第2講

整式與因式分解

目錄CONTENTS課標要求

作業目標1教材整合

核心歸納2重點精講

變式探究3課標要求作業目標

01第一單元

第2講課標要求作業目標整式的加減能分析具體問題中的簡單數量關系，并用代數式表示，并會把具體數代入代數式求值.掌握單項式、多項式的相關概念，并能根據運算法則進行同類項的合并及相關的四則運算.知道單項式的概念，會辨別單項式，能確定單項式的系數和次數知道同類項的概念，能辨別幾個單項式是否是同類項掌握合并同類項的法則，會運用法則，并把單項式按某個字幕的升（降）冪排列掌握去括號的規律，能運用規律進行整式的加減運算掌握整式加減的運算法則，能運用法則進行整式的加減運算，并根據字母的值求整式的值要求與目標知道多項式和整式的概念，會辨別多項式和整式，能確定多項式的項數、次數和常數項課標要求作業目標整式的乘法與因式分解掌握冪的相關運算.理解零次冪的概念.掌握單項式、多項式之間的運算法則.熟練運用乘法公式進行相關的計算.了解完全平方公式和平方差格式的幾何意義.掌握因式分解的方法，理解乘法公式在因式分解中的作用.了解代數和幾何之間的轉化關系，體會數與形之間的結合與變換規律.理解同底數冪乘法、冪的乘方、積的乘方的概念，掌握三種冪的運算性質，能熟練地運用性質進行運算掌握單項式與單項式相乘、單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的法則，能正確、熟練地運用法則進行運算理解同底數冪相除的概念，掌握同底數冪相除的法則，能熟練地進行同底數冪相除的運算理解零次冪的底數不為零的意義了解平方差公式的幾何意義,掌握公式的結構特征，能正確運用公式進行運算了解完全平方公式的幾何意義，掌握公式的結構特征，能正確運用公式進行計算課標要求作業目標整式的乘法與因式分解掌握冪的相關運算.理解零次冪的概念.掌握單項式、多項式之間的運算法則.熟練運用乘法公式進行相關的計算.了解完全平方公式和平方差格式的幾何意義.掌握因式分解的方法，理解乘法公式在因式分解中的作用.了解代數和幾何之間的轉化關系，體會數與形之間的結合與變換規律.掌握整式的加、減、乘、除、乘方的較簡單的混合運算，能靈活運用運算律和乘法公式進行簡便運算知道因式分解與整式乘法之間的聯系，感受因式分解與整式乘法是方向相反的恒等變形能識別多項式的公因式，并能正確用提公因式法分解因式理解整式乘法公式在因式分解中的作用，掌握用公式法分解因式了解因式分解的一般步驟，能夠熟練運用提公因式法和公式法進行多項式的分解因式教材整合核心歸納

02第一單元

第2講1.

（2024·深圳）下列運算正確的是（

B

）A.(－m3)2＝－m5B.

m2n·m＝m3nC.3mn－m＝3nD.(m－1)2＝m2－12.

（2024·河南）請寫出2m的一個同類項：

?.Bm(答案不唯一)

3.

因式分解：a2－7a＝

；x2＋2x＋1＝

?

；(a＋1)2－4＝

?.a(a－7)

(x＋1)2

(a＋3)(a－1)

以題理知

列代數式關鍵是找出問題中的數量關系及公式，再列代數式代數式求值（1）直接代入法，如：已知a＝1，則a－1的值為

?；（2）整體代入法，如：已知a－b＝2，則2a－2b的值為___

0

4

××考點清單考點

?代數式及其求值整式式子串M中多項式有：

；x3－2x－8是

次

項式，它的每一項分別是

，二次項的系數為

?同類

項所含字母相同，且相同字母的指數也相同.式子串M中－a2b的同類項有

?2a2b，－3ab2，a2bc，

3

－2b＋a2，x3－2x－8三三x3，－2x，－8

0

2a2b

思考：單獨的一個字母或一個數是單項式嗎？如a，π，1等.考點清單考點

?

整式的相關概念

加減運算如有括號就先去括號，然后再合并同類項冪的運算

（m，n均為整數）同底數冪的乘法：am·an＝

；同底數冪的除法：am÷an＝

；冪的乘方：（am）n＝

；積的乘方：（ab）n＝

?am＋n

am－n

amn

anbn

考點清單考點

③

整式的運算 【省卷T4，長沙T4，T18，T25】 整式乘除單項式乘除：2a·a2b＝

，－3a3b÷ab＝

?；多項式乘法：（a＋b＋c）m＝

?，（m＋n）（a＋b）＝

?；多項式除以單項式：（am－bm）÷m＝

?乘法公式平方差公式：（a＋b）（a－b）＝

?乘法公式完全平方公式：（a±b）2＝

?2a3b

－3a2

ma＋mb＋mc

am＋an＋bm＋bna－b

a2－b2

a2±2ab＋b2法則逆用：（1）am＋n＝am·an；（2）am－n＝am÷an；（3）amn＝（am）n；（4）anbn＝（ab）n.概念把一個多項式化為幾個整式的積的形式提公因式法ma＋mb＝m（a＋b），如x2－23x＝

?因式分解要注意檢查是否分解徹底，必須分解到每個因式不能再分解為止公式法平方差公式：a2－b2＝

____________

公式法完全平方公式：

a2±2ab＋b2＝

?十字相乘法x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)(x＋b)x(x－23)

(a＋b)(a－b)考點清單(a±b)2

考點

④

因式分解 重難精講變式探究

03第一單元

第2講

（2022·長沙）某?，F需購買甲、乙兩種讀本共100本，其中甲種讀本的單價為10元/本，乙種讀本的單價為8元/本.設購買甲種讀本x本，則購買乙種讀本的費用為

元.1.

