PAGEPAGE1第10章計數原理、概率、隨機變量及其分布第5講A組基礎關1．連擲兩次骰子分別得到點數m，n，則向量(m，n)與向量(－1,1)的夾角θ>90°的概率是()A.eq\f(5,12) B.eq\f(7,12)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,2)答案A解析∵(m，n)·(－1,1)＝－m＋n<0，∴m>n.基本領件總共有6×6＝36(個)，符合要求的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共1＋2＋3＋4＋5＝15(個)．∴P＝eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).2．從集合A＝{－2，－1,2}中隨機抽取一個數記為a，從集合B＝{－1,1,3}中隨機抽取一個數記為b，則直線ax－y＋b＝0不經過第四象限的概率為()A.eq\f(2,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(4,9) D.eq\f(1,4)答案A解析(a，b)全部可能的結果為9種．由ax－y＋b＝0得y＝ax＋b，當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≥0，,b≥0))時，直線不經過第四象限，符合條件的(a，b)的結果為(2,1)，(2,3)，共2種，所以直線ax－y＋b＝0不經過第四象限的概率P＝eq\f(2,9)，故選A.3．某車間共有12名工人，隨機抽取6名作為樣本，他們某日加工零件個數的莖葉圖如圖所示，其中莖為十位數，葉為個位數，日加工零件個數大于樣本均值的工人為優秀工人．要從這6人中，隨機選出2人參與一項技術競賽，選出的2人至少有1人為優秀工人的概率為()A.eq\f(8,15) B.eq\f(4,9)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,9)答案C解析由已知得，樣本均值為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(20＋60＋30＋7＋9＋1＋5,6)＝22，故優秀工人只有2人．故所求概率為P＝eq\f(C\o\al(2,6)－C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，故選C.4．現有10個數，它們能構成一個以1為首項，－3為公比的等比數列，若從這10個數中隨機抽取一個數，則它小于8的概率是()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案C解析由題意得以1為首項，－3為公比的等比數列的10個數為1，－3,9，－27，…，其中有5個負數，1個正數1，共計6個數小于8，所以從這10個數中隨機抽取一個數，它小于8的概率是eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).5．(2024·山東濟寧檢測)學校為了嘉獎數學競賽中獲獎的優秀學生，將梅、蘭、竹、菊四幅名畫送給獲獎的甲、乙、丙三位學生，每個學生至少獲得一幅，則在全部送法中甲得到名畫“竹”的概率是()A.eq\f(2,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)答案C解析先分3組，Ceq\o\al(2,4)＝6，再安排Aeq\o\al(3,3)＝6，由分步計數原理可知總方法數N＝Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36，滿意條件方法數N1＝Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＋Aeq\o\al(3,3)＝12，概率P＝eq\f(N1,N)＝eq\f(12,36)＝eq\f(1,3).故選C.6．某微信群中四人同時搶3個紅包，每人最多搶一個，則其中甲、乙兩人都搶到紅包的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5) D.eq\f(1,2)答案D解析3個紅包安排給四人共有Aeq\o\al(3,4)種分法，“甲、乙兩人都搶到紅包”指從3個紅包中選2個安排給甲、乙，其余1個安排給另外二人，其概率為eq\f(C\o\al(2,3)A\o\al(2,2)·A\o\al(1,2),A\o\al(3,4))＝eq\f(3×2×2,4×3×2)＝eq\f(1,2)，故選D.7．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中隨意一點，O為坐標原點，則直線OA與y＝x2＋1有交點的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)答案C解析易知過點(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).故選C.8．從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為________．答案eq\f(3,5)解析如圖，從A，B，C，D，O這5個點中任取2個，共有10種取法，滿意兩點間的距離不小于正方形邊長的取法有(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6種，因此所求概率P＝eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).9．(2024·撫州模擬)如圖所示是某市2017年4月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數(AQI)小于100表示空氣質量優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染，某同志隨機選擇4月1日至4月12日中的某一天到達該市，并停留3天．該同志到達當日空氣質量重度污染的概率為________．答案eq\f(5,12)解析某同志隨機選擇4月1日至4月12日中的某一天到達該市，并停留3天，基本領件總數n＝12,4月1日至4月12日空氣質量重度污染的天數有5天，即該同志到達當日空氣質量重度污染包含的基本領件個數m＝5，所以該同志到達當日空氣質量重度污染的概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(5,12).10．(2024·江蘇蘇州模擬)若a，b∈{0,1,2}，則函數f(x)＝ax2＋2x＋b有零點的概率為________．答案eq\f(2,3)解析a，b∈{0,1,2}，當函數f(x)＝ax2＋2x＋b沒有零點時，a≠0，且Δ＝4－4ab<0，即ab>1，∴(a，b)有3種狀況：(1,2)，(2,1)，(2,2)．基本領件總數n＝3×3＝9，∴函數f(x)＝ax2＋2x＋b有零點的概率為P＝1－eq\f(3,9)＝eq\f(2,3).B組實力關1．