小學數學課程標準與教材研究第七章

“數與代數”內容詳解與教材分析目錄第一節“數與運算”內容與教材分析“數量關系”內容與教材分析第二節“數與運算”內容與教材分析第一節第一節“數與運算”內容與教材分析一、“數與運算”的內容結構（一）“數的認識”的內容分析“數的認識”主要包含整數、分數、小數和負數的認識，《課標》在延續了2011年版課標內容的基礎上，又對“數的認識”提出了新的要求，即數的認識的一致性。在《課標》中，第一學段以萬以內整數的認識為主，強調數的意義和數的表示，注重學生對數抽象過程的經歷與體驗，促進學生數感和符號意識的初步形成。第二學段主要以萬以上整數、小數和分數的初步認識為主，強調對十進制計數法的理解，注重對分數單位的感悟，初步了解數的一致性，促進學生數感的發展。第三學段主要包括倍數、因數、奇數、偶數等不同類別的數，小數和分數的進一步認識，注重對小數、分數意義的理解，強調對計數單位的感悟，形成數的一致性認識，促進學生數感和符號意識的發展。第一節“數與運算”內容與教材分析1.?第一學段經歷體驗數抽象的過程借助直觀教具實現數位的理解萬以內整數的認識第一節“數與運算”內容與教材分析2.?第二學段理解大數的意義感悟計數單位萬以上整數、小數和分數的認識第一節“數與運算”內容與教材分析3.?第三學段利用數的意義實現數的分類在具體情境中實現對數的一致性認識倍數、因數、奇數、偶數等不同類別的數，小數和分數的認識第一節“數與運算”內容與教材分析（二）“數的運算”的內容分析數的運算主要包括整數、小數和分數。三個學段內容具有一定差異性，整體呈現由淺入深、由易到難的規律。第一學段以整數的加減乘除運算為主，強調探索四則運算算理與算法，要求了解四則運算的意義和運算之間的關系，注重學生運算能力和推理意識的初步形成。第二學段數的運算以整數、小數和分數的加減乘除運算為主，注重學生對四則運算和運算律的掌握，對運算意義和關系的理解，初步了解數運算的一致性，促進學生運算能力的發展。第三學段數的運算以四則運算和混合運算為主，注重學生對運算方法的理解和掌握，感悟計數單位在數運算中的重要性，形成對數運算的一致性認識，促進學生運算能力和推理意識的發展。第一節“數與運算”內容與教材分析1.?第一學段主題：整數的加減乘除運算（百以內數的運算為主）要求學生理解四則運算的算理，掌握算法，了解四則運算的意義，感悟運算間的關系，對“運算能力”和“推理意識”的要求較低，僅在“初步”水平，但相比之下，對運算能力的要求明顯高于推理意識。第一節“數與運算”內容與教材分析2.?第二學段主題：整數的四則運算、分數和小數的加減運算對運算能力的具體要求限定在“初步”這一程度。但對推理意識的要求相對較低，同時增加了對初步代數思維的要求，但要求較低。初步了解加減法運算的一致性利用算理，理解算法，感悟運算律的重要價值第一節“數與運算”內容與教材分析第三學段數與運算主題主要包括整數、分數和小數四則運算和混合運算，重點是分數與小數的乘除運算。在加減法運算一致性的基礎上，借助對數的一致性認識和四則運算間的關系，形成對數的運算的一致性認識。對“運算能力”和“推理意識”也隨之提出了更高的要求。該學段《課標》要求學生感悟運算的一致性。學生已經對加減運算的一致性、乘法運算的本質有了一定理解。教師在具體問題情境中，引導學生借助已有知識經驗，經歷小數和分數算理、算法的探究過程，將整數乘法運算的本質拓展至小數、分數乘法運算，形成對乘法運算的一致性認識，除法運算的一致性也是如此，注重體會、感悟計數單位在數的運算中的重要作用，最后結合四則運算的關系，引導學生理解數的運算的一致性，構建對數與運算一致性的認識。3.?第三學段第一節“數與運算”內容與教材分析二、“數與運算”的教材分析（一）整數的認識與運算數的意義是數與運算的重要內容。學生整數概念建立從認識10以內的數開始，雖然絕大多數學生在入學以前都認識很多數，但難以理解數的意義，建立抽象的數概念，使學生把數與它所代表的數量聯系起來還需要一個過程。這部分內容的重點在于理解數的意義，使學生從數量抽象到數。