第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數學總復習《與對稱有關的最值模型》專項測試卷(含答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分別是AB和BC上的點．把△ABC沿著直線DE折疊，頂點B對應點是點B′（1）如圖1，點B′恰好落在線段AC的中點處，求CE的長；（2）如圖2，點B′落在線段AC上，當BD=BE時，求B′C的長；（3）如圖3，E是BC的中點，直接寫出AB′的最小值．2．請用圖形變換（對稱、平移或旋轉）解決下列各題：（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，∠ABC＝60°，AD＝8，BC＝12，若P是邊AD上的任意一點，則△BPC周長的最小值為．（2）如圖2，已知M（0，1）、P（2+，3）、E（a，0）、F（a+1，0），問a為何值時，四邊形PMEF的周長最小？（3）如圖3，P為等邊△ABC內一點，且PB＝2，PC＝3，∠BPC＝150°，M、N為邊AB、AC上的動點，且AM＝AN，請直接寫出PM+PN的最小值．3．如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，點E是AD的中點，過點A作AF∥BC交BE的延長線于F，連接CF．（1）求證：△AEF≌△DEB；（2）若∠BAC=90°，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結論；（3）在（2）的情況下，點M在AC線段上移動，請直接回答，當點M移動到什么位置時，MB+MD有最小值．4．如圖，二次函數的圖象交軸于點、，交軸于點，點是第四象限內拋物線上的動點，過點作軸交軸于點，線段的延長線交于點，連接、交于點，連接．（1）求二次函數的表達式；（2）當時，求點的坐標及；（3）在（2）的條件下，點是軸上一個動點，求的最小值．

5．綜合與探究如圖，已知拋物線y＝﹣x2﹣2x+3與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．其頂點為D，對稱軸是直線l，且與x軸交于點H．（1）求點A，B，C，D的坐標；（2）若點P是該拋物線對稱軸l上的﹣個動點，求△PBC周長的最小值；（3）若點E是線段AC上的一個動點（E與A．C不重合），過點E作x軸的垂線，與拋物線交于點F，與x軸交于點G．則在點E運動的過程中，是否存在EF＝2EG？若存在，求出此時點E的坐標；若不存在，請說明理由．6．如圖，在平面直角坐標系中，直線是第一、三象限的角平分線.

（1）由圖觀察易知A（0，2）關于直線l的對稱點A′的坐標為（2，0），請在圖中分別標明B（5，3）、C（-2，5）關于直線l的對稱點B′、C′的位置，并寫出他們的坐標：___________、___________；（2）結合圖形觀察以上三組點的坐標，你會發現：坐標平面內任一點關于第一、三象限的角平分線的對稱點的坐標為___________（不必證明）；（3）已知兩點、，試在直線L上畫出點Q，使點Q到D、E兩點的距離之和最小，求QD+QE的最小值．7．如圖1所示，正方形ABCD的面積為S，△ABE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內，AC是對角線，點P是AC上任意一點，連接PD、PE．試在圖2中通過作圖標使PD+PE最小的點P的位置（保留作圖痕跡），并求出PD+PE最小值為多少？

