第01講全等三角形的性質(zhì)與判定

考點-方法?破譯

1.能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.全等三角形的形狀和大小完全相同；

2.全等三角形性質(zhì)：①全等三角形對應(yīng)邊相等，芯應(yīng)角相等；②全等三角形對應(yīng)高、

角平分線、中線相等；③全等三角形對應(yīng)周長相等，面積相等；

3.全等三角形判定方法有：SAS,ASA,AAS,SSS，對f-兩個直角三角形全等的判定方法,

除上述方法外，還有法；

4.證明兩個三角形全等的關(guān)鍵，就是證明兩個三角形滿足判定方法中的三個條件，具

體分析步驟是先找出兩個三角形中相等的邊或角，再根據(jù)選定的判定方法，確定還需要證明

哪些相等的邊或角，再設(shè)法對它們進行證明；

5..證明兩個三角形全等，根據(jù)條件，有時能直接進行證明，有時要證的兩個三角形并

不全等，這時需要添加輔助線構(gòu)造全等三角形，構(gòu)造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、

旋轉(zhuǎn)、等倍延長線中線、截取等等.

經(jīng)典-考題-賞析

【例1】如圖，AB//EF//DC,ZABC=90°tAB=CD,那么圖中有全等二角形()

45對4.4末C.3對Q.2對八

【解法指導(dǎo)】從題設(shè)題設(shè)條件出發(fā)，首先找到比較明顯的一卜、￡/

對全等三角形，并由此推出結(jié)論作為下面有用的條件，從而推出

第二對，第三對全等三角形.這種逐步推進的方法常用到.

解：3：AB〃EF〃DC,4ABCK0.1/DCBKO.

DRJk~~C

在和AOCB中

AB=DC

</ABC=ZDCB△48cgADCB(SAS)：.N4=NO

BC=CB

(2)在△4BE和△OCE中

ZJ=Z.D

<ZAED=/DECJAABE/：.4DCE/.BE=CE

AB=DC

(3)在RtAEFB和RtAEFC中

\BE=CE

[EF=EF

:.RtAEFB妾RtAEFC(HL)故選C

【變式題組】

01.(天津)下列判斷中錯誤的是()

A.有兩角和一邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等

B.有兩邊和一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.有兩邊和其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

D.有一邊對應(yīng)相等的兩個等邊三角形全等

02.（麗水）已知命題：如圖，點力、。、B、石在同一條直線上，口4D=BE,NA=NFDE,

則△ABCgaQEE判斷這個命題是真命題還是假命題，如果是真命題，請給出證明；

如果是假命題，請?zhí)砑右粋€適當(dāng)條件使它成為真命題，并加以證明V

03.（上海）已知線段力。與8。相交于點O,連接力8、DC,E為08的中點，b為OC的中

點，連接E尸（如圖所示）.

⑴添加條件N4=NQ,N（）EF=NOFE,求證：AB=DC；

⑵分別將“//=//）”記為①，"/OE/=NOFE”記為②，'Z8=OC”記為③，添加

①、③，以②為結(jié)論構(gòu)成命題1；添加條件②、③，以①

為結(jié)論構(gòu)成命題2.命題1是命題，命題2是A八、

命題（選擇“真”或“假”填入空格）.

【例2】已知AE=DF,CF=FB.求證：AF=DE.

【解法指導(dǎo)】想證首先要找出〃'和QE所在的三角形./E在△/!必和△力斯

中，而OE在和△班尸中，因而只需證明或△力E/24QFE即可.然

后再根據(jù)已知條件找出證明它們?nèi)鹊臈l件.

證明：*：FB=CE:?FB+EF=CE+EF,BPBE=CFr

AB=DC

在△/BE和△OC/7中，＜AE=DF

BE=CF

:.AABE@ADCF(SSS):.NB=ZC

AB=DC

在△力用廠和八。。/?中，＜/8=/C：./\ABF^^DCE：.AF=DE

BF=CE

【變式題組】

01.如圖，AD、是銳角△49C的高，相交于點。，若BO=AC,BC=7,CD=2,則NO

的長為（）

A.2￡3C.4D.5

02.如圖，在△4?。中，AB=AC,N84C=90。，.4笈是過/點的一條直線，.4E_LCE于E,

BD±4E于D,DE=4cm,CE=2cm,則40=.

\

03.（北京）已知：如圖，在△力8c中，ZJC5=90°,CD-L4B于點D,點、E在4c上,CE

=BC,過點E作4c的垂線，交CO的延長線于點F.求證：AB=FC.

【例3】如圖①，SABC迫ADEF、將。和△DE77的頂點8和頂點E重合，把4

DEF繞點B順時針方向旋轉(zhuǎn)，這時AC與DF相交于點O

⑴當(dāng)△。￡77旋轉(zhuǎn)至如圖②位置，點8（石）、C、。在同一直線上時，NAFD與/DC4

的數(shù)量關(guān)系是；

（2）當(dāng)△。訪繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時，（D中的結(jié)論成立嗎？請說明理由.

