PAGEPAGE1第43講雙曲線1.下列雙曲線中,漸近線方程為y=±2x的是 ()A.x2-y24=1 B.x24C.x2-y22=1 D.x222.[2024·珠海模擬]若雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線與直線x+2y-1=0A.52 B.C.3+12 D.33.已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2=24y的焦點重合,其一條漸近線的傾斜角為30°,則該雙曲線的標準方程為 ()A.x29-y227=1 B.yC.y212-x224=1 D.y4.[2024·石嘴山三中月考]已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,以線段F1F2A.x216-y29=1 B.xC.x24-y23=1 D.x5.[2024·諸暨模擬]已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線截橢圓x24+y26.[2024·寧夏平羅模擬]已知雙曲線C1:x24-y2=1,雙曲線C2:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,M是雙曲線C2的一條漸近線上的點,且OM⊥MF2,O為坐標原點,若S△OMF2=16,且雙曲線C1A.32 B.4 C.8 D.167.已知雙曲線的中心在原點且一個焦點為F(7,0),直線y=x-1與其相交于M,N兩點,線段MN中點的橫坐標為-23,則此雙曲線的方程是 (A.x23-y24=1 B.xC.x25-y22=1 D.x8.已知F1,F2分別是雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點,過F1的直線l與雙曲線分別交于點A,B,且A(1,3),若△ABF2為等邊三角形,則△BF1A.1 B.2 C.3 D.29.已知A(-2,0),B(2,0),斜率為k的直線l上存在不同的兩點M,N,滿意|MA|-|MB|=23,|NA|-|NB|=23,且線段MN的中點為(6,1),則k的值為 ()A.-2 B.-12C.12 D.10.如圖K43-1,過雙曲線E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右頂點A作斜率為-1的直線,該直線與E的漸近線交于B,C兩點,若BC+2BA=0,圖K43-1A.y=±3x B.y=±4xC.y=±2x D.y=±2x11.[2024·河南中原名校檢測]已知直線x-2y+1=0與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B兩點,且線段AB的中點MA.2 B.62C.52 D.12.[2024·銀川一中月考]已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0)(c>0),拋物線y2=4cx與雙曲線在第一象限內相交于點P,若|PF2|=|F1F13.[2024·海南中學月考]已知雙曲線C的一條漸近線方程是x-2y=0,且雙曲線C過點(22,1).(1)求雙曲線C的方程;(2)設雙曲線C的左、右頂點分別是A1,A2,點P(異于A1,A2)為雙曲線C上隨意一點,直線PA1,PA2分別與直線l:x=1交于M,N,求|MN|的最小值.14.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,漸近線方程是y=±255x,點A(0,b),(1)求雙曲線C的標準方程;(2)直線l:y=kx+m(k≠0,m≠0)與雙曲線C交于不同的兩點P,Q,若|AP|=|AQ|,求實數m的取值范圍.15.已知雙曲線Γ1:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為F1,F2,橢圓Γ2:x23+y24=1的離心率為e,直線MN過點F2與雙曲線交于M,N兩點,若cos∠F1MN=cos∠F1F2M,且A.30°,150° B.45°,135°C.60°,120° D.15°,165°16.以橢圓x29+y25=1的頂點為焦點,焦點為頂點的雙曲線C的左、右焦點分別是F1,F2,已知點M的坐標為(2,1),雙曲線C上的點P(x0,y0)(x0>0,y0>0)滿意PF1·MF1|A.2 B.4 C.1 D.-1課時作業(四十三)1.A[解析]A中雙曲線的漸近線方程為y=±2x;B中雙曲線的漸近線方程為y=±12x;C中雙曲線的漸近線方程為y=±2x;D中雙曲線的漸近線方程為y=±22.B[解析]直線x+2y-1=0的斜率k=-12,由題意知ba=2,即b=2a,∴c2=a2+b2=5a2,∴雙曲線的離心率e=5,故選3.B[解析]拋物線x2=24y的焦點坐標為(0,6),由題意知雙曲線的一個焦點的坐標為(0,6),∴可設雙曲線的標準方程為y2a2-x2b2=∵雙曲線的漸近線方程為y=±abx,且其中一條漸近線的傾斜角為30°,∴ab=33,又c=6,c2=a2+b2,∴a2=9,b故雙曲線的標準方程為y29-x24.D[解析]由題意得c=32+42=5,因為交點(3,4)在漸近線y=bax上,所以4=3ba,即ba=43,又c2=a2+b2,所以a=3,b=4,5.3[解析]不妨設雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的一條漸近線的方程為bx-ay=0,由bx-ay=0,x24+y2=1可得x=±2aa2+4b2,y=±2ba2+4b2,∴這條漸近線截橢圓x24+y2=6.D[解析]雙曲線C1:x24-y2=1的離心率為52,設F2(c,0),雙曲線C2的一條漸近線方程為y=可得|F2M|=bca2+b2=b,則|OM|=c2-b2=a,由S△OMF2=16,可得12ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,且ca=52,∴a=8,7.B[解析]設雙曲線的方程為x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),將y=x-1代入雙曲線的方程,整理得(b2-a2)x2+2a2x-a2-a2b2=0.