試題PAGE1試題南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023級高一9月質(zhì)量檢測（數(shù)學(xué)）試題時(shí)長：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1．已知集合A＝{－1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|－2<x≤2}，則A∩B＝()A．{－1，0，1} B．{－1，0，1，2}C．{－1，1} D．{－1，1，2}解析：選B∵集合A＝{－1，0，1，2，3}，集合B＝{x∈Z|－2<x≤2}＝{－1，0，1，2}，∴A∩B＝{－1，0，1，2}，故選B.2.不等式的解集為（）A. B. C. D.3.已知冪函數(shù)f(x)的圖象過點(diǎn)(2,2)，則f(8)=A.22 B.32 C.4 4.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域是（）A. B.C. D.5.我國著名數(shù)學(xué)家華歲庚先生曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休.”在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)f(x)=3x1?x2A. B.

C. D.【答案】C

【解析】【分析】本題考查了函數(shù)圖象和函數(shù)的奇偶性，屬于基礎(chǔ)題．

首先求解函數(shù)的定義域及奇偶性，再研究x∈(0,1)和x>1時(shí)，函數(shù)值的正負(fù)情況，由排除法可得結(jié)論．【解答】

解：∵函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠±1}，且f(x)滿足f(?x)=?f(x)，

∴f(x)為奇函數(shù)，

當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f(x)>0，故排除A，

當(dāng)x>1時(shí)，f(x)<0，故排除BD，

故選C．6.若不等式對一切都成立，則a的最大值為（）A.0 B.2 C.3 D.【答案】D【解析】【分析】采用參變分離法對不等式變形，然后求解變形后的函數(shù)的值域，根據(jù)參數(shù)與新函數(shù)的關(guān)系求解參數(shù)最值.【詳解】因?yàn)椴坏仁綄σ磺泻愠闪ⅲ詫σ磺校春愠闪ⅲ睿字趦?nèi)為減函數(shù)．所以，故，所以的最大值是．故選：D7．若函數(shù)f(x)=?x2?2ax+2,x>1(2?3a)x+1,x≤1是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)A.(23,1] B.[?1,25)7.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，由分段函數(shù)的單調(diào)性確定參數(shù)取值范圍的方法等知識(shí)，屬于中等題．

由題意得到關(guān)于a的不等式，求解不等式即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：由題意可得：

①??2a?2≤1，解得：a≥?1；

②2?3a<0，解得：a>23，

③當(dāng)x=1時(shí)，?1?2a+2≤2?3a+1，解得：a≤2，

綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是28.偶函數(shù)的定義域?yàn)椋覍τ谌我猓谐闪ⅲ簦瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A.B. C.D.二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，選對但不全的得3分，有選錯(cuò)的得0分）9.若實(shí)數(shù)a，b，ab=1，則下列不等式正確的有

(

)A.a+b≥2 B.a+b<【答案】CD

【解析】【分析】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．

本題關(guān)鍵是借助基本不等式進(jìn)行變形應(yīng)用，對選項(xiàng)逐個(gè)進(jìn)行判斷即可得．【解答】

解：因?yàn)閍b=1，

所以對A:a,b>0時(shí)，a+b≥2ab=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)，故A錯(cuò)誤；

