第第頁2025年中考數學總復習《觀察歸納》專項測試卷(附答案)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、選擇題：本題共8小題，在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.在同一平面內有2025條直線a1，a2，…，a2025，如果a1⊥a2，a2//a3，a3A.垂直 B.平行 C.垂直或平行 D.重合2.用小棒擺圖形，如圖，第1個圖用6根小棒，第2個圖用10根小棒，第3個圖用14根小棒，……，按這樣的規律擺下去，第(????)個圖用146根小棒．

A.36 B.37 C.38 D.393.將一個邊長為1的等邊三角形的每條邊三等分，以中間一段為邊向形外作等邊三角形，并擦去中間一段，得圖2，如此繼續下去，得圖(3)…不斷重復這樣的過程，便產生了雪花曲線．記Sn為下圖中第n個圖形的面積，則S3等于

(

)

A.10??327 B.313814.如圖，在平面直角坐標系上有點A(1,0)，點A第一次跳動至點A1(?1,1)，第二次點A1向右跳到點A2(2,1)，第三次點A2跳到點A3(?2,2)，第四次向右跳動5個單位至點A4(3,2)?依此規律跳動下去，點AA.(50,51) B.(49,50C.5.如圖，AA1=1，以OA為直角邊作Rt△OAA1，使∠AOA1=30°，再以OA1為直角邊作Rt△OAA.43 B.83 C.896.小明用相同的積木玩一個拼圖游戲，該積木每個角都是直角，長度如圖1所示，小明用n個這樣的積木，按照如圖2所示的方法玩拼圖游戲，兩兩相扣，相互間不留空隙.則圖形的總長度s與圖形個數n之間的關系式為(

)

A.s=6n+4 B.s=5n+4 C.s=5n D.s=6n+107.如圖，長方形BCDE的各邊分別平行于x軸或y軸，物體甲和物體乙分別由點A2,0同時出發，沿長方形BCDE的邊作環繞運動，物體甲按逆時針方向以1個單位長度/秒勻速運動，物體乙按順時針方向以2個單位長度/秒勻速運動，則兩個物體運動后的第2002次相遇地點的坐標是(

)

A.2,0 B.?1,1 C.?2,1 D.?1,?18.一只跳蚤每秒跳一格，起點A處用有序數對表示為0,0，按如圖所示的規律一直跳下去，第2024秒時跳蚤的位置用有序數對表示為(

)

A.0,1012 B.1012,4 C.1012,0 D.4,1012二、填空題：本題共5小題。9.計算：1+11+2+10.如圖，雙曲線y=2x與直線y=2x相交于點A，B，在直線y=2x上取點A1(2,a1)，B1(?2,b1)，A2(3,a2)，B2(?3,b2)，A3(4,a3)，B3(?4,b3)，?，依次以A1B1，A2B2，A3B3，?為對角線分別向外作左、右一組對邊垂直于x軸的矩形M1，M211.為了書寫簡便，18世紀數學家歐拉引進了求和符號“k=ink”(其中i≤n，且i和n表示正整數)，例如：k=1nk=1+2+3+…+(n?1)+n，k=5n(x+k)=(x+5)+(x+6)+(x+7)+…+(x+n)12.如圖，將一根繩子按如圖方式剪開，剪1刀，繩子變成5段；剪2刀，繩子變成9段；剪12刀，繩子變成______段；剪______刀，繩子變成101段．13.下表中每行所給的三個數a，b，c均滿足a<b<c，則根據表中已有數據的規律，可得出：當a=20時，b的值為

，c的值為

．6，8，108，15，1710，24，26…20，b，c681…2三、解答題：本題共13小題，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14．觀察下列等式：①

32②

52③

72④?92(1)請你寫出第6個等式

______________________________，(2)試用含n(n≥1，且n為正整數)的式子，表示你發現的規律，并證明你發現規律的正確性．

15.

—觀察下列等式：

11×2=1?12,12×3=12?13,13×4=13?14

將以上三個等式兩邊分別相加得：

11×2+12×316.觀察下列等式．第1個等式：第2個等式：第3個等式：3+15=4根據以上規律，解決下列問題．(1)計算：4+1(2)請寫出第n個等式：

;(用含n的式子表示，且n為正整數)(3)若a+1b=111b，且a，b均為正整數，求a+b的值．

17.