8．如圖1，平行四邊形ABCD在平面直角坐標系中，A、B（點A在點B的左側）兩點的橫坐標是方程的兩個根，點D在y軸上其中．（1）求平行四邊形ABCD的面積；（2）若P是第一象限位于直線BD上方的一點，過P作于E，過E作軸于H點，作PF∥y軸交直線BD于F，F為BD中點，其中△PEF的周長是；若M為線段AD上一動點，N為直線BD上一動點，連接HN，NM，求的最小值，此時y軸上有一個動點G，當最大時，求G點坐標；（3）在（2）的情況下，將△AOD繞O點逆時針旋轉60°后得到如圖2，將線段沿著x軸平移，記平移過程中的線段為，在平面直角坐標系中是否存在點S，使得以點，，E，S為頂點的四邊形為菱形，若存在，請求出點S的坐標，若不存在，請說明理由．9．問題探究（1）如圖①，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，AB＝3，則BC的長為；（2）如圖②，四邊形ABCD中，DA⊥AB，CB⊥AB，AD＝3，AB＝5，BC＝2，P是邊AB上的動點，求PC+PD的最小值；問題解決（3）某山莊有一營地，如圖③，營地是由等邊△ABC和弦AB與其所對的劣弧圍成的弓形組成的，其中AC＝600m，所對的圓心角為120°，點D是AB上的一個取水點，AD＝200m，連接CD交于點E．管理員計劃在上建一個入口P，在PC、PB上分別建取水點M、N．由于取水點之間需按D→M→N→D的路徑鋪設水管，因此，為了節約成本要使得線段DM、MN、ND之和最短，試求DM+MN+ND的最小值．10．熱愛學習的小明同學在網上搜索到下面的文字材料：在x軸上有兩個點它們的坐標分別為（a，0）和（c，0）．則這兩個點所成的線段的長為|a﹣c|；同樣，若在y軸上的兩點坐標分別為（0，b）和（0，d），則這兩個點所成的線段的長為|b﹣d|．如圖1，在直角坐標系中的任意兩點P1，P2，其坐標分別為（a，b）和（c，d），分別過這兩個點作兩坐標軸的平行線，構成一個直角三角形，其中直角邊P1Q=|a﹣c|，P2Q=|b﹣d|，利用勾股定理可得：線段P1P2的長為．根據上面材料，回答下面的問題：（1）在平面直角坐標系中，已知A（6，﹣1），B（6，5），則線段AB的長為；（2）若點C在y軸上，點D的坐標是（﹣3，0），且CD=6，則點C的坐標是；（3）如圖2，在直角坐標系中，點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），點C是y軸上的一個動點，且A，B，C三點不在同一條直線上，求△ABC周長的最小值．11．如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD相交于點E，∠DAB＝∠CDB＝90°，∠ABD＝45°，∠DCA＝30°，AB＝．（1）求AE的長．（2）求△ADC的面積．（3）若Q是AB的中點，P是DB邊上的點，連接AP和PQ得到△APQ，試探究△APQ的周長是否存在最小值？若存在，請求出△APQ周長的最小值；若不存在，請說明理由．12．如圖1，在平面直角坐標系中有長方形OABC，點，將長方形OABC沿AC折疊，使得點B落在點D處，CD邊交x軸于點E，．（1）求點D的坐標；（2）如圖2，在直線AC以及y軸上是否分別存在點M，N，使得△EMN的周長最小？如果存在，求出△EMN周長的最小值；如果不存在，請說明理由；（3）點P為y軸上一動點，作直線AP交直線CD于點Q，是否存在點P使得△CPQ為等腰三角形？如果存在，請求出∠OAP的度數；如果不存在，請說明理由．13．如圖1，在平面直角坐標系中，點的坐標是，點的坐標是，點和點關于原點對稱，點是直線位于軸右側部分圖象上一點，連接，已知．（1）求直線的解析式；（2）如圖2，沿著直線平移得，平移后的點與點重合．點為直線上的一動點，當的值最小時，請求出的最小值及此時點的坐標；（3）如圖3，將沿直線是翻折得點為平面內任意一動點，在直線上是否存在一點，使得以點、、、為頂點的四邊形是矩形；若存在，請直接寫出點的坐標，若不存在，說明理由．14．如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸交于點A（m，0），與y軸交于點B（0，n），且m，n滿足：（m＋n）2＋|n－6|＝0．