(2024·南昌模擬)如圖，在三棱錐S－ABC中，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，現從該三棱錐的6條棱中任選2條，則這2條棱相互垂直的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5) D.eq\f(2,9)答案A解析由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，可推得SB⊥BC，從該三棱錐的6條棱中任選2條，共有15種不同的選法，其中相互垂直的2條棱有(SA，AB)，(SA，BC)，(SA，AC)，(SB，BC)，(AB，BC)，共5種狀況，所以這2條棱相互垂直的概率P＝eq\f(5,15)＝eq\f(1,3).2．下面三行三列的方陣中有九個數aij(i＝1,2,3；j＝1,2,3)，從中任取三個數，則至少有兩個數位于同行或同列的概率是()A.eq\f(3,7) B.eq\f(4,7)C.eq\f(1,14) D.eq\f(13,14)答案D解析從九個數中任取三個數的不同取法共有Ceq\o\al(3,9)＝eq\f(9×8×7,1×2×3)＝84(種)，取出的三個數分別位于不同的行與列的取法共有Ceq\o\al(1,3)·Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(1,1)＝6(種)，所以至少有兩個數位于同行或同列的概率為1－eq\f(6,84)＝eq\f(13,14).3．某同學同時擲兩顆骰子，得到點數分別為a，b，則構成橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1且離心率e>eq\f(\r(3),2)的概率是________．答案eq\f(1,3)解析同時擲兩顆骰子，得到的點數所形成的數組共有36種狀況，當a>b時，e＝eq\r(1－\f(b2,a2))>eq\f(\r(3),2)?eq\f(b,a)<eq\f(1,2)?a>2b，符合a>2b的狀況有：當b＝1時，有a＝3,4,5,6四種狀況；當b＝2時，有a＝5,6兩種狀況．總共有6種狀況，則概率是eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).同理當a<b時，e>eq\f(\r(3),2)的概率也為eq\f(1,6).綜上可知e>eq\f(\r(3),2)的概率為eq\f(1,3).4．(2024·天津高考)已知某校甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數分別為240,160,160.現采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學去某敬老院參與獻愛心活動．(1)應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取多少人？(2)設抽出的7名同學分別用A，B，C，D，E，F，G表示，現從中隨機抽取2名同學擔當敬老院的衛生工作．①試用所給字母列舉出全部可能的抽取結果；②設M為事務“抽取的2名同學來自同一年級”，求事務M發生的概率．解(1)由已知，甲、乙、丙三個年級的學生志愿者人數之比為3∶2∶2，由于采納分層抽樣的方法從中抽取7名同學，因此應從甲、乙、丙三個年級的學生志愿者中分別抽取3人，2人，2人．(2)①從抽出的7名同學中隨機抽取2名同學的全部可能結果為{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21種．②由①，不妨設抽出的7名同學中，來自甲年級的是A，B，C，來自乙年級的是D，E，來自丙年級的是F，G，則從抽出的7名同學中隨機抽取的2名同學來自同一年級的全部可能結果為{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5種．所以事務M發生的概率為P(M)＝eq\f(5,21).C組素養關1．(2024·成都模擬)某醫療科研項目組對5只試驗小白鼠體內的A，B兩項指標數據進行收集和分析，得到的數據如下表：(1)若通過數據分析，得知A項指標數據與B項指標數據具有線性相關關系．試依據上表，求B項指標數據y關于A項指標數據x的線性回來方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))；(2)現要從這5只小白鼠中隨機抽取3只，求其中至少有一只的B項指標數據高于3的概率．參考公式：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))yi－\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xi－\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).解(1)由題意，可得eq\o(x,\s\up6(－))＝7，eq\o(y,\s\up6(－))＝3，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝110，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝255，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－5\o(x,\s\up6(－))2)＝eq\f(1,2).∵eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝－eq\f(1,2).∴所求線性回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\f(1,2)x－eq\f(1,2).(2)設1號至5號小白鼠依次為a1，a2，a3，a4，a5，則在這5只小白鼠中隨機抽取3只的狀況有a1a2a3，a1a2a4，a1a2a5，a1a3a4，a1a3a5，a1a4a隨機抽取的3只小白鼠中至少有一只的B項指標數據高于3的狀況有a1a2a4，a1a2a5，a1a3a4，a1a3a5，a1a4a5，a∴從這5只小白鼠中隨機抽取3只，其中至少有一只的B項指標數據高于3的概率為eq\f(9,10).2．(2024·吉林模擬)12月10日，我國科學家屠呦呦教授由于在發覺青蒿素和治療瘧疾的療法上的貢獻獲得諾貝爾醫學獎，以青蒿素類藥物為主的聯合療法已經成為世界衛生組織舉薦的抗瘧疾標準療法，目前，國內青蒿人工種植發展快速，調查表明，人工種植的青蒿的長勢與海拔高度、土壤酸堿度、空氣濕度的指標有極強的相關性，現將這三項指標分別記為x，y，z，并對它們進行量化：0表示不合格，1表示臨界合格，2表示合格，再用綜合指標ω＝x＋y＋z的值評定人工種植的青蒿的長勢等級：若ω≥4，則長勢為一級；若2≤ω≤3，則長勢為二級；若0≤ω≤1，則長勢為三級．為了了解目前人工種植的青蒿的長勢狀況，探討人員隨機抽取了10塊青蒿人工種植地，得到如下結果：(1)在這10塊青蒿人工種植地中任取兩地，求這兩地的空氣濕度的指標z相同的概率；(2)從長勢等級是一級的人工種植地中任取一地，其綜合指標為m，從長勢等級不是一級的人工種植地中任取一地，其綜合指標為n，記隨機變量X＝m－n，求X的分布列及其數學期望．解(1)由表可知：空氣濕度指標為0的有A1，空氣濕度指標為1的有A2，A3，A5，A8，A9，A10，空氣濕度指標為2的有A4，A6，A7，在這10塊青蒿人工種植地中任取兩地，基本領件總數n＝Ceq\o\al(2,10)＝45，這兩地的空氣濕度的指標z相同包含的基本領件個數m＝Ceq\o\al(2,6)＋Ceq\o\al(2,3)＝18，∴這兩地的空氣濕度的指標z相同的概率P＝eq\f(m