【教材呈現】

探究人教2024版初中數學七年級上冊106頁的活動2自然數被3整除的規律．

在小學，我們知道像12，27，36，45，108，…這樣的自然數能被3整除.一般地，如果一個自然數的所有數位上的數字之和能被3整除，那么這個自然數能被3整除.你能說出其中的道理嗎？

先來看兩位數的情形．

若一個兩位數的十位，個位上的數字分別為a，b，則通常記這個兩位數為ab?.于是ab?=10a+b=9a+(a+b).顯然9a能被3整除，因此，如果a+b能被3整除，那么9a+(a+b)就能被3整除，即ab?能被3整除．

請你用類似的方法表示三位數，四位數，并說明前面結論的道理，你還可以繼續研究五位數情形嗎？

【方法運用】

(1)我們用abc?表示一個三位數.其中a，b，c分別表示百位，十位，個位上的數，即abc?=100a+10b+c.若a+b+c能被3整除，則abc?能被3整除．

證明：

∵abc?=100a+______+c=99a+______+(a+b+c)，

又∵99a和9b能被3整除，a+b+c能被3整除，

∴abc?能被3整除．

(2)若四位數123x?(1<x<4)能被3整除，則x的值為______．

【類比應用】

(3)已知三位數abc?中，a+b+c能被9整除，求證：abc?能被918.

化學中把僅有碳和氫兩種元素組成的有機化合物稱為碳氫化合物，又叫烴.如圖，這是部分碳氫化合物的結構式，第1個結構式中有1個C和4個H，分子式是CH4；第2個結構式中有2個C和6個H，分子式是C2H6；第3個結構式中有3個C和8個H，分子式是C3H8…按照此規律，回答下列問題．

(1)第10個結構式的分子式是______；

(2)第n個結構式的分子式是______；

(3)試通過計算，說明分子式為C2024H19.

將整數1，2，3，?，2009按下列方式排列成數表，用斜十字框“x”框出任意的5個數(如圖)，如果用a，b，c，d，m(m處于斜十字中心)表示類似“x”形框中的5個數，記S=a+b+c+d．

(1)若S最小，那么m=______，若S最大，那么m=______；

(2)用等式表示S與m之間的關系______；

(3)若S=2024，求m的值；

(4)S能等于W=1000?178×1000×20?539

20.在此處鍵入公式。

【感知】∵1x?1x+1=x+1x(x+1)?xx(x+1)=1x(x+1)，

∴1x(x+1)=1x?1x+1．

【應用】(1)計算：12×3+121.在有些情況下，不需要計算出結果也能把絕對值符號去掉．例如：|6+7|=6+7，|6?7|=7?6，|7?6|=7?6，|?6?7|=6+7．(1)根據上面的規律，把下列各式寫成去掉絕對值符號的形式：①|7?21|=

.②?12+0.8=(2)用合理的方法計算：15?12024+12+22.觀察以下等式：第1個等式：152=100×2+25，

第2個等式：第3個等式：352=100×12+25，

第4個等式：45按照以上規律，解決下列問題：(1)寫出第6個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式：________(用含n的等式表示)，并證明．

23.

【填空】點E是平行四邊形ABCD的邊上一點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，已知平行四邊形ABCD的面積為2S．

(1)若DE=EC，如圖1，則△CEF的面積為12S；

(2)若DE=2EC，如圖2，則△CEF的面積為______(用含S的式子表示，下同)；

(3)若DE=3EC，如圖3，則△CEF的面積為______；

【論證】請選用【填空】中(2)或(3)中的一種情況，證明你的結論；

【猜想】觀察【填空】中的結論，發現規律，猜想若DE=nEC，則△CEF的面積為______(用含n和S的式子表示，不用說理)．

24.

綜合與實踐：根據以下素材，探索解決問題：

素材一：據國際田聯《田徑場地設施標準手冊》，400米標準跑道由兩個平行的直道和兩個半徑相等的彎道組成，有8條跑道，每條跑道寬1.22米，直道長84.39米：跑道的彎道是半圓形，跑道第一圈(最內圈邊線)彎道半徑為35.0米到38.0米之間．

素材二：某校根據國際田聯標準和學校場地實際，建成第一圈(最內圈邊線)彎道半徑為36.50米的標準跑道(如圖).按田徑競賽規程規定：第一分道計算線(又稱運動員的實跑線)是距離內突沿外沿0.30米計算，其余各條分道計算線是距離里側分道線外沿0.20米處計算.舉例：

第一分道C1=[2π(36.50+0.30)+84.39×2]米；

第二分道C2=[2π(36.50+1.22+0.20)+84.39×2]米；

第三分道C3=[2π(36.50+2×1.22+0.20)+84.39×2]米；

第四分道C4=[2π(36.50+3×1.22+0.20)+84.39×2]米，

……

問題解決：

(1)小明同學計算的第5分道C5=______米；(化簡后的式子含π)

