考研數學復試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(f(x)=\frac{1}{x-1}\)的間斷點類型是（）A.可去間斷點B.跳躍間斷點C.無窮間斷點D.振蕩間斷點2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinax}{x}=2\)，則\(a\)的值為（）A.1B.2C.-1D.-23.設函數\(y=x^3+3x^2-9x+1\)，則其單調遞減區間是（）A.\((-\infty,-3)\)B.\((-3,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((-\infty,1)\)4.已知\(\intf(x)dx=F(x)+C\)，則\(\intf(ax+b)dx\)（\(a\neq0\)）等于（）A.\(F(ax+b)+C\)B.\(\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)C.\(aF(ax+b)+C\)D.\(\frac{1}{a}F(x)+C\)5.向量\(\vec{a}=(1,-2,3)\)與\(\vec{b}=(2,-4,6)\)的關系是（）A.垂直B.平行C.相交D.異面6.設\(z=x^2y\)，則\(\frac{\partialz}{\partialx}\)在點\((1,2)\)處的值為（）A.2B.4C.1D.07.級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂的條件是（）A.\(p\gt0\)B.\(p\gt1\)C.\(p\geq1\)D.\(p\geq0\)8.微分方程\(y''+2y'+y=0\)的通解是（）A.\(y=C_1e^x+C_2e^{-x}\)B.\(y=(C_1+C_2x)e^{-x}\)C.\(y=C_1e^{-x}+C_2xe^x\)D.\(y=C_1+C_2e^{-x}\)9.設\(A\)為\(n\)階方陣，且\(|A|=0\)，則（）A.\(A\)中必有兩行（列）元素對應成比例B.\(A\)中至少有一行（列）向量是其余行（列）向量的線性組合C.\(A\)中必有一行（列）元素全為0D.\(A\)的秩\(r(A)=n\)10.設隨機變量\(X\)服從正態分布\(N(0,1)\)，則\(P(X\lt0)\)等于（）A.0B.0.5C.1D.0.25答案：1.C2.B3.B4.B5.B6.B7.B8.B9.B10.B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數中，在\(x=0\)處連續的有（）A.\(f(x)=\begin{cases}x^2+1,&x\geq0\\1,&x\lt0\end{cases}\)B.\(f(x)=\begin{cases}\frac{\sinx}{x},&x\neq0\\1,&x=0\end{cases}\)C.\(f(x)=\begin{cases}e^x,&x\geq0\\x+1,&x\lt0\end{cases}\)D.\(f(x)=\begin{cases}\ln(1+x),&x\gt0\\0,&x\leq0\end{cases}\)2.下列導數公式正確的有（）A.\((\sinx)'=\cosx\)B.\((\lnx)'=\frac{1}{x}\)C.\((e^x)'=e^x\)D.\((x^n)'=nx^{n-1}\)3.關于定積分的性質，正確的有（）A.\(\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx\)（\(k\)為常數）B.\(\int_{a}^{b}[f(x)+g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx\)C.\(\int_{a}^{b}f(x)dx=-\int_{b}^{a}f(x)dx\)D.若\(f(x)\geq0\)，\(x\in[a,b]\)，則\(\int_{a}^{b}f(x)dx\geq0\)4.下列向量組中，線性相關的有（）A.\(\vec{\alpha}_1=(1,0,0)\)，\(\vec{\alpha}_2=(0,1,0)\)，\(\vec{\alpha}_3=(0,0,1)\)B.\(\vec{\alpha}_1=(1,2,3)\)，\(\vec{\alpha}_2=(2,4,6)\)C.\(\vec{\alpha}_1=(1,1,0)\)，\(\vec{\alpha}_2=(0,1,1)\)，\(\vec{\alpha}_3=(1,0,1)\)D.\(\vec{\alpha}_1=(1,-1,1)\)，\(\vec{\alpha}_2=(-1,1,-1)\)5.設\(z=f(x,y)\)可微，則（）A.\(\Deltaz=\frac{\partialz}{\partialx}\Deltax+\frac{\partialz}{\partialy}\Deltay+o(\rho)\)（\(\rho=\sqrt{(\Deltax)^2+(\Deltay)^2}\)）B.\(\frac{\partialz}{\partialx}\)，\(\frac{\partialz}{\partialy}\)連續C.\(z\)在該點處沿任意方向的方向導數都存在D.\(z\)在該點處偏導數存在6.冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n\)的收斂性可能是（）A.僅在\(x=0\)處收斂B.在整個數軸上都收斂C.存在一個正數\(R\)，在\((-R,R)\)內收斂，在\(|x|\gtR\)時發散D.在\((-\infty,+\infty)\)內都發散7.對于\(n\)階方陣\(A\)和\(B\)，下列結論正確的有（）A.