（1）求：①m，n的值；②S△ABE的值；（2）D為OA延長線上一動點，以BD為直角邊作等腰直角△BDE，連接EA，求直線EA與y軸交點F的坐標．（3）如圖2，點E為y軸正半軸上一點，且∠OAE＝30°，AF平分∠OAE，點M是射線AF上一動點，點N是線段OA上一動點，試求OM＋MN的最小值（圖1與圖2中點A的坐標相同）．15．如圖，在中，，，，是的外接圓，是延長線上一點，且，連接，點是射線上的動點

（1）求證：是的切線；（2）的長度為多少時，的度數最大，最大度數是多少？請說明理由；（3）點運動的過程中，的值能否達到最小，若能，求出這個最小值；若不能，請說明理由．參考答案1．（1）；（2）3；（3）【分析】（1）設CE=x，則BE=6-x；在Rt△B'CE中，根據勾股定理列出關于x的方程，解方程即可解決問題．（2）如圖2中，作B′H⊥AB于H．連接BB′．首先證明B′C=B′H，設B′C=B′H=x，構建方程即可解決問題．（3）如圖3中，連接AE，EB′，AB′．在△AB′E中，利用三角形長三邊關系即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖1中，∵點B′落在AC的中點，∴CB′=AC=4，設CE=x，則BE=6-x，由折疊得：B'E=BE=8-x，在Rt△B'CE中，由勾股定理得x2+42=(6-x)2解得：x=，即CE的長為．（2）如圖2中，作B′H⊥AB于H．連接BB′．∵EB=EB′，DB=DB′，BE=BD，∴BE=EB′=B′D=DB，∴四邊形BEB′D是菱形，∴∠B′BD=∠B′BE，∵B′C⊥BC，B′H⊥AB，∴B′C=B′H，設B′C=B′H=x．在Rt△ABC中，∵BC=6，AC=8，∴AB==10，∵S△ABC=S△BCB′+S△ABB′，∴?AC?BC=?BC?x+×AB×x，∴x=3，∴CB′=3．（3）如圖3中，連接AE，EB′，AB′．在Rt△ACE中，∵AC=8，EC=3，∴AE==，∵EB=EC=EB′=3，∴AB′≥AE-BE′，∴AB′≥-3，∴AB′的最小值為-3．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，考查了勾股定理，菱形的判定與性質，角平分線的性質，三角形三邊的關系，以及翻折變換的性質及其應用，解題的關鍵是靈活運用翻折變換的性質，找出圖形中隱含的等量關系，借助勾股定理列方程進行解答．2．（1）；（2）a＝時，四邊形PMEF周長最小；（3）PM+PN的最小值為．【分析】（1）如圖1（見解析），先根據軸對稱的性質、兩點之間線段最短得出周長最小時，點P的位置，再根據矩形的性質、直角三角形的性質求出CD的長，從而可得的長，然后利用勾股定理可得的長，由此即可得出答案；（2）如圖2（見解析），要使四邊形PMEF的周長最小，只需最小；先利用平移、軸對稱的性質得出，再根據兩點之間線段最短得出最小時，點F的位置，然后利用待定系數法求出直線的解析式，從而可得a的值；（3）如圖（見解析），先將繞點C順時針旋轉，利用旋轉的性質、勾股定理求出PA的長，再將繞點A逆時針旋轉，根據旋轉的性質、兩點之間線段最短確認最小時，點N的位置，然后根據等邊三角形的性質即可得出答案．