四川省眉山市仁壽縣2025年數學高二下期末統考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓的右焦點為，短軸的一個端點為，直線與橢圓相交于、兩點.若，點到直線的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍為A． B． C． D．2．若展開式的二項式系數之和為64,則展開式的常數項為（）A．10 B．20 C．30 D．1203．的展開式中各項系數之和為（）A． B．16 C．1 D．04．命題：在三角形中，頂點與對邊中點連線所得三線段交于一點，且分線段長度比為，類比可得在四面體中，頂點與所對面重心的連線所得四線段交于一點，且分線段比為（）A． B． C． D．5．設隨機變量服從正態分布，若，則實數等于（）A． B． C． D．6．函數在處的切線方程是()A． B． C． D．7．已知命題若實數滿足，則或，，，則下列命題正確的是()A． B． C． D．8．設全集為R，集合，，則A． B． C． D．9．若對于任意實數，函數恒大于零，則實數的取值范圍是()A． B． C． D．10．，，三個人站成一排照相，則不站在兩頭的概率為（）A． B． C． D．11．已知曲線在點處切線的傾斜角為，則等于（）A．2B．-2C．3D．-112．某次聯歡會要安排3個歌舞類節目、2個小品類節目和1個相聲類節目的演出順序，則同類節目不相鄰的排法種數是A．72 B．120 C．144 D．168二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知的展開式中的系數為，則__________．14．已知對任意正實數，都有，類比可得對任意正實數都有_______________．15．矩陣的逆矩陣為__________.16．當雙曲線M：的離心率取得最小值時，雙曲線M的漸近線方程為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完．根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：）有關．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購計劃，統計了前三年六月份各天的最高氣溫數據，得下面的頻數分布表：以最高氣溫位于各區間的頻率估計最高氣溫位于該區間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量（單位：瓶）為多少時，的數學期望達到最大值？18．（12分）如圖，四棱錐中，底面為平行四邊形，底面，是棱的中點，且.（1）求證：平面；（2）如果是棱上一點，且直線與平面所成角的正弦值為,求的值.19．（12分）某種農作物可以生長在灘涂和鹽堿地，它的灌溉是將海水稀釋后進行灌溉.某實驗基地為了研究海水濃度對畝產量(噸)的影響,通過在試驗田的種植實驗,測得了該農作物的畝產量與海水濃度的數據如下表：海水濃度畝產量（噸）殘差繪制散點圖發現,可以用線性回歸模型擬合畝產量(噸)與海水濃度之間的相關關系，用最小二乘法計算得與之間的線性回歸方程為.（1）求的值；（2）統計學中常用相關指數來刻畫回歸效果，越大，回歸效果越好，如假設，就說明預報變量的差異有是解釋變量引起的.請計算相關指數(精確到),并指出畝產量的變化多大程度上是由澆灌海水濃度引起的？（附：殘差，相關指數，其中）20．（12分）選修4-5：不等式選講設函數.（1）若，求函數的值域；（2）若，求不等式的解集.21．（12分）如圖，設△ABC的三個內角A、B、C對應的三條邊分別為，且角A、B、C成等差數列，，線段AC的垂直平分線分別交線段AB、AC于D、E兩點.（1）若△BCD的面積為，求線段CD的長；（2）若，求角A的值.22．（10分）如圖，在四面體中，，分別是線段，的中點，，，，直線與平面所成的角等于．（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據橢圓對稱性可證得四邊形為平行四邊形，根據橢圓定義可求得；利用點到直線距離構造不等式可求得，根據可求得的范圍，進而得到離心率的范圍.【詳解】設橢圓的左焦點為，為短軸的上端點，連接，如下圖所示：由橢圓的對稱性可知，關于原點對稱，則又四邊形為平行四邊形又，解得：點到直線距離：，解得：，即本題正確選項：本題考查橢圓離心率的求解，重點考查橢圓幾何性質，涉及到橢圓的對稱性、橢圓的定義、點到直線距離公式的應用等知識.2、B【解析】試題分析：根據二項式的展開式的二項式系數是14，寫出二項式系數的表示式，得到次數n的值，寫出通項式，當x的指數是0時，得到結果．解：∵Cn°+Cn1+…+Cnn=2n=14，∴n=1．Tr+1=C1rx1﹣rx﹣r=C1rx1﹣2r，令1﹣2r=0，∴r=3，常數項：T4=C13=20，故選B．考點：二項式系數的性質．3、C【解析】

