖①，∵AF平分∠BAD∴∠BAF=∠DAF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，∴∠DAF=∠CEF，∠BAF=∠F，∴∠CEF=∠F.∴CE=CF；（2）解：如圖②，連接GC，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°，∴四邊形ABCD為矩形，∵AF平分∠BAD，∴∠DAF=∠BAF=45°，∵∠DCB=90°，DF//∴∠DFA=45°，∠ECF=90°∴△ECF為等腰直角三角形，∵G為EF中點(diǎn)，∴EG=CG=FG，CG⊥EF，∵△ABE為等腰直角三角形，AB=DC，∴BE=DC，∵∠CEF=∠GCF=45°，∴∠BEG=∠DCG=135°在△BEG與△DCG中，EG=CG∠BEG=∠DCG∴△BEG≌△DCG，∴BG=DG，∠DGC=∠BGA，∵CG⊥EF，∴∠DGC+∠DGA=90°，又∵∠DGC=∠BGA，∴∠BGA+∠DGA=90°，∴BG⊥DG；綜上所述：BG=DG且BG⊥DG（3）如圖3，延長(zhǎng)AB、FG交于H，連接HD.∵AD//GF，∴四邊形AHFD為平行四邊形，∵∠ABC=120°，AF平分∠BAD，∴∠DAF=30°，∠ADC=120°，∠DFA=30°，∴△DAF為等腰三角形，∴AD=DF，∴平行四邊形AHFD為菱形，∴△ADH，△DHF為全等的等邊三角形，∴DH=DF，∠BHD=∠GFD=60°，∵∠CEF=∠DAF，∠DAF=∠DFA=30°，∴∠CEF=∠DFA，∴CE=CF∵FG=CE，CE=CF，CF=BH，∴BH=GF，在△BHD與△GFD中，DH=DF∠BHD=∠GFD∴△BHD≌△GFD，∴∠BDH=∠GDF，∴∠BDG=∠BDH+∠HDG=∠GDF+∠HDG=60°.【題型6根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求面積】1.C【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理可得FG//AC,FG=OC=13，再根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形OFGC為平行四邊形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=CE,∠ACE=90°，從而可得OC=CG，最后根據(jù)正方形的判定可得四邊形【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，AB=24,AD=10，∴BD=A∵F,G分別為AE,EC的中點(diǎn)，∴FG//∴FG=OC，∴四邊形OFGC為平行四邊形，又∵AC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，∴AC=CE,∠ACE=90°，∴OC=CG，∴平行四邊形OFGC為正方形，∴四邊形OFGC的面積是OC故選：C．2.（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥∴∠BAE=∠CFE，∵點(diǎn)E是?ABCD中BC邊的中點(diǎn)，∴BE=CE，∵∠AEB=∠FEC，∴△ABE≌△FCE(AAS∴AB=FC，∵AB∥∴四邊形ABFC是平行四邊形，又∵AF=BC，∴平行四邊形ABFC為矩形；（2）解：由（1）得：四邊形ABFC為矩形，∴∠ACF=90°，∵△AFD是等邊三角形，∴AF=DF=6，CF=1∴AC=A∴四邊形ABFC的面積=AC×CF=333.（1）證明：∵E為對(duì)角線(xiàn)AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，∴EF=12AB，EF∥AB∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∵AB=BC=2CD，∴EF=CF=CD，∵CD∥EF，∴四邊形DEFC是平行四邊形，且EF=CF，∴四邊形CDEF為菱形；（2）如圖，DF與EC交于點(diǎn)G，

∵四邊形CDEF為菱形，DF=3，∴DF⊥CE，DG=12DF=∵CD=5在Rt△CDG中，GC=∴CE=2GC=4，∴四邊形CDEF的面積為：124.8【分析】延長(zhǎng)AC,BD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)H，CG⊥AD于點(diǎn)G，則∠AGC=∠BHC=90°，先證明△ACG≌△BCH，可得四邊形CGDH是正方形，從而得到CD=2DH，再證得△ACP≌△BCE，可得S△ACP=S△BCE，CP=CE，從而得到S△ACP【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AC,BD交于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)H，CG⊥AD于點(diǎn)G，則∠AGC=∠BHC=90°，