【詳解】（1）如圖1，作點C關于直線AD的對稱點，連接交AD于，則由軸對稱的性質、兩點之間線段最短可知，此時周長最小，最小值為作于H∴四邊形ADCH是矩形在中，則周長的最小值為故答案為：；（2）四邊形PMEF的四條邊中，PM、EF長度固定，則只要最小，四邊形PMEF的周長將取得最小值如圖2，將點M向右平移1個單位長度（EF的長度），連接則，四邊形是平行四邊形作點關于x軸的對稱點，連接則，由兩點之間線段最短得：當點共線時，最小，最小值為設直線的解析式為將點代入得解得則直線的解析式為將點代入得解得故當時，四邊形PMEF周長最小；（3）如圖3﹣1中，將繞點C順時針旋轉得到，連接PE由旋轉的性質得：是等邊三角形如圖3﹣2中，將繞點A逆時針旋轉得到，連接PF，交AC于點D由旋轉的性質得：是等邊三角形，由兩點之間線段最短得：當點N與點D重合時，最小，最小值為PF故的最小值為．【點睛】本題是一道較難的綜合題，考查了圖形變換（對稱、平移、旋轉）、等邊三角形的判定與性質等知識點，掌握理解并靈活運用圖形變換是解題關鍵．3．（1）見解析；（2）四邊形ADCF是菱形，理由見解析；（3）見解析【分析】（1）根據平行線的性質得到∠AFE=∠DBE，利用AAS定理證明△AEF≌△DEB；（2）根據全等三角形的性質得到AF=DC，得到四邊形ADCF是平行四邊形，根據直角三角形的性質得到AD=DC，證明四邊形ADCF是菱形；（3）根據菱形的性質得到點D與點F關于直線AC對稱，根據軸對稱的性質作圖即可．【詳解】（1）證明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，在△AEF和△DEB中，，∴△AEF≌△DEB；（2）四邊形ADCF是菱形，理由如下：∵△AEF≌△DEB，∴AF=BD，∵BD=DC，∴AF=DC，又AF∥BC，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵∠BAC=90°，AD是BC邊上的中線，∴AD=DC，∴四邊形ADCF是菱形；（3）連接BF交AC于M，則點M即為所求，∵四邊形ADCF是菱形，∴點D與點F關于直線AC對稱，∴MD=MF，∴MB+MD=MB+MF=BF，即MB+MD有最小值．【點睛】本題考查的是全等三角形的判定和性質、菱形的判定以及軸對稱-最短路徑問題，掌握鄰邊相等的平行四邊形是菱形、全等三角形的判定定理是解題的關鍵．4．（1）；（2），；（3）【分析】（1）把點A的坐標為(-2，0)，點B的坐標為(1，0)代入y=ax2+bx+1，解方程組即可得到結論；（2）由條件可得BE?DE=OE?EM，設D(a，-x2?x+1)，則可表示BE、DE、OE、EM的長，得到關于a的方程，解方程可求出D點的坐標，求出AE、DE長，則sin∠DAE的值可求；（3）作D關于x軸的對稱點F，過點F作FH⊥AD于點H，交軸于點P，則∠DAE=∠HFD，DP+AP=FP+HP，此時FH最小，求出最小值即可．【詳解】解：（1）把點，點代入得，解得，∴二次函數的表達式為；（2）∵二次函數的表達式為，令，得，∴點的坐標為．設直線的解析式為，∴，解得，∴直線的解析式為．∵軸，∴，．∵，∴．設，則，∴，，，，∴，解得，（舍去），（舍去），∴，∴，，∴，∴；（3）如圖，作點關于軸的對稱點，過點作于點，交軸于點，連接，則，∵，∴，∴，∴，由垂線段最短可知此時長度最小，∵，∴，∴，∴，∴的最小值為．

