1/153.2.5距離（選學）一、選擇題1．在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB＝BB1，則AB1與C1B所成的角的大小為（） A．60° B．90° C．105° D．75°圖2．如圖，ABCD—A1B1C1D1是正方體，B1E1＝D1F1＝，則BE1與DF1所成角的余弦值是（圖 A． B． C． D．圖3．如圖，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，點D1、F1分別是A1B1、A1C1的中點，若BC=CA=CC1，則BD1與AF1所成角的余弦值是（圖 A． B． C． D．4．正四棱錐的高，底邊長，則異面直線和之間的距離（） A． B． C． D．AAA1DCBB1C1圖5．已知是各條棱長均等于的正三棱柱，是側棱的中點．點到平面的距離（）A． B． C． D．6．在棱長為的正方體中，則平面與平面間的距離 （） A． B． C． D．7．在三棱錐P－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝PA，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC，則直線OD與平面PBC所成角的正弦值（） A． B． C． D．8．在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，側棱，D，E分別是與的中點，點E在平面ABD上的射影是的重心G．則與平面ABD所成角的余弦值 （） A． B． C． D．9．正三棱柱的底面邊長為3，側棱，D是CB延長線上一點，且，則二面角的大?。ǎ?A． B．C． D．10．正四棱柱中，底面邊長為，側棱長為4，E，F分別為棱AB，CD的中點，．則三棱錐的體積V（） A． B．C． D．二、填空題11．在正方體中，為的中點，則異面直線和間的距離．12．在棱長為的正方體中，、分別是、的中點，求點到截面的距離．13．已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是B1C1和C1D1的中點，點A1到平面DBEF的距離14．已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是A1B1的中點，求直線AE與平面ABC1D1所成角的正弦值三、解答題15．（12分）已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1，求平面A1BC1與平面ABCD16．（12分）已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分別是A1C1、A1D和B1A上任一點，求證：平面A1EF∥平面B17．（12分）在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=a，AD=2a，且PA⊥底面ABCD，PD與底面成30°（1）若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；（2）求異面直線AE與CD所成角的余弦值．18．（12分）已知棱長為1的正方體AC1，E、F分別是B1C1、C1D的中點．（1）求證：E、F、D、B共面；（2）求點A1到平面的BDEF的距離；（3）求直線A1D與平面BDEF所成的角．19．（14分）已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，點E為棱AB（Ⅰ）D1E與平面BC1D所成角的大??；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大??；（Ⅲ）異面直線B1D1與BC1之間的距離．20．（14分）如圖5：正方體ABCD-A1B1C1D1，過線段BD1上一點P（P平面ACB1）作垂直于D1B的平面分別交過D1的三條棱于E、F、G．(1)求證：平面EFG∥平面ACB1，并判斷三角形類型；(2)若正方體棱長為a，求△EFG的最大面積，并求此時EF與B1C

參考答案一、1．B；2．A；3．A；4．C；ABABCDOS圖，，，，．，．令向量，且，則，，，，．異面直線和之間的距離為：．5．A；分析：為正方形，，又平面平面，面，是平面的一個法向量，設點到平面的距離為，則===．6．B；分析：建立如圖所示的直角坐標系，ABCDA1B1C1DABCDA1B1C1D1E圖，平面與平面間的距離7．D；8．B；解以C為坐標原點，CA所在直線為軸，CB所在直線為軸，所在直線為軸，建立直角坐標系，設，則，，，∴，，，，∵點E在平面ABD上的射影是的重心G，∴平面ABD，∴，解得．∴，，∵平面ABD，∴為平面ABD的一個法向量．由∴與平面ABD所成的角的余弦值為．評析因規定直線與平面所成角，兩向量所成角，所以用此法向量求出的線面角應滿足．9．A；取BC的中點O，連AO．由題意平面平面，，∴平面，以O為原點，建立如圖6所示空間直角坐標系，則，，，，∴，，，由題意平面ABD，∴為平面ABD的法向量．設平面的法向量為，則，∴，∴，即．∴不妨設，由，得．故所求二面角的大小為．評析：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統求二面角問題時的三步曲：“找——證——求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這表面似乎談化了學生的空間想象能力，但實質不然，向量法對學生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學生創新能力的培養，體現了教育改革的精神．（2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取時，會算得，從而所求二面角為，但依題意只為．