教材編排有以下特點：1、借助直觀模型、教具呈現內容2、注重滲透數與運算的一致性第一節“數與運算”內容與教材分析（二）分數的認識與運算分數是數概念的一次重要擴展。分數無論在意義、書寫形式，還是在計數單位、計算法則等方面，都與整數有較大不同，但二者都是數，其本質具有一致性。具體而言，教材編排有以下特點：1、以平均分的情境引入分數，讓學生體會到分數產生的必要性。2、利用直觀模型建立分數單位概念、介紹計數單位。第一節“數與運算”內容與教材分析（三）小數的認識與運算小數是一種特殊的分數，但是又獨立于分數，小數也是十進制記數法。小數的出現標志十進制記數法從整數擴展到了分數，使十進制分數與整數在形式上獲得了統一。教材編排有以下特點：1、注重從生活情境中引入小數2、集中編排，溝通算理第一節“數與運算”內容與教材分析（四）數的整除數的整除是數與運算主題的重要內容，它不僅是整數運算、異分母分數運算的重要內容，同時也是偶數與奇數、質數與合數等數的分類標準，如能夠被2整除的非0自然數是偶數，不能被2整除的非0自然數為奇數。教材編排有以下特色：1、教材注重發揮百數表的重要作用2、借助學生已有經驗呈現倍數和因數的抽象概念第一節“數與運算”內容與教材分析（五）運算律運算律及其性質不僅是對運算規律的一般化表達，同時也是理解算理，掌握算法的重要內容。結合律是理解減法算理的關鍵，分配律是理解多位數乘法算理的關鍵。對于此部分內容的編寫，教材編排有以下特點：1、在運算內容中滲透運算律2、通過比較活動呈現運算律的本質第一節“數與運算”內容與教材分析三、教學建議數與運算內容在小學階段各年級都有分布，盡管內容多且在教材中分布廣，但整體結構比較清晰，教師要抓住核心概念和三個學段教學目標來處理。第二，基于教學目標把握數與運算內容的進階性。小學三個學段數概念的建立以及數的運算，目標是一致的且任務是相通的，都指向了核心素養的培育。同時，由于學生的年齡差別、經驗積累的程度不同，在任務設計和教學過程中要體現出階段性。第一，基于計數單位這一核心概念，將數的認識與運算關聯起來，將數的運算轉化為計數單位個數的運算，建立數域之間的關聯，架起數的認識與運算的橋梁。“數量關系”內容與教材分析第二節一、“數量關系”的內容結構數量關系主要是用符號（包括數）或含有符號的式子表達數量之間的關系或規律，小學階段數量關系主題與問題解決密切相關，重點是使學生理解實際情境中蘊含的數量關系，并將其用含有符號的式子表達出來，進而用合適的方法解決問題。第一學段要求了解四則運算的意義，并借助畫圖和實物操作等合理表達簡單的數量關系，解決數學問題。第二學段要求在理解四則運算的意義，并能進行整數四則混合運算解決問題的基礎上，理解和掌握常見的數量關系模型。第三學段著重在具體情境中用含有字母的式子表示數量關系、性質和規律，培養符號意識，并運用比例解決問題，培養模型意識。第二節“數量關系”內容與教材分析第二節“數量關系”內容與教材分析（一）第一學段第一學段數量關系主題包含“運用數和數的運算解決問題”。相關聯核心素養的表達都提到了“初步”，也就是說這個階段發展學生初步的模型意識、幾何直觀和應用意識等要求并不高，主要是讓學生從積累感性經驗開始，再到感悟一般性的思維過程。加減乘除四則運算的意義是進行數的運算的依據，也是學生分析數量關系和解決問題的基礎。隨著學習內容的拓展，學生逐步將四則運算與加法模型和乘法模型建立聯系。第二節“數量關系”內容與教材分析1.?理解加減乘除法的數量關系一年級加減法認識既是學生學習計算的開始，也是學生理解和運用數量關系解決問題的開始。通過初步理解加減法意義，學生體會運用數量關系解決問題的過程，也為以后進一步認識加法模型打下基礎。二年級過渡到乘除法的認識，學生逐步了解四則運算及其關系，并用其分析實際情況中的數量關系，這既是分析問題和解決問題的需要，也是數量關系主題的重要內容。對于加減法數量關系的理解，要讓學生通過對數量的“合并”和“去掉”來感知，加法要讓學生體會兩個或者兩個以上的數量合起來變成一個數量；而減法需要讓學生體會從一個數量中去掉另一個數量。對于乘除法關系的理解，乘法通常從相同數量的累加開始，再到“倍”的意義（相同數累加的次數），這兩個是乘法最基本的數量關系問題結構；而除法通常有等分和包含兩種情況，把總數量平均分給每組確定每一組的多少是等分，如果知道每組有多少但不知道有幾組就是包含的情況。