【點睛】主要考查了待定系數法求函數的解析式，函數圖象上點的坐標特征，勾股定理，垂線段最短，軸對稱的性質，以及解直角三角形的知識，要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系，解決相關問題．5．（1）點A坐標為（﹣3，0），點B坐標為（﹣1，0）．點C坐標為（0，3）．點D坐標為（﹣1，4）；（2）△PBC周長的最小值為；（3）存在點E（﹣2，1），使得EF＝2EG．【分析】（1）當y=0時，-x2-2x+3=0，求得：點A坐標為（-3，0），點B坐標為（-1，0）；令x=0，求得C坐標為（0，3）；化為頂點式即可求得點D的坐標；（2）△PBC的周長為PB+PC+BC，BC為定值，當PB+PC最小時，△PBC的周長最小．即可求解；（3）設點E坐標為（x，x+3），點F（x，-x2-2x+3），則EF=（-x2-2x+3）-（x+3）=-x2-3x，EG=x+3，即可求解．【詳解】（1）當y＝0時，﹣x2﹣2x+3＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，∴點A坐標為（﹣3，0），點B坐標為（﹣1，0）．當x＝0時，y＝3，∴點C坐標為（0，3）．∵y＝﹣（x+1）2+4∴點D坐標為（﹣1，4）；（2）△PBC的周長為PB+PC+BC，∵BC為定值，∴當PB+PC最小時，△PBC的周長最小．∵點A，點B關于拋物線的對稱軸l對稱，∴連接AC，交l于點P，點P即為所求的點．∵AP＝BP，∴PB+PC+BC＝AC+BC．∵A（﹣3，0），B（﹣1，0），C（0，3），∴AC＝，BC＝，∴△PBC周長的最小值為；（3）設直線AC的解析式為y＝kx+b，得．解得k＝1，b＝3．∴直線AC的解析式為y＝x+3．設點E坐標為（x，x+3），點F（x，﹣x2﹣2x+3），則EF＝（﹣x2﹣2x+3）﹣（x+3）＝﹣x2﹣3x，EG＝x+3．當EF＝2EG時，有﹣x2﹣3x＝2（x+3）．解得x1＝﹣2，x2＝﹣3（舍去）當x＝﹣2時，點E坐標為（﹣2，1）．∴存在點E（﹣2，1），使得EF＝2EG．【點睛】本題主要考查了二次函數與一次函數綜合，軸對稱最短的性質，勾股定理，二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．6．（1）,.（2）（3）【分析】（1）根據對稱軸為第一、三象限的角平分線，結合圖形得出B′、C′兩點坐標；（2）由（1）的結論，并與B、C兩點坐標進行比較，得出一般規律；（3）由軸對稱性作出滿足條件的Q點，結合勾股定理，得出結論．【詳解】（1）如圖，由點關于直線y=x軸對稱可知：B'（3，5），C'（5，-2）．故答案為（3，5），（5，-2）；

（2）由（1）的結果可知，坐標平面內任一點P（a，b）關于第一、三象限的角平分線l的對稱點P′的坐標為（b，a）．故答案為（b，a）；（3）由（2）得，D（1，-3）關于直線l的對稱點D'的坐標為（-3，1），連接D'E交直線l于點Q，此時點Q到D、E兩點的距離之和最小，D'E==，∴QD+QE的最小值為：．【點睛】本題主要考查了最短路徑問題和軸對稱的性質，利用軸對稱解決最短路徑問題是解答此題的關鍵．7．作圖見解析；最小值為【分析】連接BE，交AC于點P，連接DP，PD+PE=PB+PE=BE最小，求出BE長即可.【詳解】解：連接BE，交AC于點P，連接DP，

∵點B與D關于AC對稱，∴PD=PB，∴PD+PE=PB+PE=BE最小，∵正方形ABCD的面積為S，∴AB=，又∵△ABE是等邊三角形，∴BE=AB=，故所求最小值為.【點睛】本題是對正方形知識的考查，熟練掌握正方形的性質，得出PD+PE=PB+PE=BE最小，是解決本題的關鍵.8．（1）S平行四邊形ABCD=48；（2）G（0，），見解析；（3）滿足條件的點S的坐標為或或，見解析.【分析】（1）解方程求出A，B兩點坐標，在Rt△AOD中，求出OD即可解決問題．