在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°∴∠BCE=∠ACB=90°，∴∠E+∠CBE=90°，∵BD⊥AP，即∠ADE=90°，∴∠CAP+∠E=90°，四邊形CGDH是矩形，∴∠CAP=∠CBE，∵AC=BC，∠AGC=∠BHC=90°，∴△ACG≌△BCH，∴CG=CH，∴四邊形CGDH是正方形，∴CH=DH，∴CD=C∵∠CAP=∠CBE,AC=BC,∠ACB=∠BCE=90°，∴△ACP≌△BCE，∴S△ACP=S∴S△ACP在Rt△CPG和Rt∵CP=CE，CG=CH，∴Rt△CPG≌∴S△CPG∴S四邊形∴DH∴CD=2故答案為：8【題型7三角形的中位線(xiàn)】1.C【分析】過(guò)點(diǎn)A作AM∥DC交BC于點(diǎn)M，連接BD，則可得四邊形AMCD是平行四邊形，從而AB=AM=DC；可證△ABC≌△DCB，則可得BD=AC=10m；再由E、F、G、H分別為中點(diǎn)，由三角形中位線(xiàn)定理，可得四邊形EFGH是平行四邊形，則可求得籬笆的總長(zhǎng)度．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AM∥DC交BC于點(diǎn)M，連接BD則∠DCB=∠AMB∵∠DCB=∠ABC∴∠AMB=∠ABC∴AM=AB

∵AD∥BC，AM∥DC

∴四邊形AMCD是平行四邊形∴AM=DC∴AB=DC在△ABC與△DCB中AB=DC∴△ABC≌△DCB(SAS)∴BD=AC=10m∵E、F、G、H分別為AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)∴GH=EF=12AC=5m，EH=FG∴四邊形EFGH是平行四邊形則籬笆的總長(zhǎng)度為2(GH+EH)=20(m)故選：C．2.32【分析】此題考查了菱形的性質(zhì)和中位線(xiàn)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)和中位線(xiàn)定理的應(yīng)用．【詳解】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=DA，OB=OD，∵E為AD中點(diǎn)，∴OE=1∴AB=BC=CD=DA=8，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為32，故答案為：32．3.（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC=12AC∴∠COD=90°．∵DE=1∴OC=DE．∵DE∥∴四邊形OCED是平行四邊形．又∵∠COD=90°，∴四邊形OCED是矩形．（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴O為AC的中點(diǎn)．∵四邊形OCED是矩形，∴F為CD的中點(diǎn)．∴OF為△ACD的中位線(xiàn)．∴OF=14.B【分析】連接AF，由E是AC中點(diǎn)得到S△AEF=S△CEF=2，由F是DE中點(diǎn)得到S△ADE=2【詳解】解：連接AF，CD，如圖，

∵DE是△ABC的中位線(xiàn)，∴E是AC中點(diǎn)，D是AB中點(diǎn)，∴S△AEF∵F是DE中點(diǎn)，∴S△ADE∵E是AC中點(diǎn)，∴S△ACD∵D是AB中點(diǎn)，∴S△ABC故選：B．【題型8中點(diǎn)四邊形】1.C【分析】首先根據(jù)題意，找出變化后的四邊形的邊長(zhǎng)與四邊形ABCD中各邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度關(guān)系規(guī)律，然后對(duì)以下選項(xiàng)做出分析與判斷：①根據(jù)矩形的判定與性質(zhì)做出判斷；②根據(jù)菱形的判定與性質(zhì)做出判斷；③由四邊形的周長(zhǎng)公式：周長(zhǎng)=邊長(zhǎng)之和，來(lái)計(jì)算四邊形A5B5C5【詳解】解：①連接A1C1∵在四邊形ABCD中，順次連接四邊形ABCD各邊中點(diǎn)，得到四邊形A1∴A1D1∥BD，B∴A1D∴四邊形A1∵AC⊥BD，∴四邊形A1∴B∴A∴四邊形A2故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；②由①知，四邊形A2∴根據(jù)中位線(xiàn)定理知，四邊形A4故本選項(xiàng)正確；③根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)易知，A5B5∴四邊形A5B5故本選項(xiàng)正確；④∵四邊形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC⊥BD，∴S由三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)可以推知，每得到一次四邊形，它的面積變?yōu)樵瓉?lái)的一半，四邊形AnBn故本選項(xiàng)正確．綜上所述，②③④正確．故選：C．2.D【分析】根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理可得HG=EF=12AC，HG∥EF∥AC，EH=FG=12【