第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《圓與正多邊形》專項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖，多邊形是正五邊形，請(qǐng)僅用無刻度的直尺按要求完成作圖（保留作圖痕跡）．(1)如圖1，作一個(gè)以為腰，頂角為的等腰三角形；(2)如圖2，作一個(gè)底角為的等腰三角形．2．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，經(jīng)過正方形上的點(diǎn)B，C，且與相切于點(diǎn)P．(1)正方形的內(nèi)切圓和外接圓的半徑分別為______，______；(2)求的半徑；(3)求圖中陰影部分的面積．（參考數(shù)據(jù)：，）3．如圖①?②?③?④分別是的內(nèi)接正三角形、正方形、正五邊形、正邊形，點(diǎn)，分別從點(diǎn)，開始以相同的速度在上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．(1)圖①中，______，圖②中，______，圖③中，______；(2)試探索的度數(shù)與正邊形的邊數(shù)的關(guān)系（直接寫出答案）．4．如圖，正外接圓的半徑為，求正的邊長(zhǎng)，邊心距，周長(zhǎng)和面積．5．如圖，正八邊形內(nèi)接于，為弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)A，重合），求的度數(shù)．6．如圖，正六邊形內(nèi)接于．(1)若P是上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，求的度數(shù)；(2)已知的面積為，求的面積．7．如圖，正六邊形內(nèi)接于，半徑為4．(1)求正六邊形的邊心距．(2)求正六邊形的面積．8．如圖①，是的直徑，，點(diǎn)C在上且位于直線上方，將半徑繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，連接，．(1)以為邊的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)為；(2)當(dāng)直徑平分時(shí)，求的長(zhǎng)；(3)如圖②，連接并延長(zhǎng)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，直接寫出扇形的面積．9．如圖，正方形內(nèi)接于，連接，點(diǎn)F是的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作的切線與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)G．(1)試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．(2)求的度數(shù)．10．如圖，在矩形中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是的外接圓，交邊于點(diǎn)．(1)求證：；(2)當(dāng)是以點(diǎn)為中心的正六邊形的一邊時(shí)，求證：．11．如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連結(jié)AC，BD交于點(diǎn)F(1)求證：AB＝AF．(2)若⊙O的半徑為10，求正五邊形ABCDE的面積（結(jié)果精確到0．1，參考數(shù)據(jù)：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．12．如圖，邊長(zhǎng)為1的正五邊形ABCDE內(nèi)接于，延長(zhǎng)AB，DC交于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作的切線CG交AF于點(diǎn)G．(1)求證：；(2)求的值．13．如圖1是學(xué)生常用的一種圓規(guī)，其手柄AB=8mm，兩腳BC=BD=56mm，如圖2所示．當(dāng)時(shí)：(1)求A離紙面CD的距離．(2)用該圓規(guī)作如圖3所示正六邊形，求該正六邊形的周長(zhǎng)．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，sin74°≈0.96，cos74°≈0.28，結(jié)果精確到0.1）14．圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于，的半徑為6(1)求正六邊形ABCDEF的邊心距；(2)過F作交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，求證：FG是的切線；(3)若點(diǎn)M是中點(diǎn)，連接MA，求弓形MA的面積．15．已知正五邊形，請(qǐng)僅用無刻度的直尺作圖，并完成相應(yīng)的任務(wù)（保留作圖痕跡，不寫作法）．【初步感知】（1）如圖1，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)；【實(shí)踐探究】（2）請(qǐng)?jiān)趫D2中作出以為對(duì)角線的菱形，并證明你的結(jié)論；【拓展延伸】（3）請(qǐng)?jiān)趫D2正五邊形的基礎(chǔ)上再設(shè)計(jì)一個(gè)新的正五邊形.（不需要證明）參考答案1．(1)畫圖見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）連接，，交于點(diǎn)，則即為所求作的三角形；（2）連接，，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，則或即為所求；【詳解】（1）解：如圖，連接，，交于點(diǎn)，則即為所求作的三角形；理由：∵多邊形是正五邊形，∴，，∴，∴，，∴，∴即為所求作的三角形；（2）解：如圖，連接，，交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于，則或即為所求；理由：由（1）可得：，，∴，∴，同理：，∴，，∴是正五邊形的對(duì)稱軸，同理：，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴即為所求作的等腰三角形，同理可得：即為所求作的等腰三角形．【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練的畫圖是解本題的關(guān)鍵．2．(1)1，(2)1.25(3)【分析】此題主要考查了正多邊形和圓，內(nèi)心的性質(zhì)，扇形面積公式．