（2）首先證明△EHB也是等腰直角三角形，以HE，HB為邊構造正方形EHBJ，連接JN，延長JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，連接JT．在Rt△DMT中，易知MT=DM，根據對稱性可知：NH=NJ，推出HN+MM-DM=NJ+MN-MT≤JT，推出當JT最小時，HN+MM-DM的值最小．如圖2中當點M在JQ的延長線上時，HN+MM-DM的值最小，此時M（-，5），作點M關于y軸對稱點M′，連接CM′，延長CM′交y軸于點G，此時|CG-MG|最大，求出直線CM′的解析式即可解決問題．（3）分五種情形分別畫出圖形，利用菱形的性質，中點坐標公式等知識一一求解即可．【詳解】解：（1）由得到x=-2或6；∴A（-2，0），B（6，0）；在Rt△ADO中，∵∠AOD=90°，AD=2，OA=2；，∵OB=6，∴OD=OB=6，∴△BOD是等腰直角三角形，∴S平行四邊形ABCD=AB?OD=8×6=48；（2）如圖1中，∵EH⊥OB，∴∠EHB=90°，∵△BOD是等腰直角三角形，∴∠EBH=45°，∴△EHB也是等腰直角三角形，以HE，HB為邊構造正方形EHBJ，連接JN，延長JE交OD于Q，作MT⊥OD于T，連接JT，在Rt△DMT中，易知MT=DM，∵四邊形EHBJ是正方形，根據對稱性可知：NH=NJ，∴HN+MM-DM=NJ+MN-MT≤JT，∴當JT最小時，HN+MM-DM的值最小，∵JT≤JQ，∴JT≤OB=6，∴HN+MM-DM的最小值為6．如圖2中，∵PF∥y軸，∴∠PFE=∠ODB=45°，∴△PEF是等腰直角三角形，設PE=EF=a，則PF=a，由題意2a+a=4+4，∴a=2，∵FB=FD，∴F（3，3），∴E（1，5），∴當點M在JQ的延長線上時，HN+MM-DM的值最小，此時M（-，5），作點M關于y軸對稱點M′，連接CM′，延長CM′交y軸于點G，此時|CG-MG|最大，∵C（8，6），M′（，5），∴直線CM′的解析式為，∴G（0，）；（3）存在．設菱形的對角線的交點為J．①如圖3-1中，當O′D″是對角線時，設ES交x軸于T．∵四邊形EO′SD″是菱形，∴ES⊥O′D″，∴直線ES的解析式為，∴T，在Rt△JTO′中，易知O′J=3，∠TO′J=30°，∴O′T=2，，∵JE=JS，∴可得S，②如圖3-2中，當EO′=O′D″=6時，可得四邊形SEO′D″是菱形，設O′（m，0）．則有：（m-1）2+52=36，∴m=1+或1-，∴O′（1+，0）或（1-，0）（如圖3-3中），∴D″（1+-3，3），∴；∵JS=JO′，，③如圖3-3中，當EO′=O′D″時，由②可知O′（1-，0）．同法可得④如圖3-4中，當ED″=D″O′=6時，可得四邊形ESO′D″是菱形．設D″（m，3），則（m-1）2+22=36，∴m=1+4（圖5中情形），或m=1-4，，,∵JD″=JS，∴可得S（1+3，2），⑤如圖3-5中，當D″E=D″O時，由④可知D″（1+4，3），，，∵JD″=JS，∴可得S（1+3，2），綜上所述，滿足條件的點S的坐標為或或.【點睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的性質，菱形的性質，軸對稱最短問題，解直角三角形，中點坐標公式，一次函數的應用等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用軸對稱解決最值問題，屬于中考壓軸題．9．（1）；（2）；（3）m【分析】（1）過點A作，利用三角函數解直角三角形求，再根據等腰三角形的三線合一得到，即可得到答案．（2）作點C關于AB的對稱點,連接交AB于點P,延長DA到點E，使得,連接，此時，的值最小．在，利用勾股定理求即可．