對B:a,b>0時(shí)，a+b?2a·b=210.下列關(guān)于函數(shù)的結(jié)論正確的是（）A.單調(diào)遞增區(qū)間是 B.單調(diào)遞減區(qū)間是C.最大值為2 D.沒有最小值【答案】AC【解析】【分析】先求的定義域排除選項(xiàng)B，再利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)與復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得的單調(diào)性，進(jìn)而求其最值.【詳解】要使函數(shù)有意義，則，得，故B錯(cuò)誤；函數(shù)由與復(fù)合而成，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故,又，所以，故A，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC.11.下列敘述中正確的是（）A.NB.“xB”是“xB”的充分不必要條件C.命題“Z，”的否定是“Z，”D.“a,b,c,是?ABC的三邊，方程x2+2ax+b2=0和方程x2+2cx?b選ABD已知集合下列說法正確的有（）A.若M=，則B.若M=，則C.若M=,其中t是常數(shù)，且，則的最小值為2D.若，且，則.選BCD三、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分，請把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)位置上.13.已知，若，則實(shí)數(shù)=___________.14.對于，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是15.已知實(shí)數(shù)、滿足，，則的取值范圍為______【答案】【分析】設(shè)，利用待定系數(shù)法求出的值，然后根據(jù)不等式的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：設(shè)，則，解得，所以，因?yàn)椋裕裕蚀鸢笧椋?16.一般地，若fx的定義域?yàn)閍,b，值域?yàn)閗a,kb，則稱a,b為fx的“k倍跟隨區(qū)間”；特別地，若fx的定義域?yàn)閍,b，值域也為a,b，則稱a,b為fx的“跟隨區(qū)間”．

(1)若1,b為f(x)=x2?2x+2的跟隨區(qū)間，則b=

；

(2)若函數(shù)f(x)=m?【答案】2；?【解析】【分析】本題考查新定義，函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，利用函數(shù)的單調(diào)性求解函數(shù)的值域?yàn)榻忸}的關(guān)鍵，屬于中檔題．

(1)根據(jù)“跟隨區(qū)間”的定義可得b2?2b+2=b，結(jié)合區(qū)間的定義解得b=2；

(2)假設(shè)函數(shù)f(x)=m?x+1存在跟隨區(qū)間[a,b]，b>a??1，則f(a)=b，【解答】

解：(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=x2?2x+2的對稱軸為x=1，

故函數(shù)f(x)在[1,b]上單調(diào)遞增，

所以其值域?yàn)閇1,b2?2b+2]，

又因?yàn)閇1,b]為f(x)=x2?2x+2的跟隨區(qū)間，

所以b2?2b+2=b(2)函數(shù)f(x)=m?x+1在?1,+∞上單調(diào)遞減，

假設(shè)函數(shù)f(x)=m?x+1存在跟隨區(qū)間[a,b]，b>a??1，

則f(a)=b，fb=a??1，

可得m?a+1=b,m?b+1=a，

故a+1?b+1=a?b=a+1?b+1

=a+1+b+1a+1?b+1，

則a+1+b+1=1,

四、解答題：本大題共6小題，共70分，請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.17.（本小題滿分10分）已知，.（1）若，求集合；（2）如果是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解出不等式，利用集合并集的定義求解即可；（2）化簡集合，利用是的必要條件列出不等式組，可得實(shí)數(shù)的取值范圍．【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，由，解得，；而，所以.（2），所以，，，如果是的必要條件，則，，解得，故的取值范圍為.18.(本小題12.0分)18.定義在(0,+∞)上的函數(shù)f(x)，對任意的，都有f(mn)=f(m)+f(n)成立，且當(dāng)x>1時(shí)，f(x)>0．(1)求f(1)的值；(2)證明：f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)；【答案】(1)解：令m=n=1，則f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0；