（1）由正方形的邊長(zhǎng)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑正好組成一個(gè)直角三角形，從而求得它們的長(zhǎng)度；（2）連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，連接．設(shè)的半徑為，在中，由勾股定理列式計(jì)算即可求解；（3）先求得，再利用扇形面積公式即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)O作于點(diǎn)B．∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴，，，∴，∴，∴，即外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為1；故答案為：1，；（2）解：如圖，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，連接．∵是的切線，∴，由正方形可得，∴，∵，∴，設(shè)的半徑為，則，在中，有，∴，解得；（3）解：由（2）知，∴，∵，∴，連接，∴，∴．3．(1)；；(2)【分析】本題主要考查了多邊形內(nèi)角和，圖形的變化規(guī)律，圓周角定理，等邊三角形性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，利用解答中反映長(zhǎng)的規(guī)律解答是解題的關(guān)鍵．（1）利用等弧所對(duì)的圓周角相等和三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和解答即可；（2）利用（1）中解答過程反映出的規(guī)律解答即可．【詳解】（1）解：圖①中，∵點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始以相同的速度在上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，∴，∴，∵，∴，∵是正三角形，∴，∴，同理圖②中，，，圖③中，，，故答案為：；；；（2）由（1）知：的度數(shù)等于圓內(nèi)接正多邊形的一個(gè)內(nèi)角，∵正n邊形的每一個(gè)內(nèi)角等于，．4．邊心距，邊長(zhǎng)為，周長(zhǎng)是，面積是．【分析】連接，延長(zhǎng)交于D，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出，，進(jìn)而求得；再根據(jù)勾股定理求出，即可求出，進(jìn)而求得周長(zhǎng)和面積．【詳解】解：如圖：連接，延長(zhǎng)交于D，∵正外接圓是，∴，∴邊心距，由勾股定理得：，∴三角形邊長(zhǎng)為，，∴的周長(zhǎng)是；的面積是．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、三角形的外接圓、三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)，正確作輔助線后求出的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．5．【分析】本題考查的是正多邊形和圓、圓周角定理的應(yīng)用，連接、、，根據(jù)正多邊形和圓的知識(shí)求出正八邊形的中心角的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出的度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接、、，∵八邊形是正八邊形，∴，∴，∴．6．(1)(2)【分析】此題考查了圓內(nèi)解正六邊形問題，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)解正六邊形的性質(zhì)及弦和圓周角之間的關(guān)系．（）在取一點(diǎn)，連接，利用弦和圓周角的關(guān)系即可求出的值；（）證明是等邊三角形，利用三角函數(shù)求出，，再根據(jù)的面積為求出圓的半徑，即可求出面積．【詳解】（1）如圖所示，在取一點(diǎn)，連接，∵六邊形是正六邊形，∴，，∴，∵，∴，∴；（2）∵，，∴是等邊三角形，∴；∴，，∴，∴，即的半徑為．面積為：7．(1)正六邊形的邊心距為；(2)．【分析】本題考查了正六邊形和圓，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)，掌握正六邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（）連接，過點(diǎn)作于，證明等邊三角形，利用三角函數(shù)即可求解；（）根據(jù)正六邊形的面積即可求解；【詳解】（1）連接，過點(diǎn)作于，則，六邊形是正六邊形，，，為等邊三角形，∴，，圓心到的距離，即正六邊形的邊心距為；（2）正六邊形的面積．8．(1)9(2)(3)扇形的面積為或或【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出，再根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)即可得出答案；（2）先求出，然后根據(jù)弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）分三種情況：當(dāng)時(shí)，時(shí)，時(shí)，分別畫出圖形，求出扇形所對(duì)的圓心角度數(shù)，然后再求出扇形的面積．【詳解】（1）解：根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，，∴以為邊的內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)為：；故答案為：9．（2）解：∵點(diǎn)C在上且位于直線上方，將半徑繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D，直徑平分，∴，∴，∵，∴，∴，∴的長(zhǎng)是．（3）解：當(dāng)是等腰三角形，且時(shí)，如圖所示：則，∵，∴，∴，∴，∴，；當(dāng)是等腰三角形，且時(shí)，如圖所示：則，∴，∵，，∴，∴，∴；當(dāng)是等腰三角形，且時(shí)，如圖所示：則，∴，∴，∴，∴，∴；綜上所述，扇形的面積為或或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形和圓，扇形面積計(jì)算，等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，弧長(zhǎng)計(jì)算，解題的關(guān)鍵數(shù)形結(jié)合，注意進(jìn)行分類討論．9．(1),理由見解析(2)【分析】（1）連接，可得，根據(jù)切線的定義可得，即可得出結(jié)論．（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，，則．