（3）做輔助線，補全外接圓，連接延長交于連接，延長交于，作點D關于CP對稱點，作點D關于PB對稱點，連接，交PC于點M，交PB于點N．連接,，,,．過作于當最小，、、、在同一條直線上時，DM+MN+ND取得最小值，即最小值為，從而可得答案．【詳解】證明:（1）過點A作∵AB＝AC，∠B＝30°，AB＝3∴∵AB＝AC，∴故答案．（2）作點C關于AB的對稱點,連接交AB于點P,延長DA到點E，使得,連接，此時，的值最小．∵點C與點關于AB的對稱,BC＝2∴,∴，∴∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴∴四邊形是矩形，∴,∴在中，利用勾股定理：此時，的值最小，即．（3）補全外接圓，連接延長交于連接，延長交于，作點D關于CP對稱點，作點D關于PB對稱點，連接，交PC于點M，交PB于點N．連接,，,,，過作于∵點D關于CP對稱點，作點D關于PB對稱點∴，，∵△ABC是等邊三角形∴(同弧所對圓周角相等)∵,（根據對稱性）∴，∵點D關于CP對稱點，點D關于PB對稱點∴,∴∴當最小且、、、在同一條直線上時，DM+MN+ND的最小，即，為等邊△ABC的外心，為等邊△ABC的重心，的最小值是【點睛】本題主要利用對稱性求“最短”問題，綜合了軸對稱的基本性質、三角函數解直角三角形、勾股定理、圓周角定理、等邊三角形的判定和性質，相似三角形的判定與性質，解答此題的關鍵，利用軸對稱的性質，找到合適的點，是解答此題的關鍵．10．（1）6；（2）或；（3）．【分析】（1）根據線段長度計算方法計算即可；（2）設C點坐標為（0，b），根據線段長度計算方法計算即可；（3）找到點A關于y軸的對稱點A'（﹣1，4），連接A'B交y軸于點C，此時△ABC周長的最小，然后根據線段長度計算方法即可求解．【詳解】解：（1）∵A（6，﹣1），B（6，5），∴．故答案為：6；（2）設C點坐標為（0，b），則在Rt△OCD中，CD2=OC2+OD2，即（﹣3﹣0）2+（0﹣b）2=62，解得．所以C的坐標為或．故答案為：或；（3）如圖，設A點關于y軸的對稱點為A'，則點A'的坐標為（﹣1，4），A'C=AC，∵△ABC的周長=AB+AC+CB=AB+A'C+CB，其中線段AB的長為定值，∴當C點為A'B與y軸的交點時，此時A'B即為A'C+CB的最小值，△ABC的周長最小，此時△ABC的周長=AB+A'C+CB=AB+A'B．∵點A，B的坐標分別為（1，4）和（3，0），∴AB2．．所以△ABC的周長的最小值為．【點睛】本題為三角形綜合題，考查了勾股定理，兩點的距離公式，軸對稱的最短路徑問題，解決此題的關鍵是掌握兩點之間的距離公式．11．（1）2；（2）；（3）存在，；【分析】（1）過點A作AF⊥BD于點F，在Rt△AFB中，求出AF＝BF，在Rt△AEF中，求出AE即可；（2）首先在△ABD中求出DB，DE的長度，從而求出CD的長度，通過S△ACD＝S△ADE＋S△CDE求解即可；（3）第一步：確定點P的位置，即作點A關于直線BD的對稱點F，連接QF交BD于點P，則△APQ的周長最小值是FQ＋QA的值；第二步：根據勾股定理得到FQ，即可求解．【詳解】（1）如圖1，過點A作AF⊥BD于點F，則∠AFB＝90°．∵∠CDB＝90°，∠1＝30°，∴∠2＝∠3＝60°．在Rt△AFB中，∠4＝45°，AB＝，∴AF＝BF＝．在Rt△AEF中，∠3＝60°，AF＝，∴EF＝1，AE＝2；（2）∵在△ABD中，∠DAB＝90°，∠ABD＝45°，AB＝，∴DB＝2，∴DE＝DB－BF－EF＝－1，∴CD＝DE＝3－，∴S△ACD＝S△ADE＋S△CDE＝DE·AF＋CD·DE＝×(－1)×＋×(3－)×(－1)＝．（3）存在．