\((AB)^T=B^TA^T\)B.\(|AB|=|A||B|\)C.若\(A\)可逆，則\((A^{-1})^T=(A^T)^{-1}\)D.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)8.設隨機變量\(X\)服從參數為\(\lambda\)的泊松分布，則（）A.\(P(X=k)=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!}\)，\(k=0,1,2,\cdots\)B.\(E(X)=\lambda\)C.\(D(X)=\lambda\)D.\(X\)取各個值的概率之和為19.下列屬于二維隨機變量\((X,Y)\)的分布函數\(F(x,y)\)的性質的有（）A.\(0\leqF(x,y)\leq1\)B.\(F(x,y)\)關于\(x\)和\(y\)均單調不減C.\(F(-\infty,y)=0\)，\(F(x,-\infty)=0\)，\(F(-\infty,-\infty)=0\)，\(F(+\infty,+\infty)=1\)D.\(F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)\geq0\)（\(x_1\ltx_2\)，\(y_1\lty_2\)）10.關于估計量的評選標準，正確的有（）A.無偏性B.有效性C.一致性D.準確性答案：1.ABC2.ABCD3.ABCD4.BD5.ACD6.ABC7.ABC8.ABCD9.ABCD10.ABC三、判斷題（每題2分，共10題）1.若函數\(f(x)\)在\(x_0\)處可導，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續。（）2.函數\(y=x^3\)在\(R\)上是凹函數。（）3.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)。（）4.若向量組\(\vec{\alpha}_1,\vec{\alpha}_2,\cdots,\vec{\alpha}_m\)線性相關，則其中必有一個向量是其余向量的線性組合。（）5.函數\(z=\ln(x+y)\)的定義域是\(x+y\gt0\)。（）6.冪級數\(\sum_{n=0}^{\infty}x^n\)的收斂半徑是1。（）7.若\(A\)為\(n\)階方陣，且\(A^2=A\)，則\(A\)的特征值只能是0或1。（）8.設隨機變量\(X\)與\(Y\)相互獨立，則\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)。（）9.總體\(X\)的樣本均值\(\overline{X}\)是總體均值\(\mu\)的無偏估計量。（）10.假設檢驗中，犯第一類錯誤的概率就是顯著水平\(\alpha\)。（）答案：1.√2.×3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述函數極限的\(\epsilon-\delta\)定義答案：設函數\(f(x)\)在點\(x_0\)的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數\(A\)，對于任意給定的正數\(\epsilon\)（無論它多么小），總存在正數\(\delta\)，使得當\(x\)滿足不等式\(0\lt|x-x_0|\lt\delta\)時，對應的函數值\(f(x)\)都滿足不等式\(|f(x)-A|\lt\epsilon\)，那么常數\(A\)就叫做函數\(f(x)\)當\(x\tox_0\)時的極限。2.求函數\(y=x^4-2x^2+5\)的極值答案：先求導\(y'=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)\)。令\(y'=0\)，得\(x=0,\pm1\)。再求二階導\(y''=12x^2-4\)。將\(x=0,\pm1\)代入\(y''\)，\(x=0\)時，\(y''\lt0\)，極大值\(y(0)=5\)；\(x=\pm1\)時，\(y''\gt0\)，極小值\(y(\pm1)=4\)。3.簡述矩陣可逆的充要條件答案：\(n\)階方陣\(A\)可逆的充要條件有：\(|A|\neq0\)；\(r(A)=n\)；\(A\)可以表示為有限個初等矩陣的乘積；\(Ax=0\)只有零解；\(A\)的行（列）向量組線性無關等。4.簡述正態分布的性質答案：正態分布\(N(\mu,\sigma^2)\)的概率密度函數圖像關于\(x=\mu\)對稱，\(\mu\)決定對稱軸位置，\(\sigma\)決定圖像“胖瘦”。其均值為\(\mu\)，方差為\(\sigma^2\)。取值幾乎都在\((\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)\)內，即“3\(\sigma\)原則”。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論函數\(f(x)=\begin{cases}x\sin\frac{1}{x},&x\neq0\\0,&x=0\end{cases}\)在\(x=0\)處的連續性與可導性答案：連續性：\(\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0=f(0)\)，所以在\(x=0\)處連續。可導性：\(f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\sin\frac{1}{x}\)，極限不存在，所以在\(x=0\)處不可導。2.討論級數\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-