山東省煙臺市重點名校2025年高二數學第二學期期末質量跟蹤監視模擬試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在體育選修課排球模塊基本功發球測試中，計分規則如下滿分為10分：①每人可發球7次，每成功一次記1分；②若連續兩次發球成功加分，連續三次發球成功加1分，連續四次發球成功加分，以此類推，，連續七次發球成功加3分假設某同學每次發球成功的概率為，且各次發球之間相互獨立，則該同學在測試中恰好得5分的概率是(

)A． B． C． D．2．若函數的圖象與直線相切，則()A． B． C． D．3．函數在單調遞增，且為奇函數，若，則滿足的的取值范圍是（）．A． B． C． D．4．已知A，B是半徑為的⊙O上的兩個點，·＝1，⊙O所在平面上有一點C滿足｜＋｜＝1，則｜｜的最大值為（）A．＋1 B．＋1 C．2＋1 D．+15．已知向量，則與的夾角為（）A．0 B． C． D．6．已知角的終邊經過點，則的值等于（）A． B． C． D．7．如圖，網格紙的小正方形的邊長是1，粗線表示一正方體被某平面截得的幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為A．2 B．4 C．6 D．88．在《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”.那么從長方體八個頂點中任取四個頂點，則這四個頂點組成的幾何體是“鱉臑”的概率為（）A． B． C． D．9．已知雙曲線上有一個點A，它關于原點的對稱點為B，雙曲線的右焦點為F，滿足，且，則雙曲線的離心率e的值是A． B． C．2 D．10．若，，則（）A． B． C． D．11．在的展開式中，的冪指數是整數的共有A．3項 B．4項 C．5項 D．6項12．甲，乙，丙，丁四人參加完某項比賽，當問到四人誰得第一時，回答如下：甲：“我得第一名”；乙：“丁沒得第一名”；丙：“乙沒得第一名”；丁：“我得第一名”.已知他們四人中只有一個說真話，且只有一人得第一.根據以上信息可以判斷得第一名的人是（）A．甲B．乙C．丙D．丁二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為4，且在雙曲線上到的距離為2的點有且僅有1個，則這個點到雙曲線的左焦點的距離為______.14．(文科學生做)函數的值域為______．15．不等式的解集為________16．已知f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上周期為2的偶函數，當x∈[0，1]時，f（x）＝2x﹣1，則f（log23）＝_____三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知點，直線，動點到點的距離等于它到直線的距離．(Ⅰ)試判斷點的軌跡的形狀，并寫出其方程；(Ⅱ)若曲線與直線相交于兩點，求的面積.18．（12分）已知二次函數的圖象過原點，滿足，其導函數的圖象經過點.求函數的解析式；設函數，若存在，使得對任意，都有，求實數的取值范圍.19．（12分）近年來，鄭州經濟快速發展，躋身新一線城市行列，備受全國矚目．無論是市內的井字形快速交通網，還是輻射全國的米字形高鐵路網，鄭州的交通優勢在同級別的城市內無能出其右．為了調查鄭州市民對出行的滿意程度，研究人員隨機抽取了1000名市民進行調查，并將滿意程度以分數的形式統計成如下的頻率分布直方圖，其中．（1）求的值；（2）若按照分層抽樣從[50，60)，[60，70)中隨機抽取8人，再從這8人中隨機抽取2人，求至少有1人的分數在[50，60)的概率．20．（12分）甲、乙、丙三名音樂愛好者參加某電視臺舉辦的演唱技能海選活動，在本次海選中有合格和不合格兩個等級．若海選合格記1分，海選不合格記0分．假設甲、乙、丙海選合格的概率分別為，他們海選合格與不合格是相互獨立的．（1）求在這次海選中，這三名音樂愛好者至少有一名海選合格的概率；（2）記在這次海選中，甲、乙、丙三名音樂愛好者所得分之和為隨機變量,求隨機變量的分布列和數學期望．21．（12分）若集合具有以下性質：（1）且；（2）若，，則，且當時，，則稱集合為“閉集”.（1）試判斷集合是否為“閉集”，請說明理由；（2）設集合是“閉集”，求證：若，，則；（3）若集合是一個“閉集”，試判斷命題“若，，則”的真假，并說明理由.22．（10分）電視傳媒公司為了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了111名觀眾進行調查，下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖，將日均收看該體育節目時間不低于41分鐘的觀眾稱為“體育迷”．（1）根據已知條件完成下面的2×2列聯表，并據此資料判斷是否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為"體育迷"與性別有關．性別非體育迷體育迷總計男女1144總計下面的臨界值表供參考：1．141．111．141．241．1111．1141．111k2．1622．6153．8414．1245．5346．86911．828(參考公式：，其中)（2）將上述調查所得到的頻率視為概率，現在從該地區大量電視觀眾中，采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾，抽取3次，記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X，若每次抽取的結果是相互獨立的，求X的分布列?期望和方差．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