如圖，作點A關于直線BD的對稱點F，連接QF交BD于點P，則此時△APQ的周長最小，其最小值是FQ＋QA的值，連接BF．∵△ABD是等腰直角三角形，且BD垂直平分AF，∴∠ABF＝90°，BF＝AB＝．∵BQ＝QA＝AB＝，∴，∴△APQ周長的最小值為．【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，勾股定理解直角三角形，以及最短路徑問題等，熟練掌握并靈活運用基本性質和定理是解題關鍵．12．（1）點D坐標；（2）存在，△EMN的周長最小值為8；（3）存在，或【分析】（1）利用矩形的性質和得到AO=4，∠CAB＝60°，再由折疊的性質AD=4，∠DAO＝30°，過點D作DF⊥AO于F，可求得DF、AF，進而可求得點D坐標；（2）如圖，利用“將軍飲馬”模型，分別作E關于y軸、AC的對稱點Q、H，連接QH，則QH就是周長的最小值，進一步求出點E、點Q、點H坐標，即可解得QH的長，即周長的最小值；（3）要使得△CPQ為等腰三角形，需分三種情況討論求解：①若CP=CQ；②若PQ=CQ;③若CP=PQ，進一步推導求解即可．【詳解】解：（1）∵四邊形AOCB是矩形，∴OC＝AB＝4，∵∠OAC＝30°∴AC＝2CO＝8，AO＝CO＝4，∠CAB＝60°，∵長方形OABC沿AC折疊，使得點B落在點D處，∴AD＝AB＝4，∠CAD＝60°，∴∠DAO＝30°，如圖1，過點D作DF⊥AO于F，∵DF⊥AO，∠DAO＝30°，∴DF＝AD＝2，AF＝DF＝2，∴OF＝AO﹣AF＝2，∴點D坐標（2，﹣2）；（2）如圖2，過點E作y軸的對稱點G，過點E作AC的對稱點H，連接GH交y軸于點N，與AC交于M，即△EMN的周長最小值為GH，∵∠OAD＝30°，AD＝4，∠ADC＝90°∴AE＝，∴OE＝，∵點G，點E關于y軸對稱，點E，點H關于AC對稱，∴點G（﹣，0），點H（，4）∴GH＝，∴△EMN的周長最小值為8；（3）存在點P使得△CPQ為等腰三角形，∵∠ACB＝∠ACD＝30°，∴∠OCE＝30°，①若CP＝CQ，如圖3，∵CP＝CQ，∠OCE＝30°，∴∠CPQ＝75°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝15°，②若PQ＝CQ時，如圖4，∵CQ＝PQ，∴∠QPC＝∠PCQ＝30°，∴∠OAP＝90°﹣∠CPQ＝60°；③若CP＝PQ，如圖5，∴∠PCQ＝∠PQC＝30°，∴∠OPA＝60°，且∠OCA＝60°，∴不存在這樣的點P，綜上，滿足條件的點P存在，并且∠OAP=15o或60o．【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質、折疊性質、矩形的性質、含30o直角三角形性質、對稱性求最值、等腰三角形的性質、勾股定理、兩點坐標距離公式等知識，屬于綜合題型，有一定難度，解答的關鍵是認真分析圖形，尋找相關聯的信息，借助添加輔助線或數學模型確定解題思路，進而推導、計算．13．（1）；（2）點，，最小值；（3）點，或，．【分析】（1）點和點關于原點對稱，則點，將點、的坐標代入一次函數表達式，即可求解；（2）過點作直線軸，過點作，垂足為點，交于點，則，即此時，最小，最小值為，即可求解；（3）點、均在直線上，而與不垂直，故點不可能是矩形的邊，只能是矩形的對角線，即可求解．【詳解】解：（1）點和點關于原點對稱，則點，將點、的坐標代入一次函數表達式：得：，解得：，故直線的表達式為：；（2）過點作直線軸，過點作，垂足為點，交于點，，故，，，，則，即此時，最小，最小值為，，則，故點，，，則點，，則點，，點，，最小值；（3）存在，理由：①當時，如圖，，，則，故點，；、、、為頂點的四邊形是矩形，點位置如下圖所