根據(jù)點(diǎn)F是的中點(diǎn)，可得．最后根據(jù)平行線的性質(zhì)可得．【詳解】（1）解：．理由：如圖，連接，∵正方形內(nèi)接于，∴．∵與相切于點(diǎn)D，∴，即．∴，∴．（2）解：∵四邊形是正方形，∴，，∴．∵點(diǎn)F是的中點(diǎn)，∴，∴．∵，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的內(nèi)接正多邊形，平行線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A內(nèi)接正多邊形的中心角，同弧所對(duì)的圓周角相等，同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半，以及平行線的判定和性質(zhì)．10．(1)證明見解析；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及線段中點(diǎn)的定義得到三角形全等的條件，則，根據(jù)“全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等”得到（2）連接，并延長(zhǎng)PO交AD于點(diǎn)M，先證明，再根據(jù)“有一個(gè)角是的等腰三角形是等邊三角形”得到為等邊三角形，然后根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得到，則，最后根據(jù)“在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等”得到．【詳解】（1）四邊形是矩形，且點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，在和中，，∴；（2）證明：如圖，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，四邊形是矩形，∴∵，，∴點(diǎn)、都在線段的垂直平分線上，∴垂直平分，∴，，是以點(diǎn)為中心的正六邊形的一邊，由正六邊形性質(zhì)可得∶，∵，是等邊三角形，又，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，線段垂直平分線的判定以及正多邊形的性質(zhì)，熟練掌握線段垂直平分線的判定及性質(zhì)以及等邊三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)正五邊形的性質(zhì)求出∠ABD、∠ACB、∠DBC的度數(shù)，借助三角形的外角性質(zhì)即可解決問題．（2）連接OA，OB，過O作于先求解證明再利用銳角三角函數(shù)求解可得的面積，從而可得答案．【詳解】（1）解：（1）∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴，∴∠ABD=，∠ACB=∠DBC=，∴∠AFB=2×36°=72°，∴∠ABF=∠AFB，∴AB=AF．（2）解：連接OA，OB，過O作于由為正五邊形的中心角，則．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓與正多邊形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握“正多邊形的性質(zhì)”是解本題的關(guān)鍵．12．(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)切線的性質(zhì)得到OC⊥CG，根據(jù)CD=CB得到OC⊥BD，即可得到；（2）通過求角度得到CG＝CB＝GF＝1，再證明計(jì)算即可．【詳解】（1）連接OC．∵正五邊形ABCDE∴．∴．∴OC⊥BD∵CG是⊙O的切線，∴OC⊥CG．∴．（2）∵在正五邊形ABCDE中，CD＝CB，，∴，．∴．∵，∴，．∴∠GCF＝∠F，∠CBG＝∠BGC．∴CG＝GF，CG＝CB．∴CG＝CB＝GF＝1．∵∠CBG＝∠CBF，∠BCF＝∠CGB，∴．∴．∴．即．解得．∴．【點(diǎn)睛】本題考查圓與正多邊形、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記圓相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．(1)(2)403.2mm【分析】（1）連接，過點(diǎn)點(diǎn)作，垂足為，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求得，解直角三角形，分別求得，根據(jù)，即可求解．（2）根據(jù)正六邊形的性質(zhì)，正六邊形的邊長(zhǎng)等于半徑，等于的長(zhǎng)，即可求得正六邊形的周長(zhǎng)．【詳解】（1）如圖，連接，過點(diǎn)點(diǎn)作，垂足為，，，，，即A離紙面CD的距離為．（2），．正六邊形的邊長(zhǎng)等于外接圓的半徑，則正六邊形周長(zhǎng)=．【點(diǎn)睛】本題考查了正六邊形的性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，掌握直角三角形中的邊角關(guān)系是解題的關(guān)鍵．14．(1)(2)見解析(3)【分析】（1）過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OB，根據(jù)垂徑定理可得AH＝BH，而六邊形ABCDEF是正六邊形，所以∠BOH＝30°，根據(jù)三角函數(shù)；（2）連接OA、OB、AF、BE，易證∠ABF＝∠OFB，得AB∥OF，可得OF⊥FG，從而可證FG是⊙O的切線；（3）因?yàn)榱呅蜛BCDEF是正六邊形，點(diǎn)M是中點(diǎn)，所以∠BOC＝∠BOA＝60°，∠MOC＝∠BOM＝30°，∠MOA＝90°，根據(jù)弓形的面積可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)O作OH⊥AB于點(diǎn)H，連接OB，則AH＝BH，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠BOH＝30°．∵⊙O的半徑為6，∴；（2）證明：如圖，連接OA、OB、OF，BF、AE，∵AB＝AF＝EF，∴，∴∠ABF＝∠AFB＝∠EBF＝=30°，∵OB＝OF，∴∠OBF＝∠BFO＝30°，∴∠ABF＝∠OFB，∴AB∥OF，∵FG⊥BA，∴OF⊥FG，∴FG是⊙O的切線；（3）：如圖，連接OA，OB，OC，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，點(diǎn)M是中點(diǎn)，∴∠BOC＝∠BOA＝60°，∠MOC＝∠BOM＝30°，∴∠MOA＝90°，∴弓形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓、垂徑定理、圓周角定理、切