PAGEPAGE1考點規范練13函數模型及其應用一、基礎鞏固1.在我國大西北,某地區荒漠化土地面積每年平均比上一年增長10.4%,專家預料經過x年可能增長到原來的y倍,則函數y=f(x)的圖象大致為()答案D解析由題意可得y=(1+10.4%)x,函數是底數大于1的指數函數,故選D.2.某電視新產品投放市場后第一個月銷售100臺,其次個月銷售200臺,第三個月銷售400臺,第四個月銷售790臺,則下列函數模型中能較好地反映銷量y與投放市場的月數x之間關系的是()A.y=100x B.y=50x2-50x+100C.y=50×2x D.y=100log2x+100答案C解析依據函數模型的增長差異和題目中的數據可知,應為指數型函數模型.3.已知某矩形廣場的面積為4萬平方米,則其周長至少為()A.800米 B.900米 C.1000米 D.1200米答案A解析設這個廣場的長為x米,則寬為40000x米.故其周長為l=2x+40000x4.在如圖所示的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300m2的內接矩形花園(陰影部分),則其邊長x(單位:m)的取值范圍是()A.[15,20] B.[12,25]C.[10,30] D.[20,30]答案C解析設矩形的另一邊長為ym,則由三角形相像知,x40=40-y40,∴y=40-x.∵xy∴x2-40x+300≤0,∴10≤x≤30.5.某產品的總成本y(單位:萬元)與產量x(單位:臺)之間的函數關系是y=3000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每臺產品的售價為25萬元,則生產者不虧本時(銷售收入不小于總成本)的最低產量是()A.100臺 B.120臺 C.150臺 D.180臺答案C解析設利潤為f(x)萬元,則f(x)=25x-(3000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3000(0<x<240,x∈N*).令f(x)≥0,得x≥150,故生產者不虧本時的最低產量是150臺.6.某房地產公司安排出租70套相同的公寓房.當每套房月租金定為3000元時,這70套公寓能全租出去;當月租金每增加50元時(設月租金均為50元的整數倍),就會多一套房子租不出去.設租出的每套房子每月須要公司花費100元的日常修理等費用(設租不出去的房子不須要花這些費用).要使公司獲得最大利潤,每套公寓月租金應定為()A.3000元 B.3300元 C.3500元 D.4000元答案B解析由題意,設利潤為y元,租金定為(3000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),則y=(3000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤5058+x+70當且僅當58+x=70-x,即x=6時,等號成立,故每月租金定為3000+300=3300(元)時,公司獲得最大利潤,故選B.7.某位股民購進某只股票,在接下來的交易時間內,他的這只股票先經驗了n次漲停(每次上漲10%),又經驗了n次跌停(每次下跌10%),則該股民這只股票的盈虧狀況(不考慮其他費用)為()A.略有盈利 B.略有虧損C.沒有盈利也沒有虧損 D.無法推斷盈虧狀況答案B解析設該股民購這只股票的價格為a元,則經驗n次漲停后的價格為a(1+10%)n=a×1.1n元,經驗n次跌停后的價格為a×1.1n×(1-10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n·a<a,故該股民這只股票略有虧損.8.依據有關資料,圍棋狀態空間困難度的上限M約為3361,而可觀測宇宙中一般物質的原子總數N約為1080,則下列各數中與MN最接近的是((參考數據:lg3≈0.48)A.1033 B.1053 C.1073 D.1093答案D解析設MN=x=33611080,兩邊取對數,得lgx=lg33611080=lg3361-lg1080=361lg3-80≈93.28,所以x≈10939.一個人以6m/s的速度去追逐停在交通燈前的汽車,當他離汽車25m時交通燈由紅變綠,汽車起先變速直線行駛(汽車與人前進方向相同),汽車在時間t內的路程為s=12t2m,則此人(A.可在7s內追上汽車B.可在9s內追上汽車C.不能追上汽車,但期間最近距離為14mD.不能追上汽車,但期間最近距離為7m答案D解析已知s=12t2,車與人的間距d=(s+25)-6t=12t2-6t+25=12(t-6)2+7.當t=6時,d取得最小值710.(2024山東泰安聯考)已知甲、乙兩種商品在過去一段時間內的價格走勢如圖所示.假設某商人持有資金120萬元,他可以在t1至t4的隨意時刻買賣這兩種商品,且買賣能夠馬上成交(其他費用忽視不計).假如他在t4時刻賣出全部商品,那么他將獲得的最大利潤是()A.40萬元 B.60萬元 C.120萬元 D.140萬元答案C解析甲6元時該商人全部買入甲商品,可以買120÷6=20(萬份),在t2時刻全部賣出,此時獲利20×2=40(萬元),乙4元時該商人全部買入乙商品,可以買(120+40)÷4=40(萬份),在t4時刻全部賣出,此時獲利40×2=80(萬元),共獲利40+80=120(萬元),故選C.11.設某公司原有員工100人從事產品A的生產,平均每人每年創建產值t萬元(t為正常數).公司確定從原有員工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去進行新開發的產品B的生產.分流后,接著從事產品A生產的員工平均每人每年創建產值在原有的基礎上增長了1.2x%.若要保證產品A的年產值不削減,則最多能分流的人數是.