(2)小明同學在為學校運動會規劃比賽場地時，需要畫出400米跑道的平面示意圖，若小明選取的比例尺是1：600，那么直道長84.39米的圖上距離是______cm(取整數)；

(3)小明同學在為400米跑的選手劃定起跑位置時，第2道選手應在第一道選手的起跑位置基礎上向前延伸______米(π取3.14，結果取整數)；

(4)暑假第一天，小明與小亮晨練時，兩人從第一分道起跑線的同一位置同時出發，小明以4米/秒的平均速度沿著第一分道實跑線逆時針跑步.小亮沿著第一分道實跑線順時針慢跑，平均速度是小明的平均速度的一半，請直接寫出兩人在第二次相遇前相距25.觀察以下等式：第1個等式：1+第2個等式：1+第3個等式：1+第4個等式：1+1125按照以上規律，解決下列問題：(1)寫出第5個等式：

．(2)寫出第10個等式：

．(3)寫出你猜想的第n個等式(用含n的式子表示)．

26.

【問題背景】

在古代，人們通過觀察日出日落時間來確定二十四節氣、安排農事活動.某校綜合實踐小組希望通過建立數學模型來探究2024年某地在冬至日前后晝長的變化規律．

【數據收集】

研究小組收集了如下幾個節氣的數據：日期日出時間日落時間白晝時長

(日落時間?日出時間)/小時11月7日立冬06：1617：1911.0511月22日小雪06：2617：1410.8012月7日大雪06：3817：1410.6012月22日冬至06：4617：1910.551月6日小寒06：5117：2710.601月21日大寒06：5117：3910.802月4日立春06：4617：5011.07【建立模型】

從11月7日開始的每15天記作一個單位時間，記為時間x(0≤x≤6)，白晝時長記為y(單位：小時)，列出表格，并在直角坐標系中描出表格中各對數值所對應的點，然后連接這些點，畫出該函數的圖象(如圖).實踐小組觀察曲線發現，可以用拋物線近似地刻畫y與x的關系．x0123456y11.0510.810.610.5510.610.811.07任務1：請求出以點(3,10.55)為頂點，且過點(0,11.05)的拋物線的解析式；

【反思優化】

經檢驗，發現圖中有其他的點不在任務1中的拋物線上，存在偏差.小組決定利用以下方法優化函數解析式，減少偏差.選取x為1，2，3，4，5，根據解析式y=a(x?3)2+10.55求出所對應的函數值，計算這些函數值與表格中對應y的值之差的平方和S.若S的值越小，則偏差越小．

任務2：請求出a的值，使得S的值最小；

【模型應用】

很多智能手機開發了護眼模式，可以識別日出、日落時刻，并在黑夜時長內開啟該模式．

任務3：請利用任務2中優化后的函數解析式來推測2024年11月7日?2025年2月4日期間手機開啟護眼模式時長(即黑夜時長)超過13小時的天數．

(白晝時長+黑夜時長=24小時，參考數據：

答案解析【答案】1.B

2.A

3.A

4.C

5.C

6.A

7.B

8.C

9.20010110.(508,111.?25

12.49

25

13.99101

14.(1)132?112=8×6

(2)解：(2n+1)215.1n?1n+1；

nn+1；16.解：(1)516；

4+16=24+16=25×16=516．

17.10b

9b

3

18.C10H2219.9，2001；

S=4m；

m=506；

不能，理由見解析．

20.59168；

nx(x+n)，1n；

21.【小題1】21?70.8?17【小題2】解：原式=1

22.解：(1)652=100×42+25；

∵第1個等式：152=100×2+25，

第3個等式：352=100×12+25，

第4個等式：第5個等式為：552=100×30+25；

∴第6個等式為：652=100×42+25；

(2)(10n+5)2=100×n(n+1)+25，

猜想第n個等式為：(10n+5)2=100×n(n+1)+25；

證明：左邊=(10n+5)2=100n23.16S；

112S；

【論證】證明見解析；

24.(83.16π+168.78)；

14；

7；

兩人在第二次相遇前相距50米的時間為253秒或1753秒或75秒或12525.解：(1)1+1336=76;