設M(x1,y1),N(x2,y2),易知b2-a2≠0,則x1+x2=2a2a2-b2,所以x1+x22=a2a2-b2=-23.8.C[解析]由題意知A在雙曲線的右支上,依據雙曲線的定義,可得|AF1|-|AF2|=2a,∵△ABF2是等邊三角形,∴|AF2|=|AB|,∴|BF1|=2a.又∵|BF2|-|BF1|=2a,∴|BF2|=|BF1|+2a=4a.∵在△BF1F2中,|BF1|=2a,|BF2|=4a,∠F1BF2=120°,∴|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2-2|BF1|·|BF2|cos120°,即4c2=4a2+16a2-2×2a×4a×-12=28a2,即c2=7a2,∴b2=c2-a2=6a2,∴雙曲線的方程為x2a2-y又點A(1,3)在雙曲線上,∴1a2-36a2∴△BF1F2的面積為12×2a×4a×sin120°=23a2=39.D[解析]由題意知M,N是雙曲線的右支上的兩點,設雙曲線方程為x2a2-y2b2則a=3,c=2,b=1,∴雙曲線方程為x23-y2=設M(x1,y1),N(x2,y2),其中x1>3,x2>3且x1≠x2,則x1+x2=12,y1+y2=2.將點M,N的坐標分別代入雙曲線方程,得x123-y12=1,x223-y22=1,作差可得13×12×(x1-x2)-2(y10.D[解析]由題易知A(a,0),直線l:y=-x+a與漸近線l1:bx-ay=0交于點Ba2a+b,aba+b,直線l:y=-x+a與漸近線l2:bx+ay=0交于點Ca∵BC+2BA=0,∴AC=3AB,∴a2a-b-a=3a2a+b-a,∴b=2a,∴11.B[解析]因為直線x-2y+1=0與雙曲線x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)交于A,B兩點,且線段AB的中點M的橫坐標為1,所以M(1,1),設A(x1,y1),B(x2,y2),則有x1+x2=2,y1+y2=2,y1-y2x1-x2=12,y1+y2x1+x2=1,將點A,B的坐標代入雙曲線的方程得x12a2-y12b2=112.1+2[解析]拋物線y2=4cx的焦點與雙曲線的右焦點F2(c,0)相同,拋物線y2=4cx的準線方程為x=-c,∵|PF2|=|F1F2|,結合拋物線的定義可知,P(c,2c),∵點P在雙曲線上,∴c2a2-4c2b2=1,∴e2-4e2e2-1=1,∴e4-6e13.解:(1)由漸近線方程可知,雙曲線C的方程為x2-4y2=k(k≠0),把(22,1)代入可得k=4,所以雙曲線C的方程為x24-y2=(2)分析可知,當|MN|取到最小值時,點P在雙曲線的右支上.由題可得A1(-2,0),A2(2,0),依據雙曲線方程可得yx-2·y依據雙曲線的對稱性,不妨設點P在第一象限,設直線PA1,PA2的斜率分別為k1,k2(k1,k2>0),可得k1k2=14直線PA1的方程為y=k1(x+2),令x=1,得y=3k1,即M(1,3k1),直線PA2的方程為y=k2(x-2),令x=1,得y=-k2,即N(1,-k2),所以|MN|=|3k1-(-k2)|=3k1+k2≥23k1k當且僅當3k1=k2,即k1=36,k2=32所以|MN|的最小值為3.14.解:(1)由題可知ba=25S△AF1F2=12又a2+b2=c2,③由①②③可得a2=5,b2=4,所以雙曲線C的標準方程是x25-y2(2)設P(x1,y1),Q(x2,y2),線段PQ的中點為D(x0,y0).將y=kx+m與x25-y24=1聯立,(4-5k2)x2-10kmx-5m2-20=0,由4-5k2≠0及Δ>0,得4-所以x1+x2=10km4-5k2,x1x0=x1+x22=5km4-由|AP|=|AQ|知,AD⊥PQ,又A(0,2),所以kAD=y0-2x0=10k2=8-9m.⑤將⑤代入④,解得m<-92或m>又由10k2=8-9m>0,得m<89綜上,實數m的取值范圍是-∞,-92∪0,89.15.C[解析]設雙曲線Γ1的半焦距為c.由cos∠F1MN=cos∠F1F2M,可得∠F1MN=∠F1F2M,∴|MF1|=|F1F2|=2c,由雙曲線的定義可得|MF2|=|MF1|-2a=2c-2a.∵橢圓Γ2:x23+y24=1的離心率e=∴|F1M||F1N|=e=12,∴|NF1|=在△MF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2M=4c2+在△NF1F2中,由余弦定理得cos∠F1F2N=4c2+∵∠F1F2M+∠F1F2N=180°,∴cos∠F1F2M+cos∠F1F2N=0,即c-a2c整理得2a2+3c2-7ac=0,設雙曲線的離心率為e1,則3e12-7e1+2=0,解得e1=2或e1=13∴a2+b2a2=4,∴3a2=b2∴雙曲線的漸近線方程為y=±3x,∴雙曲線的兩條漸近線的傾斜角分別為60°,120°.故選C.16.A[解析]由題意知雙曲線的方程為x24-y2由PF1·MF1|