答案16解析由題意,分流前每年創建的產值為100t(萬元),分流x人后,每年創建的產值為(100-x)(1+1.2x%)t,則0<x<100,x因為x∈N*,所以x的最大值為16.二、實力提升12.“好酒也怕巷子深”,很多聞名品牌是通過廣告宣揚進入消費者視線的.已知某品牌商品靠廣告銷售的收入R與廣告費A之間滿意關系R=aA(a為常數),廣告效應為D=R-A.那么精明的商人為了取得最大廣告效應,投入的廣告費應為.(用常數a表示)

答案14a解析令t=A(t≥0),則A=t2,∴D=aA-A=at-t2=-t-12∴當t=12a,即A=14a2時,D13.某食品的保鮮時間y(單位:h)與貯存溫度x(單位:℃)滿意函數關系y=ekx+b(e=2.718…為自然對數的底數,k,b為常數).若該食品在0℃的保鮮時間是192h,在22℃的保鮮時間是48h,則該食品在33℃的保鮮時間是()A.16h B.20hC.24h D.28h答案C解析由題意,得(0,192)和(22,48)是函數y=ekx+b圖象上的兩個點,所以192=由②得,48=e22k·eb,③把①代入③得e22k=48192即(e11k)2=14,所以e11k=1所以當貯存溫度為33℃時,保鮮時間y=e33k+b=(e11k)3·eb=1814.為了在“十一”黃金周期間降價搞促銷,某超市對顧客實行購物實惠活動,規定一次購物付款總額:①若不超過200元,則不予實惠;②若超過200元,但不超過500元,則按標價賜予9折實惠;③若超過500元,則其中500元按第②條賜予實惠,超過500元的部分賜予7折實惠.辛云和她母親兩次去購物,分別付款168元和423元,假設他們一次性購買上述同樣的商品,則應付款額為.

答案546.6元解析依題意,價值為x元的商品和實際付款額f(x)之間的函數關系式為f(x)=x當f(x)=168時,由168÷0.9≈187<200,故此時x=168;當f(x)=423時,由423÷0.9=470∈(200,500],故此時x=470.故兩次共購得價值為470+168=638元的商品.又500×0.9+(638-500)×0.7=546.6元,即若一次性購買上述商品,應付款額為546.6元.15.2024年10月9日—10月13日為天貓親子志向生活季.天貓某商家為了慶祝該節日,于2024年10月1日起特意推行親子款十二生肖紀念章.通過市場調查,得到該紀念章每枚的市場價y(單位:元)與上市時間x(單位:天)的數據如下:上市時間x/天41036市場價y/元905190(1)依據上表數據,為描述親子款十二生肖紀念章的市場價y與上市時間x的改變關系,從下列函數中選取一個最佳的函數模型是.

①y=ax+b;②y=ax2+bx+c;③y=logax.(2)利用你選取的函數,求親子款十二生肖紀念章的市場價最低時的上市時間及最低價格.(3)設你選取的函數為y=f(x),若對隨意實數k,方程f(x)=kx+2m+120恒有兩個相異實數根,求m的取值范圍.解(1)由于市場價y隨上市時間x的增大而先減小后增大,而模型①③均為單調函數,不符合題意,故選擇二次函數模型②.(2)由表中數據可知16解得a∴函數模型為y=14x2-10x+126=14(x-20)2+∴當市場價最低時的上市時間為20天,最低價格為26元.(3)∵f(x)=14x2-10x+126=kx+2m+∴14x2-(10+k)x+6-2m=∴Δ=(10+k)2-(6-2m)>0恒成立,即-