令，由此求得二項式的展開式中各項系數之和.【詳解】令，得各項系數之和為．故選：C本小題主要考查二項式展開式各項系數之和的求法，屬于基礎題.4、C【解析】

如圖，在中，可證明，且與交于O，同理可證其余頂點與對面重心的連線交于O，即得解.【詳解】如圖在四面體中，設是的重心，連接并延長交CD于E，連接，則經過，在中，，且與交于O，同理，其余頂點與對面重心的連線交于O，也滿足比例關系.故選：C本題考查了三角形和四面體性質的類比推理，考查了學生邏輯推理，空間想象，數學運算的能力，屬于中檔題.5、B【解析】分析：根據隨機變量符合正態分布，又知正態曲線關于x=4對稱，得到兩個概率相等的區間關于x=4對稱，得到關于a的方程，解方程即可．詳解：∵隨機變量ξ服從正態分布N（4，3），∵P（ξ＜a﹣5）=P（ξ＞a+1），∴x=a﹣5與x=a+1關于x=4對稱，∴a﹣5+a+1=8，∴2a=12，∴a=6，故選：C．點睛：關于正態曲線在某個區間內取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.6、A【解析】

求導函數，切點切線的斜率，求出切點的坐標，即可得到切線方程．【詳解】求曲線y＝exlnx導函數，可得f′（x）＝exlnx∴f′（1）＝e，∵f（1）＝0，∴切點（1，0）．∴函數f（x）＝exlnx在點（1，f（1））處的切線方程是：y﹣0＝e（x﹣1），即y＝e（x﹣1）故選：A．本題考查導數的幾何意義，考查學生的計算能力，屬于基本知識的考查．7、C【解析】由題意可知，p是真命題，q是假命題，則是真命題.本題選擇C選項.8、B【解析】分析：由題意首先求得，然后進行交集運算即可求得最終結果.詳解：由題意可得：，結合交集的定義可得：.本題選擇B選項.點睛：本題主要考查交集的運算法則，補集的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.9、D【解析】

求出函數的導數，根據導數的符號求出函數的單調區間，求出最值，即可得到實數的取值范圍【詳解】當時，恒成立若，為任意實數，恒成立若時，恒成立即當時，恒成立，設，則當時，，則在上單調遞增當時，，則在上單調遞減當時，取得最大值為則要使時，恒成立，的取值范圍是故選本題以函數為載體，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離含參量，運用導數求得新函數的最值，繼而求出結果，當然本題也可以不分離參量來求解，依然運用導數來分類討論最值情況。10、B【解析】分析：，，三個人站成一排照相，總的基本事件為種，不站在兩頭，即站中間，則有種情況，從而即可得到答案.詳解：，，三個人站成一排照相，總的基本事件為種，不站在兩頭，即站中間，則有種情況，則不站在兩頭的概率為.故選：B.點睛：本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.11、A【解析】因為，所以，由已知得，解得，故選A.12、B【解析】分兩類，一類是歌舞類用兩個隔開共種，第二類是歌舞類用三個隔開共種，所以N=+=120.種．選B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：展開式中的系數為前一項中常數項與后一項的二次項乘積，加上第一項的系數與后一項的系數乘積的和，由此列方程求得的值.詳解：，其展開式中含項的系數為，解得，故答案為.點睛：本題主要考查二項展開式定理的通項與系數，屬于簡單題.二項展開式定理的問題也是高考命題熱點之一，關于二項式定理的命題方向比較明確，主要從以下幾個方面命題：（1）考查二項展開式的通項公式；（可以考查某一項，也可考查某一項的系數）（2）考查各項系數和和各項的二項式系數和；（3）二項展開式定理的應用.14、.【解析】分析：根據類比的定義，按照題設規律直接寫出即可.詳解：由任意正實數，都有，推廣到則.故答案為點睛：考查推理證明中的類比，解此類題型只需按照原題規律寫出即可，屬于基礎題.15、【解析】