(2)1+23121=1211

(3)結合規律猜想第26.任務1：y=118(x?3)2+10.55；任務2：a=【解析】1.解：∵a1⊥a2，a2/?/a3，a3⊥a4，a4/?/a5，…，

∴a1⊥a2，a1⊥a3，a12.解：第一個圖中小棒數為6根，

第二個圖中小棒數為10根，

第三個圖中小棒數為14根，

第四個圖中小棒數為18根，

第五個圖中小棒數為22根，

則第n個圖中小棒數為：6+4(n?1)=(4n+2)根，

由題意得：4n+2=146，

解得：n=36，

故選：A．

根據圖形變化規律發現發現每多1個四邊形就多1根小棒，歸納列出代數式，進而列方程即可解答．

本題主要考查數與形結合的規律，根據圖形變化規律發現每多1個四邊形就多4根小棒是解本題的關鍵．3.解：初始三角形的面積為S1=34，

第一次操作后，增加了3個邊長為13的等邊三角形，

所以面積S2=34.【分析】

本題考查了規律型中點的坐標變化，根據點的坐標變化找出變化規律“A2n(n+1,n)”是解題的關鍵．

根據圖中給定的點的坐標：A(1,0)，A2(2,1)，A4(3,2)，A6(4,3)，…，即可找出規律“A2n(n+1,n)”，依此規律即可得出結論．

【解答】

解：觀察圖形可知：A(1,0)，A2(2,1)，A4(3,2)，A6(4,3)，…，

5.解：∵∠OAA1=90°，AA1=1，∠AOA1=30°，

∴OA1=2AA1=2，

由勾股定理得：OA2+AA12=OA12，

即OA2+12=6.解：當n=1時，s=10+6×0，

當n=2時，s=10+6×1，

當n=3時，s=10+6×2，

…

∴s=10+6(n?1)=6n+4，

∴圖形的總長度s與圖形個數n之間的關系式為s=6n+4．

故選：A．

根據變量之間的變化規律解答即可．

7.解：設兩物體第2002次相遇時運動了t秒.∵C長方形BCDE=12，∴1+2t=2002×12∴甲共行走8008×1=8008(個單位長度)，800812∴13×12=4個單位長度，∴8.本題考查坐標類規律探索，先根據圖形找到點的變化規律，再求出周期，即可求解．【詳解】解：由圖可得：從起點0,0開始，坐標依次為0,1，0,2，1,2，2,2，2,1，2,0，3,0，4,0，4,1，4,2……∴縱坐標的循環周期為8，2024÷8=253，縱坐標為0，橫坐標每個周期增加4，∴橫坐標為：253×4=1012，即第2024秒時跳蚤的位置用有序數對表示為1012,0，故選：C．9.【分析】此題主要考查了數字的變化類問題，解答此題的關鍵是將原式靈活變形．首先把每個加數化成兩個分數的差的形式，然后再計算即可．

【解答】

解：不妨令S=1+2+3+…+n，

且有S=n+n?1+n?2+…+1，

則將上面兩個式子對應項相加得2S=(n+1)+(n+1)+(n+1)+…+(n+1)，

所以S=n由上可知11+11+2=2×100101

=20010110.解：∵點A1(2,a1)，B1(?2,b1)，A2(3,a2)，B2(?3,b2)，A3(4,a3)，B3(?4,b3)在直線y=2x上，

∴把橫坐標代入直線方程可得：

對于A1(2,a1)，a1=2×2=4；

對于B1(?2,b1)，b1=2×(?2)=?4；

對于A2(3,a2)，a2=2×3=6；

對于B2(?3,b2)，b2=2×(?3)=?6

∴每一個矩形有4個交點，，即C1到C4為矩形M1的交點，C5到C8為矩形M2的交點?；

11.解：∵k=2n(x?k)(x+k)=3x2+m，

∴(x+2)(x?2)+(x+3)(x?3)+…+(x+n)(x?n)=3x2+m，

∴x2?4+x2?9+…+x2?n2=3x2+m，

12.解：每剪1刀，繩子的段數增加4段，

∴剪n(n為正整數)刀時，(4n+1)段．

當n=12時，4×12+1=49(段)；

當剪得101段時，4n+1=101，

解得：n=25，

∴剪12刀，繩子變為49段；若繩子剪開后，正好剪得101段，則剪了25刀．

故答案為：49，25．

根據剪法，可得出剪n(n為正整數)刀時，繩子變成(4n+1)段，代入n=12，可求出剪12刀時繩子的段數，由剪得101段，可列出關于n的一元一次方程，解之可得出n的值．