第二節“數量關系”內容與教材分析2.?利用具體情境中的數量關系進一步理解四則運算的意義加法作為學習運算意義的起點，要先讓學生初步體會什么樣的情境用加法，了解加法的意義，進而學習如何計算加法，得出正確的結果。在這個過程中，從解決具體情境中的問題開始，引導學生借助直觀模型解決實際問題，盡可能多地采用直觀圖（點子圖等）以及學生自己喜歡的圖畫幫助其理解加法意義和計算方法。同樣的過程體會減法的意義和計算方法，在對加法和減法有一定認識后，進一步了解減法是加法的逆運算，包括理解它們的意義和計算方法。乘法引入時要給學生提供每組個數相同的問題情境。學生學習除法則要從理解“平均分”的意義入手，通過“分一分”的操作活動，經歷把一些物體平均分的過程，進一步理解除法的意義。利用運算的意義解決問題會隨著學習內容的推進而不斷拓展，從加減運算拓展為乘除運算，從整數拓展到小數和分數，但運算的本質不變，計算的基本算理相似。第二節“數量關系”內容與教材分析（二）第二學段第二學段數量關系主題包含“運用四則運算的意義解決問題”“估算”“常見的數量關系”“等量的等量相等”“探索規律”。相關聯核心素養的表達仍然在“初步”水平，但增加了推理意識。第二節“數量關系”內容與教材分析1.?理解常見的數量關系并進行問題解決小學數學中大多數問題都可以利用加法模型和乘法模型及其拓展或組合（如表7-2-1所示）進行分析和解決。第二節“數量關系”內容與教材分析2.?理解等量的等量相等這一基本事實首先，讓學生經歷數學建模的過程，深刻地理解什么是等量的等量相等。教師可以借助蹺蹺板、天平等學生生活中重要的且能體現等量關系的原型。其次，從多角度入手尋找并表示等量關系。教師可以指導學生借助語言、畫圖、符號等多種表征方式分析，引導學生利用常見的數量關系或公式（比如單價×數量?=?總價、路程×速度?=?時間等）來找數量間的等量關系，也可以在平常的練習題、例題的講解中，適當傳授給學生一些找關鍵詞的技巧，同時注重對學生語言轉換能力的培養。在學生準確、順利地找出數量間的等量關系后，教師就可以引導學生根據“等量的等量相等”這個基本事實得到結論，這是一個基于建模、符號和基本事實說明的過程，也是數學化的過程，能夠為以后方程的學習奠定良好的基礎。第二節“數量關系”內容與教材分析（三）第三學段第三學段數量關系主題包含“用字母表示規律和關系”“等式的基本性質”“比和比例”“成正比例的量”。正確地理解問題情境，從中找出數量間的關系，并將其用數學式子表達出來，是衡量學生是否具有靈活建模能力的一個重要標尺，同時也為初中代數式和方程等內容的學習奠定基礎。第二節“數量關系”內容與教材分析1.?從數量關系的角度理解“用字母表示規律和關系”“用字母表示規律和關系”作為學生形成初步代數思維的載體，從數量關系的角度分析和解決問題，對于整體理解小學數學中的數與代數領域有重要意義。將字母表示數從單純求簡易方程的未知數拓展成數量關系的一般化表達，是從算術思維到代數思維的拓展。從數量關系角度來理解用字母表示數的學科本質，其教學的重點和意義與以往相比就會產生變化，從某種意義上彌補了小學階段不學簡易方程帶來的缺失，有助于發展學生初步的代數思維。教學的重點有以下三個方面。幫助學生建立對符號本身的正確認識優化學生對“用字母表示數”的認識讓學生充分經歷和體驗用字母表示規律的抽象性第二節“數量關系”內容與教材分析2.?在實際情境中理解比和比例比和比例本質上反映的是數量之間的一種關系。比是兩個數量倍數關系的表達，這兩組數量可以是同類的量，也可以是不同類的量，但它們的關系是確定的，可以用乘法模型來理解。兩個相等的比構成比例，按比例分配則是比的拓展應用。幫助學生理解變化的量及變量之間的關系幫助學生建立比例關系模型運用圖像講授正比例在教學中滲透函數思想二、“數量關系”的教材分析（一）四則運算的基本數量關系運用四則運算的意義解決問題是指根據四則運算的意義選擇合適的算法解決問題，在實際應用中進一步體會四則運算的意義，以提高分析問題和解決問題的能力的過程，教材有關內容的編寫有以下幾個特點。