PAGEPAGE1考點規范練33基本不等式及其應用一、基礎鞏固1.下列不等式肯定成立的是()A.lgx2+14>lgB.sinx+1sinx≥2(x≠kπ,k∈C.x2+1≥2|x|(x∈R)D.1x2+1>1(x答案C解析因為x>0,所以x2+14≥2·x·12所以lgx2+14≥lg當x≠kπ,k∈Z時,sinx的正負不定,故選項B不正確;由基本不等式可知選項C正確;當x=0時,1x2+12.已知a>0,b>0,a,b的等比中項是1,且m=b+1a,n=a+1b,則m+n的最小值是(A.3 B.4 C.5 D.6答案B解析由題意知ab=1,則m=b+1a=2b,n=a+1b=2a,故m+n=2(a+b)≥4ab=4(當且僅當a=b=3.小王從甲地到乙地來回的時速分別為a和b(a<b),其全程的平均時速為v,則()A.a<v<ab B.v=abC.ab<v<a+b2 D答案A解析設甲、乙兩地相距s,則小王來回兩地用時為sa從而v=2s∵0<a<b,∴ab<a∴2a+b<1ab,即4.已知圓x2+y2+4x-2y-1=0上存在兩點關于直線ax-2by+2=0(a>0,b>0)對稱,則1a+4A.8 B.9 C.16 D.18答案B解析由圓的對稱性可得,直線ax-2by+2=0必過圓心(-2,1),所以a+b=1.所以1a+4b=1a+4b(a+b)=5+ba5.若正數x,y滿意4x2+9y2+3xy=30,則xy的最大值是()A.43 B.53 C.2 D答案C解析由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2×(2x)×(3y)+3xy(當且僅當2x=3y時等號成立),則12xy+3xy≤30,即xy≤2,故xy的最大值為2.6.若兩個正實數x,y滿意2x+1y=1,且x+2y>m2+2m恒成立,則實數A.(-∞,-2)∪[4,+∞) B.(-∞,-4]∪[2,+∞)C.(-2,4) D.(-4,2)答案D解析因為x>0,y>0,2x+所以x+2y=(x+2y)2x+1y=2當且僅當4yx=xy,即由x+2y>m2+2m恒成立,可知m2+2m<8,即m2+2m-8<0,解得-4<m<2.7.設x,y∈R,a>1,b>1,若ax=by=3,a+b=23,則1x+1A.2 B.32 C.1 D.答案C解析由ax=by=3,1x又a>1,b>1,所以ab≤a+b所以lg(ab)≤lg3,從而1x+1y≤lg38.已知x>1,則logx9+log27x的最小值是.

答案2解析∵x>1,∴logx9+log27x=2lg3lgx+lgx3lg3≥2∴logx9+log27x的最小值為269.某公司購買一批機器投入生產,據市場分析,每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y(單位:萬元)與機器運轉時間x(單位:年)的關系為y=-x2+18x-25(x∈N*).則當每臺機器運轉年時,年平均利潤最大,最大值是萬元.

答案58解析每臺機器運轉x年的年平均利潤為yx=18-x+25x,而x>0,所以yx≤18-22510.(2024天津,文13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,則2a+18b的最小值為答案1解析∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6.∵a,b∈R,∴2a>0,18b>∴2a+18b≥22a-當且僅當2a=18b,即a=-3,b=11.某種飲料分兩次提價,提價方案有兩種,方案甲:第一次提價p%,其次次提價q%;方案乙:每次都提價p+q2%,若p>q>0,則提價多的方案是答案乙解析設原價為a,則方案甲提價后為a(1+p%)(1+q%),方案乙提價后為a1+p由于(1+p%)(1+q%)<(=1+p因此提價多的是方案乙.12.設a,b均為正實數,求證:1a2+1證明因為a,b均為正實數,所以1a2+當且僅當1a2=又因為2ab+ab≥22ab·ab當且僅當2ab=ab所以1a2+1b2+ab當且僅當1a2=1b二、實力提升13.已知不等式2x2-axy+y2≥0對隨意x∈[1,2]及y∈[1,3]恒成立,則實數a的取值范圍是()A.a≤22 B.a≥22 C.a≤113 D.a≤答案A解析因為2x2-axy+y2≥0,且y≠0,所以2xy2-axy令t=xy,則不等式變為2t2-at+1≥0由x∈[1,2],y∈[1,3],可知t∈13即2t2-at+1≥0在t∈13,由2t2-at+1≥0可得a≤2t2+1t,即a又2t+1t≥22t·1當且僅當2t=1t,即t=22時等號成立,所以2t+1t取得最小值22,所以有a≤214.已知不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對隨意實數x,y都成立,則實數a的最小值為(A.1 B.2 C.3 D.4答案D解析令f(y)=|y+4|-|y|,則f(y)≤|y+4-y|=4,即f(y)max=4.∵不等式|y+4|-|y|≤2x+a2x對隨意實數x,∴2x+a2x≥f(y)max∴a≥-(2x)2+4×2x=-(2x-2)2+4恒成立;令g(x)=-(2x)2+4×2x,則a≥g(x)max=4,∴實數a的最小值為4.15.已知x>0,a為大于2x的常數.(1)求函數y=x(a-2x)的最大值;(2)求y=1a-2解(1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=12×2x(a-2x)≤12×2故函數y=x(a-2x)的最大值為a2(2)y=1a-2x-x=1a-2故y=1a-2x16.某工廠某種產品的年固定成本為250萬元,每生產x千件,需另投入成本為C(x)(單元:萬元),當年產量不足80千件時,C(x)=13x2+10x(單位:萬元).當年產量不少于80千件時,C(x)=51x+10000x-1450(單位:萬元).每件商品售價為0.05萬元.(1)寫出年利潤L(x)(單位:萬元)關于年產量x(單位:千件)的函數解析式;(2)當年產量為多少千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大?解(1)因為每件商品售價為0.05萬元,則x千件商品銷售額為0.05×1000x萬元,依題意得,當0<x<80時,L(x)=(0.05×1000x)-13x2-10x-250=-13x2+40當x≥80時,L(x)=(0.05×1000x)-51x-10000x+1450-250=1200-x則L(x)=-(2)當0<x<80時,L(x)=-13(x-60)2+950,此時,當x=60時,L(x)取得最大值L(60)=950當x≥80時,L(x)=1200-x+10000x≤1200-2x·10000x=1200-200=1000,當且僅當x=10000x時,即因為950<1000,所以當年產量為100千件時,該廠在這一商品的生產中所獲利潤最大.最大利潤為1000