明確恰好得5分的所有情況：發球四次得分，有兩個連續得分和發球四次得分，有三個連續得分，分別求解可得.【詳解】該同學在測試中恰好得5分有兩種情況：四次發球成功，有兩個連續得分，此時概率；四次發球成功，有三個連續得分，分為連續得分在首尾和不在首尾兩類，此時概率，所求概率；故選B.本題主要考查相互獨立事件的概率，題目稍有難度，側重考查數學建模和數學運算的核心素養.2、B【解析】

設切點為，由可解得切點坐標與參數的值。【詳解】設切點為，則由題意知即解得或者故選B高考對導數幾何意義的考查主要有以下幾個命題角度：（1）已知切點求切線方程；（2）已知切線方程(或斜率)求切點或曲線方程；（3）已知曲線求切線傾斜角的取值范圍．3、D【解析】

是奇函數，故；又是增函數，，即則有，解得，故選D.解本題的關鍵是利用轉化化歸思想，結合奇函數的性質將問題轉化為，再利用單調性繼續轉化為，從而求得正解.4、A【解析】

先由題意得到，根據向量的數量積求出，以O為原點建立平面直角坐標系，設A（，）得到點B坐標，再設C（x，y），根據點B的坐標，根據題中條件，即可求出結果.【詳解】依題意，得：，因為，所以，＝1，得：，以O為原點建立如下圖所示的平面直角坐標系，設A（，），則B（，）或B（，）設C（x，y），當B（，）時，則＝（＋－x，＋－y）由｜＋｜＝1，得：＝1，即點C在1為半徑的圓上，A（，）到圓心的距離為：＝｜｜的最大值為＋1當B（，）時，結論一樣．故選A本題主要考查向量模的計算，熟記向量的幾何意義，以及向量模的計算公式，即可求解，屬于常考題型.5、C【解析】由題設，故，應選答案C．6、A【解析】

由三角函數的定義可求出的值.【詳解】由三角函數的定義可得，故選A.本題考查三角函數的定義，解題的關鍵在于三角函數的定義進行計算，考查計算能力，屬于基礎題.7、B【解析】

由題意，直觀圖如圖所示，由圖可知該幾何體的體積為為正方體的一半．【詳解】由題意，直觀圖如圖所示，由圖可知該幾何體的體積為為正方體的一半，即為2×2×2＝1．故選B．本題考查由三視圖求體積，考查學生的計算能力，確定幾何體的形狀是關鍵．8、C【解析】

本題是一個等可能事件的概率，從正方體中任選四個頂點的選法是，四個面都是直角三角形的三棱錐有4×6個，根據古典概型的概率公式進行求解即可求得．【詳解】由題意知本題是一個等可能事件的概率，從長方體中任選四個頂點的選法是，以A為頂點的四個面都是直角三角形的三棱錐有：共個．同理以為頂點的也各有個，但是，所有列舉的三棱錐均出現次，四個面都是直角三角形的三棱錐有個，所求的概率是故選：C．本題主要考查了古典概型問題，解題關鍵是掌握將問題轉化為從正方體中任選四個頂點問題，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.9、B【解析】

設是雙曲線的左焦點，由題可得是一個直角三角形，由，可用表示出，，利用雙曲線定義列方程即可求解．【詳解】依據題意作圖，如下：其中是雙曲線的左焦點，因為，所以，由雙曲線的對稱性可得：四邊形是一個矩形，且，在中，，,,由雙曲線定義得：，即：，整理得：，故選B本題主要考查了雙曲線的簡單性質及雙曲線定義，考查計算能力，屬于基礎題．10、A【解析】分析：利用復數的除法運算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復數，化簡復數，然后利用復數相等的性質列方程求解即可.詳解：因為，所以，解得，故選A.點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.11、D【解析】

根據題目，寫出二次項展開式的通項公式，即可求出的冪指數是整數的項的個數。【詳解】由題意知，要使的冪指數是整數，則必須是的倍數，故當滿足條件。即的冪指數是整數的項共有項，故答案選D。本題主要考查二項式定理的應用，解題關鍵是熟記二項展開式的公式。12、B【解析】分析：分別假設甲、乙、丙、丁得第一名，逐一分析判斷即可.詳解：若甲得第一名，則甲、乙、丙說了真話，丁說了假話，不符合題意；若乙得第一名，則乙說了真話，甲、丙、丁說了假話，符合題意；若丙得第一名，則乙、丙說了真話，甲、丁說了假話，不符合題意；若丁得第一名，則丙、丁說了真話，甲、乙說了假話，不符合題意點睛：本題考查推理論證，考查簡單的合情推理等基礎知識，考查邏輯推理能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】