第二節“數量關系”內容與教材分析1、采用畫圖策略理解并分析數量關系2、滲透數量關系模型，為后續內容的學習做鋪墊對于乘加和乘減混合運算，教材在編排上有以下兩個特點：第二節“數量關系”內容與教材分析1、引導學生用不同的策略解決乘加和乘減問題2、結合具體問題情境幫助學生理解混合算式的意義（二）數量關系模型加法模型和乘法模型是《課標》中兩類常見的數量關系，包括總量?=?分量?+?分量，總價?=?單價×數量，路程?=?速度×時間。在一些較復雜的問題中，需要運用加法模型和乘法模型及其拓展或組合分析其中的數量關系。各版本教材主要采用兩種方式編排“常見的數量關系”的內容。第二節“數量關系”內容與教材分析1、基于生活呈現概念，有助于學生結合概念的意義探索數量關系模型2、結合具體問題情境探索數量關系模型的拓展（三）估算估算在日常生活中應用廣泛，估算與精算都離不開對數量關系的正確判斷。估算需要有現實背景，是在不需要算出精確結果時的一種問題解決方法。估算同樣要對實際問題中的數量關系進行分析和判斷，以便確定合適的估算單位和方法，估算的過程可以理解為是對數量關系理解和運用的過程。教材在編排上有以下幾個特點：第二節“數量關系”內容與教材分析1、結合具體情境呈現估算內容，使學生體會估算在解決實際問題中的作用和價值2、重在幫助學生理解估算策略和方法3、以通過估算檢驗運算結果合理性的方式呈現估算內容（四）等量的等量相等對比不同版本的教材可以發現，僅有北師版教材在“用字母表示數”之后單獨安排了“等量關系”這一課，且編排了三個情境問題，逐步加深學生對等量關系的理解（圖7-2-9）。這部分內容的教學重點在于為學生提供描述具體情境中等量關系的活動，幫助學生經歷將現實問題抽象為等式的過程，積累發現、表達等量關系的經驗。《課標》在“教學提示”中指出，教師可以“利用現實背景，引導學生理解等量的等量相等這一基本事實，形成初步的推理意識”，并給出曹沖稱象的故事來舉例說明如何引導學生利用“等量的等量相等”這一基本事實進行推理。第二節“數量關系”內容與教材分析（五）探索規律“數與代數”領域中存在著大量的教學規律可供學生探索發現。在教學數量關系的時候，除了一些基礎知識外，教師還要適時安排找規律的內容，豐富“數與代數”領域的數學內容和數學活動，讓學生感受到“數與代數”里存在許許多多的規律，并通過一些探索規律的活動，激發學生的學習熱情。教材在編排上有三個特點：第二節“數量關系”內容與教材分析1、重視新舊知識之間的聯系，引導學生探索運算規律2、設計了能引發學生動手操作的活動3、用適當形式概括、呈現規律（六）用含有字母的式子表示關系、性質和規律在“用含有字母的式子表示關系、性質和規律”之前，學生雖然沒有進行過有關代數知識的學習，但是他們有一些用字母表示數的生活經驗和用數量關系解決問題的能力。因此，用字母表示數的學習要結合具體的情境，讓學生經歷和體驗用字母表示數的抽象過程，會用字母或含有字母的式子表達實際情境中的數量關系、性質和規律。教材在編排上有兩個特點：第二節“數量關系”內容與教材分析1、注重學生算術思維向代數思維轉變的自然過渡2、注重學生符號意識的培養，使學科核心素養得以落地，主要體現在三個方面：強調符號表達的現實意義教材啟發學生從不同角度理解用字母表示關系、性質和一般規律的意義與已有經驗相聯系（七）等式的基本性質“等式的基本性質”是小學數學所涉及的重要基本事實之一，是學生在掌握了一定的算術知識、初步掌握了一些代數知識的基礎上進行學習的，是系統學習方程的初步，也是學習解方程的基礎和依據。教師在這部分內容的教學中，不能片面地強調等式的性質只適用于左右兩邊都是數的等式，還要讓學生明白等式的性質是解簡易方程的依據，兩邊可以是含有未知數的式子，且對于不等號也是成立的，也就是“a＞b，則a+c＞b+c”，教師在教學中可以根據實際內容適當滲透這一內容。讓學生在小學階段初步接觸一些代數的知識，運用等式的性質解簡單的方程，能夠在一定程度上擺脫算術思維的局限性，加深對方程意義的深入理解，并為進一步學習代數知識做準備。第二節“數量關系”內容與教材分析（八）