本題考查了一元一次方程的應用以及列代數式，熟練掌握以上知識點是關鍵．13.略14.【分析】

本題考查的是數式規律有關知識

(1)根據題目的規律進行解答

(2)根據題目的規律找出含n(n≥1，且n為正整數)的式子，最后再證明

【解答】

解：(1)由題意可得：第6個等式為132?1115.解：(1)∵11×2=1?12，

12×3=12?13，

13×4=13?14，

……，

∴1n(n+1)=1n?1n+1；

(2)原式=1?12+12?13+13?14+???+1n?116.詳細解答和解析過程見【答案】17.解：(1)證明：∵abc?=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)，

又∵99a和9b能被3整除，a+b+c能被3整除，

∴abc?能被3整除；

故答案為10b，9b．

(2)由題意得：123x?=1000+200+30+x=999+198+27+(1+2+3+x)=999+198+27+(6+x)，

由條件可知6+x能被3整除，

∴x=3；

故答案為：3；

(3)∵abc?=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)，且a+b+c能被9整除，

∴abc?能被9整除．

(4)∵1035x?=10000+300+50+x=9999+297+45+(1+3+5+x)=9999+297+45+(9+x)，且五位數1035x?能被9整除，

∴9+x能被9整除，

∴x=0或9．

(1)根據題意可直接進行求解；

(2)由123x?=999+198+27+(6+x)可知6+x能被3整除，然后問題可求解；

(3)18.解：(1)第10個結構式有10個C，有10×2+2=22個H，

∴第10個結構式的分子式是C10H22．

故答案為：C10H22．

(2)由(1)得，第幾個結構式就有幾個C，且H的個數比C的個數的2倍多2個，

∴第n個結構式的分子式是CnH2n+2．

故答案為：CnH2n+2．

(3)令n=2024時，則2n+2=2×2024+2=4050，

∴分子式為C2024H4050的化合物屬于上述的碳氫化合物．

(1)觀察前3個碳氫化合物的結構式，發現第幾個結構式就有幾個C，且H的個數比C的個數的2倍多2個，由此規律即可解答．

(2)由19.(1)由圖中數表關系可得：當a=1，S取最小值，m=9，

當d=2009時，S取最大值，m=2001，

故答案為：9，2001；

(2)由圖可得，a=m?7?1=m?8，b=m?7+1=m?6，c=m+7?1=m+6，d=m+7+1=m+8，

∴S=a+b+c+d=4m，

即S=4m，

故答案為：S=4m；

(3)當S=2024時，4m=2024，

∴m=506；

(4)不能，理由如下：

當S=308時，4m=308，

∴m=77，

∵m為7的倍數時在最右列，不符合要求，

∴四數的和不能為W=1000?178×1000×20?539×1000×2?1439×1000×0.5≈308．

(1)由圖中數表關系解答即可求解；

(2)利用圖中數表關系表示出a、b、c、d與m的關系，再根據S=a+b+c+d計算即可求解；

(3)把S=2024代入(2)所得關系計算即可求解；

(4)把S=30820.解：(1)12×3=12?13，

13×4=13?14，

14×5=14?15，

15×6=15?16，

17×8=17?18．

相加后，中間項抵消，剩余：(12?16)+(17?18)=12?16+17?18．

通分計算：36?16+856?21.1.

略

2.

略22.詳細解答和解析過程見【答案】23.解：填空(2)：設四邊形ABCD高為?，點E是平行四邊形ABCD的邊上一點，連接AE并延長交BC的延長線于點F，已知平行四邊形ABCD的面積為2S，

則?BC=2S，

由平行線的性質可得：∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，∠AED=∠FEC

∴△AED∽△FEC(AAA)，

設△AED和△FEC的高分別為?1，?2，

∵DE=2EC，

∴DE：EC=2：1

∴?1：?2=AD：FC=2：1，

∴?：?2=3：1，

∴S△CEF=12?2?CF=12×13?×12BC=112???BC=16S，

故答案為：16S；

填空(3)：上一問中的證明同理可得：當DE=3EC時，?：?2=4：1，AD：FC=3：1，

∴S△CEF=12?2?CF=12×14?×13BC=124???BC=112S，

故答案為：112S；

論證：證明：設平行四邊形ABCD的高為?，則??BC=2S，

∵AD/?/BC，

∴∠DAE=∠CFE，∠D=∠ECF，∠AED=∠FEC

∴△AED∽△FEC(AAA)，

根據題意：設△AED和△FEC的高分別為?1，?2，

∵DE=2EC，

∴DE：EC=2：1

∴?1：?2=AD：FC=2：1，

∴?：?2=3：1，

∴S△CEF=12?24