PAGE3雙曲線的參數方程拋物線的參數方程1．雙曲線的參數方程(1)中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的參數方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝asecφ，,y＝btanφ，))規定參數φ的取值范圍為[0,2π)且φ≠eq\f(π,2)，φ≠eq\f(3π,2).(2)中心在原點，焦點在y軸上的雙曲線eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1的參數方程是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝btanφ，,y＝asecφ.))2．拋物線的參數方程(1)拋物線y2＝2px的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))t∈R.(2)參數t的幾何意義是拋物線上除頂點外的隨意一點與原點連線的斜率的倒數．雙曲線、拋物線參數方程的基本問題[例1](1)雙曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)tanα，,y＝6secα))(α為參數)的焦點坐標是________．(2)將方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tant，,y＝\f(1－cos2t,1＋cos2t)))化為一般方程是________．[思路點撥](1)可先將方程化為一般方程求解；(2)利用代入法消去t.[解析](1)將eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)tanα，,y＝6secα))化為eq\f(y2,36)－eq\f(x2,12)＝1，可知雙曲線焦點在y軸上，且c＝eq\r(36＋12)＝4eq\r(3)，故焦點坐標是(0，±4eq\r(3))．(2)由y＝eq\f(1－cos2t,1＋cos2t)＝eq\f(2sin2t,2cos2t)＝tan2t，將tant＝x代入上式，得y＝x2即為所求方程．[答案](1)(0，±4eq\r(3))(2)y＝x2(1)解決此類問題要嫻熟駕馭雙曲線與拋物線的參數方程，特殊是將參數方程化為一般方程，還要明確參數的意義．(2)對雙曲線的參數方程，假如x對應的參數形式是secφ，則焦點在x軸上；假如y對應的參數形式是secφ，則焦點在y軸上．1．若點P(3，m)在以點F為焦點的拋物線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4t2，,y＝4t))(t為參數)上，則|PF|等于()A．2 B．3C．4 D．5解析：選C拋物線的一般方程為y2＝4x，準線為x＝－1，|PF|為P(3，m)到準線x＝－1的距離，即為4.2．假如雙曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝secθ，,y＝6tanθ))(θ為參數)上一點P到它的右焦點的距離是8，那么P到它的左焦點距離是________．解析：由雙曲線參數方程可知a＝1，故P到它左焦點的距離|PF|＝10或|PF|＝6.答案：10或6雙曲線、拋物線參數方程的應用[例2]設直線AB過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的中心O，與雙曲線交于A，B兩點，P是雙曲線上的隨意一點．求證：直線PA，PB斜率的乘積為定值．[思路點撥]先用雙曲線的參數方程表示點A，B，P的坐標，再證kPA·kPB＝定值．[證明]如圖所示，設Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,cosα)，btanα))，Aeq\f(a,cosθ)，btanθ.∵直線AB過原點O，∴A，B兩點的坐標關于原點對稱，則Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,cosθ)，－btanθ))，故kPA·kPB＝eq\f(b(tanα－tanθ),a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,cosα)－\f(1,cosθ))))·eq\f(b(tanα＋tanθ),a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,cosα)＋\f(1,cosθ))))＝eq\f(b2(tan2α－tan2θ),a2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,cos2α)－\f(1,cos2θ))))＝eq\f(b2(sin2αcos2θ－cos2αsin2θ),a2(cos2θ－cos2α))＝eq\f(b2[(1－cos2α)cos2θ－cos2α(1－cos2θ)],a2(cos2θ－cos2α))＝eq\f(b2,a2)，為定值．在求曲線的軌跡和探討曲線及方程的相關問題時，常依據須要引入一個中間變量即參數(將x，y表示成關于參數的函數)，這種方法是參數法，而涉及曲線上的點的坐標時，可依據曲線的參數方程表示點的坐標．3．過點A(1,0)的直線l與拋物線y2＝8x交于M、N兩點，求線段MN的中點的軌跡方程．解：法一：設拋物線的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8t2，,y＝8t))(t為參數)，可設M(8teq\o\al(2,1)，8t1)，N(8teq\o\al(2,2)，8t2)，則kMN＝eq\f(8t2－8t1,8t\o\al(2,2)－8t\o\al(2,1))＝eq\f(1,t1＋t2).又設MN的中點為P(x，y)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(8t\o\al(2,1)＋8t\o\al(2,2),2)，,y＝\f(8t1＋8t2,2).))∴kAP＝eq\f(4(t1＋t2),4(t\o\al(2,1)＋t\o\al(2,2))－1)，由kMN＝kAP，知t1·t2＝－eq\f(1,8)，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4(t\o\al(2,1)＋t\o\al(2,2))，,y＝4(t1＋t2)，))則y2＝16(teq\o\al(2,1)＋teq\o\al(2,2)＋2t1t2)＝16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)－\f(1,4)))＝4(x－1)．∴所求軌跡方程為y2＝4(x－1)．