通過逆矩陣的定義構建方程組即可得到答案.【詳解】由逆矩陣的定義知：,設，由題意可得：，即解得，因此.本題主要考查逆矩陣的相關計算，難度不大.16、【解析】

求出雙曲線離心率的表達式，求解最小值，求出m，即可求得雙曲線漸近線方程．【詳解】解：雙曲線M：，顯然，雙曲線的離心率，當且僅當時取等號，此時雙曲線M：，則漸近線方程為：．故答案為：．本題考查雙曲線漸近線方程的求法，考查基本不等式的應用，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）分布列見解析；（2）520.【解析】分析：（1）根據題意所有的可能取值為200,300,500，由表格數據知，，；（2）分兩種情況：當時，當時，分別得到利潤表達式.詳解：（1）由題意知，所有的可能取值為200,300,500，由表格數據知，，.因此的分布列為0.20.40.4（2）由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮當時，若最高氣溫不低于25，則；若最高氣溫位于區間，則；若最高氣溫低于20，則因此當時，若最高氣溫不低于20，則，若最高氣溫低于20，則，因此所以時，的數學期望達到最大值，最大值為520元.方法點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式求得.18、（1）證明見解析；（2）．【解析】試題分析：（1）由所以．又因為底面平面；（2）如圖以為原點建立空間直角坐標系，求得平面的法向量和．試題解析：（1）連結，因為在中，，所以，所以．因為，所以．又因為底面，所以，因為，所以平面（2）如圖以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則．因為是棱的中點，所以．所以，設為平面的法向量，所以，即，令，則，所以平面的法向量因為是在棱上一點，所以設．設直線與平面所成角為，因為平面的法向量，所以．解得，即，所以考點：1、線面垂直；2、線面角.19、（1）；（2）.【解析】分析：（1）先求出，再代入方程即得的值；再求，最后利用殘差定義求m,n.(2)直接利用相關指數公式求相關指數，并指出畝產量的變化多大程度上是由澆灌海水濃度引起的.詳解：（1）因為,,所以，即,所以線性回歸方程為,所以,.（2）,所以相關指數,故畝產量的變化有是由海水濃度引起的.點睛：（1）本題主要考查回歸方程的性質和殘差，考查相關指數，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算能力.(2)稱為樣本點的中心，回歸直線過樣本點的中心.20、(1).(2).【解析】分析：（1）當時，，根據絕對值不等式的幾何意義即可求出函數的值域；（2）當時，不等式即，對分三種情況討論，分別去掉絕對值符號，然后求解不等式組，再求并集即可得結果.詳解：（1）當時，∵∴，函數的值域為（2）當時，不等式即①當時，得，解得，∴②當時，得。解得，∴③當時，得，解得，所以無解綜上所述，原不等式的解集為點睛：絕對值不等式的常見解法：①利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現了數形結合的思想；②利用“零點分段法”求解，體現了分類討論的思想；③通過構造函數，利用函數的圖象求解，體現了函數與方程的思想．21、（1）；（2）。【解析】試題分析：（1）由題三角形ABC的三個內角A,B,C成等差數列，結合內角和為，可以列出方程組，所以可以求出角，又已知，且三角形BCD的面積為，根據三角形面積公式可有，可以求出，在三角形BCD中，可以應用余弦定理求出CD邊的長度；（2）在三角形BCD中，應用正弦定理：，所以可以求出，于是得到，所以，則，且DE為線段AC的垂直平分線，所以DA=DC，即三角形ADC為等腰直角三角形，所以可以求出A角的值。本題考查解利用正、余弦定理解三角形，要求學生掌