PAGEPAGE5題組層級快練(三十四)1．若(x＋i)2是純虛數(shù)(其中i為虛數(shù)單位)，則x＝()A．±1 B．2C．－1 D．1答案A解析(x＋i)2＝x2－1＋2xi，因為(x＋i)2是純虛數(shù)，所以x＝±1.2．(2024·河北辛集中學月考)若復數(shù)eq\f(2－bi,1＋2i)(b∈R)的實部與虛部互為相反數(shù)，則b等于()A.eq\r(2) B.eq\f(2,3)C．－eq\f(2,3) D．2答案C解析eq\f(2－bi,1＋2i)＝eq\f(（2－bi）（1－2i）,（1＋2i）（1－2i）)＝eq\f(2－2b－（4＋b）i,5)，由題意得eq\f(2－2b,5)－eq\f(4＋b,5)＝0，得b＝－eq\f(2,3).3．(2024·課標全國Ⅰ，文)下列各式的運算結(jié)果為純虛數(shù)的是()A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)C．(1＋i)2 D．i(1＋i)答案C解析i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是純虛數(shù)，解除A；i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)，解除B；(1＋i)2＝2i，2i是純虛數(shù)．故選C.4．(2024·唐山二模)若復數(shù)z＝eq\f(1＋i,a－i)(i是虛數(shù)單位，a∈R)是純虛數(shù)，則z的虛部為()A．1 B．iC．2 D．2i答案A解析設z＝eq\f(1＋i,a－i)＝bi(b∈R且b≠0)，則1＋i＝b＋abi，∴b＝1.選A.5．(2024·安徽江南十校3月聯(lián)考題)若復數(shù)z滿意z(1－i)＝|1－i|＋i，則z的實部為()A.eq\f(\r(2)－1,2) B.eq\r(2)－1C．1 D.eq\f(\r(2)＋1,2)答案A解析由z(1－i)＝|1－i|＋i，得z＝eq\f(\r(2)＋i,1－i)＝eq\f(（\r(2)＋i）（1＋i）,（1－i）（1＋i）)＝eq\f(\r(2)－1,2)＋eq\f(\r(2)＋1,2)i，故z的實部為eq\f(\r(2)－1,2)，故選A.6．(2024·湖北中學聯(lián)考)已知復數(shù)z＝1＋i(i是虛數(shù)單位)，則eq\f(2,z)－z2的共軛復數(shù)是()A．－1＋3i B．1＋3iC．1－3i D．－1－3i答案B解析eq\f(2,z)－z2＝eq\f(2,1＋i)－(1＋i)2＝eq\f(2（1－i）,（1＋i）（1－i）)－2i＝1－i－2i＝1－3i，其共軛復數(shù)是1＋3i，故選B.7．(2024·山西四校聯(lián)考)i是虛數(shù)單位，若eq\f(2＋i,1＋i)＝a＋bi(a，b∈R)，則lg(a＋b)的值是()A．－2 B．－1C．0 D.eq\f(1,2)答案C解析∵eq\f(（2＋i）（1－i）,（1＋i）（1－i）)＝eq\f(3－i,2)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,2)i＝a＋bi，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(3,2)，,b＝－\f(1,2)，))∴l(xiāng)g(a＋b)＝lg1＝0.8.(2024·湖北黃岡期末)復數(shù)z1，z2在復平面內(nèi)分別對應點A，B，z1＝3＋4i，將點A繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到點B，則z2＝()A．3－4i B．－4－3iC．－4＋3i D．－3－4i答案B解析由題意知A(3，4)，B(－4，3)，即z2＝－4＋3i，z2＝－4－3i.9．(2014·江西，理)z是z的共軛復數(shù)，若z＋z＝2，(z－z)i＝2(i為虛數(shù)單位)，則z＝()A．1＋i B．－1－iC．－1＋i D．1－i答案D10．設a是實數(shù)，且eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)是實數(shù)，則a＝()A．1 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,5) D．－eq\f(1,5)答案A解析eq\f(a,1＋i)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(a（1－i）,（1＋i）（1－i）)＋eq\f(1＋i,2)＝eq\f(（a＋1）＋（－a＋1）i,2)，由于該復數(shù)為實數(shù)，故－a＋1＝0，即a＝1.11．