法二：設M(x1，y1)，N(x2，y2)，由M，N在拋物線y2＝8x上知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝8x1，,y\o\al(2,2)＝8x2，))兩式相減得yeq\o\al(2,1)－yeq\o\al(2,2)＝8(x1－x2)，即(y1－y2)(y1＋y2)＝8(x1－x2)，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2).設線段MN的中點為P(x，y)，∴y1＋y2＝2y.由kPA＝eq\f(y,x－1)，又kMN＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(8,y1＋y2)＝eq\f(4,y)，∴eq\f(y,x－1)＝eq\f(4,y).∴y2＝4(x－1)．∴線段MN的中點P的軌跡方程為y2＝4(x－1)．一、選擇題1．曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2－1，,y＝2t＋1))(t為參數)的焦點坐標是()A．(1,0) B．(0,1)C．(－1,0) D．(0，－1)解析：選B將參數方程化為一般方程(y－1)2＝4(x＋1)，該曲線為拋物線y2＝4x向左、向上各平移一個單位得到，所以焦點為(0,1)．2．已知拋物線的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))(t為參數，p>0)，點A，B在曲線上對應的參數分別為t1和t2，若t1＋t2＝0，則|AB|等于()A．2p(t1－t2) B．2p(teq\o\al(2,1)＋teq\o\al(2,2))C．2p|t1－t2| D．2p(t1－t2)2解析：選C因為x1＝2pteq\o\al(2,1)，x2＝2pteq\o\al(2,2)，所以x1－x2＝2p(teq\o\al(2,1)－teq\o\al(2,2))＝2p(t1＋t2)·(t1－t2)＝0，所以|AB|＝|y2－y1|，又因為y1＝2pt1，y2＝2pt2，所以|y2－y1|＝2p|t1－t2|.故選C.3．方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝et＋e－t，,y＝et－e－t))(t為參數)的圖形是()A．雙曲線左支 B．雙曲線右支C．雙曲線上支 D．雙曲線下支解析：選B∵x2－y2＝e2t＋2＋e－2t－(e2t－2＋e－2t)＝4.且x＝et＋e－t≥2eq\r(et·e－t)＝2.∴表示雙曲線的右支．4．P為雙曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4secθ，,y＝3tanθ))(θ為參數)上隨意一點，F1，F2為其兩個焦點，則△F1PF2重心的軌跡方程是()A．9x2－16y2＝16(y≠0)B．9x2＋16y2＝16(y≠0)C．9x2－16y2＝1(y≠0)D．9x2＋16y2＝1(y≠0)解析：選A由題意知a＝4，b＝3，可得c＝5，故F1(－5,0)，F2(5,0)，設P(4secθ，3tanθ)，重心M(x，y)，則x＝eq\f(－5＋5＋4secθ,3)＝eq\f(4,3)secθ，y＝eq\f(0＋0＋3tanθ,3)＝tanθ.從而有9x2－16y2＝16(y≠0)．二、填空題5．曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3t－2，,y＝t2－1))(t為參數)與x軸的交點坐標是________．解析：將曲線的參數方程化為一般方程為(x＋2)2＝9(y＋1)，令y＝0，得x＝1或x＝－5，故交點坐標為(1,0)，(－5,0)．答案：(1,0)，(－5,0)6．雙曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)tanθ，,y＝secθ))(θ為參數)的兩條漸近線的傾斜角為________．解析：將參數方程化為y2－eq\f(x2,3)＝1，此時a＝1，b＝eq\r(3)，設漸近線傾斜角為α，則tanα＝±eq\f(1,\r(3))＝±eq\f(\r(3),3).∴α＝30°或150°.答案：30°或150°7．點P(1,0)到曲線eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t2，,y＝2t))(t為參數)上的點的最短距離為________．解析：設點P(1,0)到曲線上的點的距離為d，則d＝eq\r((x－1)2＋(y－0)2)＝eq\r((t2－1)2＋(2t)2)＝eq\r((t2＋1)2)＝t2＋1≥1.所以點P到曲線上的點的距離的最小值為1.答案：1三、解答題8．設P為等軸雙曲線x2－y2＝1上的一點，F1和F2為兩個焦點，證明：|F1P|·|F2P|＝|OP|2.證明：如圖，設雙曲線上的動點為P(x，y)，焦點F1(－eq\r(2)，0)，F2(eq\r(2)，0)，雙曲線的參數方程為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝secθ，,y＝tanθ.))則(|F1P|·|F2P|)2＝[(secθ＋eq\r(2))2＋tan2θ]·[(secθ－eq\r(2))2＋tan2θ]＝(sec2θ＋2eq\r(2)secθ＋2＋tan2θ)(sec2θ－2eq\r(2)secθ＋2＋tan2θ)＝(eq\r(2)secθ＋1)2(eq\r(2)secθ－1)2＝(2sec2θ－1)2.又|OP|2＝sec2θ＋tan2θ＝2sec2θ－1，由此得|F1P|·|F2P|＝|OP|2.9．求點P(0,1)到雙曲線x2－y2＝4的最小距離．解：設雙曲線x2－y2＝4上任一點坐標為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosφ)，2tanφ))，則|PM|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,cosφ)))2＋(2tanφ－1)2＝4(1＋tan2φ)＋4tan2φ－4tanφ＋1＝8tan2φ－4tanφ＋5＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(tanφ－\f(1,4)))2＋eq\f(9,2).則當tanφ＝eq\f(1,4)時，|PM|eq\o\al(2,min)＝eq\f(9,2).所以|PM|min＝eq\f(3\r(2),2)，即點P到雙曲線的最小距離為eq\f(3\r(2),2).10.如圖，O是直角坐標原點，A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上異于頂點的兩動點，且OA⊥OB，點A，B在什么位置時，△AOB的面積最小？最小值是多少？解：依據題意，設點A，B的坐標分別為(2pteq\o\al(2,1)，2pt1)，(2pteq\o\al(2