某同學參加了7.5km健康跑項目，他從起點開始以平均xkm/min的速度跑了10min，此時他離健康跑終點的路程為

km.8(100－x)

對點演練（7.5－10x）

2.

（2024·廣州）若a2－2a－5＝0，則2a2－4a＋1＝

?.11

考點?代數式及其求值(100－x)本

費用=單價×數量8元/本

下列說法正確的是（

B

）C.

x2＋x－1的次數是3D.

x2與x屬于同類項3.

（2022·永州）若單項式

3xmy與

－2x6y是同類項，則

m＝

?.B6

對點演練考點?整式的相關概念單項式的次數：所有字母的指數的和；次數是3

多項式的次數：多項式中次數最高項的次數；次數是2

同類項：字母相同，并且相同字母的指數也相同.一、冪的運算

（2024·湖南）下列計算正確的是（

B

）A.

3a2－2a2＝1B.

a3÷a2＝a（a≠0）C.

a2·a3＝a6D.

（2a）3＝6a34.

計算（－a2）3÷（－a）2的結果是（

D

）A.

a3B.

－a2C.

a4D.

－a45.

若m，n滿足3m－n－4＝0，則8m÷2n＝

?.BD16

對點演練考點?整式的相關概念a2a58a3二、整式的混合運算

【評分標準】過程（2分）結果（4分）代入求值（6分）解：原式＝2m－m2＋2m＋m2－9

＝4m－9.

考點?整式的相關概念

解：原式＝4x2＋4xy＋y2－4x2＋y2－2xy－2y2＝2xy.

對點演練考點?整式的相關概念三、乘法公式的靈活運用

已知（a－b）2＝6，（a＋b）2＝4，則

a2＋b2的值為

?.【變式1】已知（x＋y）2＝25，（x－y）2＝9，則

xy＝

?.

【變式3】★已知m2＋n2＋10＝6m－2n，則m－n的值為

?.5

4

3

4

考點?整式的相關概念(a＋b)2＋(a－b)2＝2(a2＋b2)(x＋y)2－(x－y)2＝4xy

m2－6m＋9＋n2＋2n＋1＝0(m－3)2＋(n＋1)2＝0m＝3，n＝－1m－n＝4

完全平方公式的恒等變形：a2＋b2＝（a＋b）2－2ab＝（a－b）2＋2ab.已知a＋b（或a－b），ab，a2＋b2中任意兩個式子的值，均可通過公式變形求出另外一個式子的值.考點?整式的相關概念

（2023·益陽）下列因式分解正確的是（

A

）A.

2a2－4a＋2＝2（a－1）2B.

a2＋ab＋a＝a（a＋b）C.

4a2－b2＝（4a＋b)(4a－b）D.

a3b－ab3＝ab（a－b）2A考點④因式分解a(a＋b＋1)

(2a＋b)(2a－b)

ab(a2－b2)＝ab(a＋b)(a－b)7.

因式分解：（1）2a2－2a＝

?；（2）（2024·綏化）2mx2－8my2＝

.8.

（1）已知a＋b＝1，則a2－b2＋2b＋9的值為

?；（2）（2024·廣西）如果a＋b＝3，ab＝1，那么a3b＋2a2b2

＋ab3的值為

?.2a(a－1)

2m(x＋2y)(x－2y)

10

9

對點演練考點④因式分解8

字母“C”和“H”按照如下圖所示的規律依次擺放，則第

個圖形中字母“H”的個數是（

B

）A.

2nB.

2n＋2C.

2n－2D.

2n＋1B考點⑤規律及代數推理【長沙T16】4H的個數：對比①對比②4+2+2④4+2×34+2×24+2×(n-1)n2n+264+2n9.

（2023·岳陽）觀察下列式子：12－1＝1×0；22－2＝2×1；32－3＝3×2；42－4＝4×3；52－

5＝5×4；……依此規律，則第n（n為正整數）個等式是

?.10.

若k為任意整數，則（2k＋3）2－4k2的值總能（

B

）A.

被2整除B.

被3整除C.

被5整除D.

被7整除n2－n＝n(n－1)B對點演練考點⑤規律及代數推理【長沙T16】12.

【課標素材題】（2024·雅安）如下圖是1個紙杯和若干個

疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高

度H與杯子數量n的變化規律的活動中，我們可以獲得以下數

據（字母）：±2

第12題圖①杯子底部到杯沿底邊的高h；②杯口直徑D；③杯底直徑d；④杯沿高a.請選用適當的字母表示H＝

?.h＋an

易錯點·創新點11.

已知y2－my＋1是完全平方式，則m的值是

?.13.

觀察下面的等式：32－12＝8×1；52－32＝8×2；72－52＝

8×3；92