(2)證明：設(shè)0<x1<∴f(x即f(x∴f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù)；19.（本小題滿分12分）已知不等式ax2?3x+2>0（1）求a，b的值；（2）當(dāng)c≠2時(shí)，解關(guān)于x的不等式ax(3)已知正實(shí)數(shù)m，n，滿足m+2n=abmn，求18.【解析】：（1）由題意知，1和b是方程ax則3解得a=1，（2）不等式ax即為x2?(c+2)x+2c<0，即=1\*GB3①當(dāng)c>2時(shí)，原不等式的解集為{x2<x<c}；②當(dāng)c<2時(shí)，原不等式的解集為{xc<x<2綜上，當(dāng)c>2時(shí)，原不等式的解集為{x2<x<c當(dāng)c<2時(shí)，原不等式的解集為{xc<x<220.(本小題12.0分)某企業(yè)開發(fā)了一種大型電子產(chǎn)品，生產(chǎn)這種產(chǎn)品的年固定成本為2500萬元，每生產(chǎn)x百件，需另投入成本（單位：萬元），當(dāng)年產(chǎn)量不足30百件時(shí)，；當(dāng)年產(chǎn)量不小于30百件時(shí)，．若每百件電子產(chǎn)品的售價(jià)為500萬元，通過市場分析，該企業(yè)生產(chǎn)的電子產(chǎn)品能全部銷售完．（1）求年利潤y（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量x（百件）的函數(shù)關(guān)系式；（2）年產(chǎn)量為多少百件時(shí)，該企業(yè)在這一電子產(chǎn)品的生產(chǎn)中獲利最大？【答案】（1）（2）年產(chǎn)量為100百件時(shí)，該企業(yè)獲得利潤最大，最大利潤為1800萬元．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，分段求函數(shù)解析式即可；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合基本不等式，分段求函數(shù)的最大值，再比較即可．【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，．【小問2詳解】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，，年產(chǎn)量為100百件時(shí)，該企業(yè)獲得利潤最大，最大利潤為1800萬元．21.(本小題12.0分)已知函數(shù)QUOTE????=????2?|??|+2???1??>0f（1）請?jiān)谌鐖D所示的直角坐標(biāo)系中作出QUOTE??=12a=12時(shí)QUOTE????fx的圖像，并根據(jù)圖像寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)QUOTE????fx在QUOTE上的最小值為QUOTE????ga.①求QUOTE????ga的表達(dá)式；②若，求QUOTE????ga的最大值.【答案】（1）圖象見解析，增區(qū)間QUOTE，減區(qū)間QUOTE；（2）①Q(mào)UOTE；②QUOTE?12?12.【分析】（1）QUOTE??=12a=12時(shí)，QUOTE????=12??（2）①Q(mào)UOTE時(shí)，QUOTE????=????2???+2???1??>0fx=ax②時(shí)，QUOTE????=2???14???1ga【解析】（1）QUOTE??=12a=12時(shí)，QUOTE????=12??2增區(qū)間QUOTE；減區(qū)間QUOTE?∞,?1,0,1?∞,?1,0,1.（2）①因?yàn)镼UOTE，所以QUOTE????=????2???+2???1??>0若QUOTE12??<112a<1，即QUOTE??>12a>12時(shí)，QUOTE????fx在QUOTE1,21,2上單調(diào)遞增，所以QUOTE????1??????fx若QUOTE，即QUOTE時(shí)，QUOTE????fx在QUOTE1,12??1,12a上遞減，在QUOTE12??,212a,2所以QUOTE????12??14????????若QUOTE12??>212a>2，即QUOTE0<??<140<a<14時(shí)，QUOTE????fx在QUOTE1,21,2上單調(diào)遞減，所以QUOTE????2??????fx綜上QUOTE；②時(shí)，QUOTE????=2???14???1g因?yàn)镼UOTE??=2??,??=?14??y=2a,y=?14a在單調(diào)遞增，所以QUOTE????=2???14???1ga所以QUOTE????ga的最大值為QUOTE??12=?12g【名師點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查含參二次函數(shù)最值的求解以及函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是討論二次函數(shù)對稱軸的位置，再結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性求解，對于函數(shù)最值問題，解題的關(guān)鍵是求出函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求出最值.22.(本小題12.0分)已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為1．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)若函數(shù)，是否存在正實(shí)數(shù)，對區(qū)間上任意三個(gè)實(shí)數(shù)r、s、t，都存在以、、為邊長的三角形？若存在，求實(shí)數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由題意，，然后分，兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)果；（2）由題意，可證得在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，設(shè)，，則，從而把問題轉(zhuǎn)化為：，時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．結(jié)合的單調(diào)性，分，，，四種情況討論即可求得答案.【詳解】（1）由題意，①當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上遞減，所以，得（舍去）．②