因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角．所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據計算取“相等角”或取“補角”．10．C；解以D為坐標原點，建立如圖10所示的直角坐標系，則，，，，∴，，，圖10∴，∴，所以，設平面的方程為：，將點代入得，∴，∴平面的方程為：，其法向量為，∴點到平面的距離，∴即為所求．評析（1）在求點到平面的距離時，有時也可直接利用點到平面的距離公式計算得到．（2）法向量在距離方面除應用于點到平面的距離、多面體的體積外，還能處理異面直線間的距離，線面間的距離，以及平行平面間的距離等．二、11．分析：設正方體棱長為，以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，設和公垂線段上的向量為，則，即，，，又，，所以異面直線和間的距離為．12．分析：以為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系．AEA1AEA1DCBB1C1D1F圖，；設面的法向量為，則有：，，，又，所以點到截面的距離為=．13．1；解：如圖建立空間直角坐標系，＝（1，1，0），＝（0，，1），＝（1，0，1）設平面DBEF的法向量為＝（x，y，z），則有：即x＋y＝0zxBA1yFEB1zxBA1yFEB1C1D1DCA令x＝1,y=－1,z=,取＝（1，－1，），則A1到平面DBEF的距離EzxD1yAC1B1A1BDC14．解：如圖建立空間直角坐標系，＝（0，1，0），＝（－1，EzxD1yAC1B1A1BDC設平面ABC1D1的法向量為＝（x，y，z）,由可解得＝（1，0，1）zyxD1A1DB1C1CBAzyxD1A1DB1C1CBA三、15．解：如圖建立空間直角坐標系，＝（－1，1，0），＝（0，1，－1）設、分別是平面A1BC1與平面ABCD的法向量，由可解得＝（1，1，1）易知＝（0，0，1），所以，＝所以平面A1BC1與平面ABCD所成的二面角大小為arccos或－arccos．注：用法向量的夾角求二面角時應注意：平面的法向量有兩個相反的方向，取的方向不同求出來的角度當然就不同，所以最后還應該根據這個二面角的實際形態確定其大?。瓼yEFyEMxzD1C1B1A1CDBA則＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）＝（1，0，1），＝（0，－1，－1）設，，（、、，且均不為0）設、分別是平面A1EF與平面B1MC的法向量，由可得即解得：＝（1，1，－1）由可得即解得＝（－1，1，－1），所以＝－，∥，所以平面A1EF∥平面B1MC．注：如果求證的是兩個平面垂直，也可以求出兩個平面的法向量后，利用⊥來證明．17．（1）證明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD．∴AB⊥平面PAD．又∵AE⊥PD，∴PD⊥平面ABE，故BE⊥PD．（2）解：以A為原點，AB、AD、AP所在直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，則點C、D的坐標分別為（a，a，0），（0，2a，0）．∵PA⊥平面ABCD，∠PDA是PD與底面ABCD所成的角，∴∠PDA=30°．于是，在Rt△AED中，由AD=2a，得AE=a．過E作EF⊥AD，垂足為F，在Rt△AFE中，由AE=a，∠EAF=60°，得AF=，EF=a，∴E（0，a）于是，={－a，a，0}設與的夾角為θ，則由cosθ=AE與CD所成角的余弦值為．評述：第（2）小題中，以向量為工具，利用空間向量坐標及數量積，求兩異面直線所成的角是立體幾何中的常見問題和處理手段．18．解：（1）略．（2）如圖，建立空間直角坐標系D—xyz,則知B（1，1，0），設得則令．設點A1在平面BDFE上的射影為H，連結A1D，知A1D是平面BDFE的斜線段．即點A1到平面BDFE的距離為1．（3）由（2）知，A1H=1，又A1D=，則△A1HD為等腰直角三角形，A1B1C1D1AA1B1C1D1ABCDExyz，，，，，，，．（Ⅰ）不難證明為平面BC1D的法向量，∵∴D1E與平面BC1D所成的角的大小為（即）．（Ⅱ）、分別為平面BC1D、BC1C的法向量，∵，∴二面角D－BC1－C的大小為．（Ⅲ）∵B1D1∥平面BC1D，∴B1D1與BC1之間的距離為．20．(證明（1）用純粹的幾何方法要輾轉證明EF∥AC，EG∥B1C，FG∥AB1來證明，而我們借用向量法使問題代數化，運算簡潔，思路簡單明了．(1)分析：要證平面EFG平面ACB1，由題設知只要證BD1垂直平面ACB1即可．證明：以D為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖5，不妨設正方體棱長為a，則A（a，0，0），B（a，a，0），C（0，a，0），D1（0，0，a），B1（a，a，a），E（xE，0，a），F（0，yF，a），G（0，0，zG）．∴=（－a，－a，a），=（0，a，a），（－xE，yF，0），=（－a，a，0），=（－a，0，－a），∵·=(－a，－a，a)·(0，a，a)=0，∴⊥，同理⊥，而與不共線且相交于點A，∴⊥平面ACB1，又已知⊥平面EFG，∴平面EFG∥平面ACB1；又因為⊥平面EFG，所以⊥，則·=0，即(－a，－a，a)·(－xE，yF，0)=0，化簡得xE－yF=0；同理xE－zG=0,yF－zG=0，易得==，∴△EFG為正三角形．(2)解：因為△EFG是正三角形，顯然當△EFG與△A1C1D重合時，△EFG的邊最長，其面積也最大，此時，=A1C1=·a，∴==·sin600=(·a)2·=·a2．此時EF與B1C的距離即為A1C1與B1C的距離，由于兩異面直線所在平面平行，所求距離轉化為求點B1到平面A1C1D的距離，記A1C1與B1D1交于點O1，作O1H∥D1B并交BB1于點H，則O1H⊥平面A1C1D，垂足為O