下面是關于復數(shù)z＝eq\f(2,－1＋i)的四個命題：p1：|z|＝2,p2：z2＝2i，p3：z的共軛復數(shù)為1＋i,p4：z的虛部為－1.其中的真命題為()A．p2，p3 B．p1，p2C．p2，p4 D．p3，p4答案C解析∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝－1－i，∴|z|＝eq\r(2)，z2＝(－1－i)2＝(1＋i)2＝2i，z的共軛復數(shù)為－1＋i，z的虛部為－1，綜上可知p2，p4是真命題．12．(2024·課標全國Ⅲ)若z＝1＋2i，則eq\f(4i,zz－1)＝()A．1 B．－1C．i D．－i答案C解析eq\f(4i,zz－1)＝eq\f(4i,（1＋2i）（1－2i）－1)＝i.13．(2024·北京)若復數(shù)(1－i)(a＋i)在復平面內(nèi)對應的點在其次象限，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)答案B解析因為z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在復平面內(nèi)對應的點為(a＋1，1－a)，又此點在其次象限，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋1<0，,1－a>0，))解得a<－1，故選B.14．(2024·邯鄲二模)復數(shù)z在復平面內(nèi)表示的點Z如圖所示，則使得z2·z1是純虛數(shù)的一個z1是()A．3－4i B．4＋3iC．3＋4i D．4－3i答案D解析由題意可得，z＝－2＋i，令z1＝a＋bi(a，b∈R)，則z2·z1＝(a＋bi)(－2＋i)2＝(a＋bi)(3－4i)．又z2·z1為純虛數(shù)，則z2·z1實部為0，即3a＋4b＝0，故選D.15．(2015·天津，理)i是虛數(shù)單位，若復數(shù)(1－2i)(a＋i)是純虛數(shù)，則實數(shù)a的值為________．答案－2解析由題意知，復數(shù)(1－2i)(a＋i)＝a＋2＋(1－2a)i是純虛數(shù)，則實部a＋2＝0，虛部1－2a≠0，解得a＝－2.16．(2024·天津)已知a，b∈R，i是虛數(shù)單位．若(1＋i)(1－bi)＝a，則eq\f(a,b)的值為________．答案2解析(1＋i)(1－bi)＝1＋b＋(1－b)i＝a，所以b＝1，a＝2，eq\f(a,b)＝2.17．(2024·江蘇阜寧中學調(diào)研)若復數(shù)z＝i＋i2020，則z＋eq\f(10,z)的模等于________．答案6eq\r(2)解析z＝i＋i2020＝i＋1，z＋eq\f(10,z)＝1－i＋eq\f(10,1＋i)＝6－6i，其模為6eq\r(2).18．i＋i2＋i3＋…＋i2019的值是________．答案－1解析原式＝eq\f(i（1－i2019）,1－i)＝eq\f(i（1－i3）,1－i)＝eq\f(i（1＋i）,1－i)＝i·i＝－1.19．(2024·河南許昌中學聯(lián)考)給出下列四個命題：①滿意：z＝eq\f(1,z)的復數(shù)有±1，±i；②若a，b∈R且a＝b，則(a－b)＋(a＋b)i是純虛數(shù)；③復數(shù)z∈R的充要條件是z＝z；④在復平面內(nèi)，實軸上的點都表示實數(shù)，虛軸上的點都表示純虛數(shù)．其中正確的命題是________．答案③解析因為i2＝－1，所以命題①不正確；對于命題②，當a＝b＝0時，不成立，命題②不正確；由共軛復數(shù)的定義知，命題③正確；虛軸上的點除原點外都表示純虛數(shù)，命題④不正確．20．計算：(1)eq\f(（1＋2i）2＋3（1－i）,2＋i)；(2)eq\f(1－i,（1＋i）2)＋eq\f(1＋i,（1－i）2)；(3)eq\f(1－\r(3)i,（\r(3)＋i）2).答案(1)eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i(2)－1(3)－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i解析(1)eq\f(（1＋2i）2＋3（1－i）,2＋i)＝eq\f(－3＋4i＋3－3i,2＋i)＝eq\f(i,2＋i)＝eq\f(i（2－i）,5)＝eq\f(1,5)＋eq\f(2,5)i.(2)eq\f(1－i,（1＋i）2)＋eq\f(1＋i,（1－i）2)＝eq\f