雙曲線：的右焦點到漸近線的距離為4,可得的值，由條件以為圓心，2為半徑的圓與雙曲線僅有1個交點.由雙曲線和該圓都是關于軸對稱的，所以這個點只能是雙曲線的右頂點.即，根據可求得答案.【詳解】由題意可得雙曲線的一條漸近線方程為，由焦點到漸近線的距離為4，即，即.雙曲線上到的距離為2的點有且僅有1個,即以為圓心，2為半徑的圓與雙曲線僅有1個交點.由雙曲線和該圓都是關于軸對稱的，所以這個點只能是雙曲線的右頂點.所以，又即，即，所以.所以雙曲線的右頂點到左焦點的距離為.所以這個點到雙曲線的左焦點的距離為8.故答案為：8本題考查雙曲線的性質，屬于中檔題.14、.【解析】分析：先分離常數，然后根據二次函數最值求解即可.詳解：由題可得：故答案為.點睛：考查函數的值域，對原式得正確分離常數是解題關鍵，屬于中檔題.15、【解析】

根據絕對值的定義去絕對值符號，直接求出不等式的解集即可.【詳解】由，得，解得故答案為.本題考查絕對值不等式的解法，考查等價轉化的數學思想和計算能力.16、【解析】

利用周期及奇偶性可將f（log23）化為，而，則答案可求．【詳解】∵f（x）是定義在（﹣∞，+∞）上周期為2的偶函數，∴f（log23）＝f（﹣log23）＝f（﹣log23+2），∵，且當x∈[0，1]時，f（x）＝2x﹣1，∴．故答案為：．本題考查函數的奇偶性及周期性的應用，考查指數及對數的運算，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）點的軌跡是以為焦點、直線為準線的拋物線，其方程為（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據拋物線的定義得知點的軌跡為拋物線，確定拋物線的焦點和準線，于此得出拋物線的方程；（Ⅱ）設點、，將直線與曲線的方程聯立，利用拋物線的定義求出，并利用點到直線的距離公式求出原點到直線的距離，然后利用三角形的面積公式計算出的面積.【詳解】（Ⅰ）因點到點的距離等于它到直線的距離，所以點的軌跡是以為焦點、直線為準線的拋物線，其方程為；（Ⅱ）設,聯立，得,,直線經過拋物線的焦點,點到直線的距離，本題考查拋物線的定義、以及直線與拋物線中的三角形面積的計算，考查韋達定理設而不求思想的應用，解題關鍵在于利用相關公式計算弦長與距離，這類問題計算量較大，對計算要求較高，屬于中等題．18、（1）（2）或【解析】

（1）設函數，當滿足時，函數關于對稱，且，這樣利用待定系數法可求得函數的解析式；（2）根據題意可知，分別求兩個函數的的最大值，求解不等式.【詳解】解：設，所以的對稱軸方程為又，則兩式聯立，解得，所以由已知因為，所以在單增，單減，當時，法一：當時，在上為減函數，．，此時，解得當時，上為增函數，此時，解得綜上，實數的取值范圍是或（法二：因為且，所以為單調函數，，又，于是由，解得又且，所以實數的取值范圍是或本題考查了二次函數解析式和最值的求法，對于第二問兩個都改成任意，那么轉化為，如果兩個都是存在，轉化為，理解任意，存在的問題如何轉化為最值的問題.19、（1）；（2）.【解析】

根據頻率分布直方圖的特點:可列的式子：，求得，根據圖，可知a＝4b，繼而求得a,b，先利用分層抽樣得方法，確定[50，60)，[60，70)中分別抽取的人數，然后利用古典概型，求得概率【詳解】（1）依題意得，所以，又a＝4b，所以a＝0.024，b＝0.1．（2）依題意，知分數在[50，60）的市民抽取了2人，記為a，b，分數在[60，70）的市民抽取了6人，記為1，2，3，4，5，6，所以從這8人中隨機抽取2人所有的情況為：（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（b，6），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共28種，其中滿足條件的為（a，b），（a，1），（a，2），（a，3），（a，4），（a，5），（a，6），（b，1），（b，2），（b，3），（b，4），（b，5），（b，6）共13種，設“至少有1人的分數在[50，60）”的事件為A，則P（A）＝.本題考查頻率分布直方圖以及古典概型20、（1）．（2）的分布列為

0

1

2

1

．【解析】試題分析：概率與統計類解答題是高考常考的題型，以排列組合和概率統計等知識為工具，主要考查對概率事件的判斷及其概率的計算，隨機變量概率分布列的性質及其應用：對于（1），從所求事件的對立事件的概率入手即；對于（2），根據的所有可能取值：0，1，2，1；分別求出相應事件的概率Ｐ，列出分布列，運用數學期望計算公式求解即可.（1）記“甲海選合格”為事件Ａ，“乙海選合格”為事件Ｂ，“丙海選合格”為事件Ｃ，“甲、乙、丙至少有一名海選合格”為事件Ｅ．．（2）的所有可能取值為0,1,2,1．；；；．所以的分布列為

0

1

2

1

．考點：離散型隨機變量的概率、分布列和數學期望.21、（1）否，理由見詳解；（2）證明見詳解；（3）真命題，理由見詳解【解析】

（1）