圖①

【解法指導(dǎo)】(1)NAFD=NDC4

(2)ZAFD=^DCA理由如下：由△AB8ADEF,：,AB=DE,BC=EF,^ABC=ZDEF,

ZBAC=AEDF/.ZABC-ZFBC=/DEF—/CBF,：?NABF=/DEC

AB=DE

在^和△QEC中，＜ZABF=ZDEC

BF=EC

:.AABaADEC/BAF=NDEC:?NBAC-NB4F=NEDF-/EDC,AZFAC=

/CDF???^AOD=NHC+/AFD=/CDF+NDCA

???ZAFD=ZDCA

【變式題組】

01.（紹興）如圖，。、E分別為△48。的/C、8c邊的中點，將此三角形沿OE折疊，使

點C落在N8邊上的點夕處.若NCOE=48。，則N/IPO等于（）

A.42°B.48°C.52°D.58°

02.如圖，&ZX/IBC沿直角邊4C所在的直線向右平移得到△/）￡￡下列結(jié)論中錯誤的是（）

A.△ABgdDEFB.N。所=90°

C.AC=DFD.EC=CF

C

第2題圖

03.?張長方形紙片沿對角線剪開，得到兩種三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下

圖形式，使點8、F、C、。在同一條直線上.

⑴求證：AB.LED；

⑵若PB=BC,找出圖中與此條件有關(guān)的一對全等三角形，并證明.

【例4】（第21屆江蘇競賽試題）已知，如圖，BD、CE分別是△/BC的邊力C和力8

邊上的高，點。在8。的延長線，BP=AC,點。在CE上,CQ=AB.求證：⑴/尸=4。；

（2）APLAQ

【解法指導(dǎo)】證明線段或角相等，也就是證線段或用所在的兩三角形全等.經(jīng)觀察，證

AP=AQ,也就是證△/尸。和△/QE,或△彳尸4和△QIC全等，由已知條件BP=AC,CQ=

AB,應(yīng)該證△力P8也△，（7，已具備兩組邊對應(yīng)相等，于是再證夾角/1=/2即可.證力P

±AQ,即證NRiQ=90。，NR1Q+NQ1C=9O。就可以.

證明：（1）???8。、CE分別是△刖C的兩邊上的高，P

：?NBDA=NCEA=90。,D

???/1+/8力。=90。，N2+N84Q=90。，AZ1=Z2.

AB=QCBQ

在4/1PB和△Q/C中，＜N1=N2I.AAPB且△QAC,

BP=CA

：,AP=AQC

(2)VAJ?^A￡?Z4C,:.NP=/CAQ,.*.ZP+Z/MD=9()0

???NO0+N%O=9O。，：.APLAQ

【變式題組】

01.如圖，已知/8=4E,/B=/E,B4=ED,點、F是CD的中點,

02.（湖州市競賽試題）如圖，在一個房間內(nèi)有一個梯子斜靠在墻上,梯子頂端距地面的垂

直距離M4為“〃?，比時梯子的傾斜角為75。，如果梯子底端不動，頂端靠在對面的墻

上，此時梯子頂端距地面的垂直距離N8為加?，梯子傾斜角為45。，這間房子的寬度是

()

第3題圖

03.如圖，已知五邊形ZBCQE中,ZABC=ZAED=^0°,AB=CD=AE=BC~\~DE=2,

則五邊形ABCDE的面積為

演練鞏固-反饋提高

01.（海南）已知圖中的兩個三角形全等，則Na度數(shù)是（）

02.如圖，△4C8名ZBC*=30°,則NZC/的度數(shù)是（）

A.20°B.30°C.35°D.40°

03.（牡丹江）尺規(guī)作圖作N/1O8的平分線方法如下：以O(shè)為圓心，任意長為半徑畫弧交

OA.OB于C、D,再分別以點C、。為圓心，以大于長為半徑畫弧，兩弧交于

2

點尸，作射線OP，由作法得△。。。/△。。。的根據(jù)是（）

A.SASB.ASAC.AASD.SSS

04.（江西）如圖，已知AB=AD,那么添加下列一個條件后，仍無法判定448。絲

的是（）

A.CB=CDB.ZBAC=ZDAC

C.ZBCA=ZDCADN8=NQ=90°

B

第4題圖

05.有兩塊不同大小的等腰直角三角板△力8c和△4QE將它們的一個銳角頂點放在一起，

將它們的一個銳角頂點放在一起，如圖，當(dāng)小8、。不在一條直線上時，下面的結(jié)論

不正確的是（）

A.^ABE^￡\CBDB.NABE=/CBD

C./ABC=/EBD=45°D.AC//BE

06.如圖，△力8。和共頂點4AB=AE,Z1=Z2,NB=NE.BC交AD于M,DE交AC

于N,小華說：“一定有△力8cg△力ED”小明說：“△ABM/AAENJ那么（）

4小華、小明都對&小華、小明都不對

C.小華對、小明不對。.小華不對、小明對

07.如圖，已知4C=EC,8C=CQ,/出=￡Q,如果/8。=119°,//CQ=98°,那么NEC4

的度數(shù)是.

08.如圖，^ABC^/\ADE,8c延長線交QE于F,N8=25°,N/C8=105°,ZDAC=

10°,則NO85的度數(shù)為.

09.如圖，在四△月8c1中，NC=90o,OEJ_/16于。,6C=5ZZ4C=3,那么

1（）.如圖，BALAC,CD//AB.BC=DE,JiBCLDE,若AB=2,CD=6,PWAE=.

11.如圖，AB=CD,AB//CD.BC=\2cm,同時有P、0兩只螞蟻從點。出發(fā)，沿。8方向

爬行,P的速度是0.lc〃1/s,Q的速度是0.2c”而.求爬行時間i為多少時，

A\-------7B

Q

D

12.如圖，△力8c中，ZBCA=90°,AC=BC,4E是AC邊上的中線，過C作C/7,力凡

垂足為F，過8作80_L8C交C/的延長線于O.

⑴求證：AE=CD；

（2）若/fC=12a〃，求3。的長.

13.（吉林）如圖，AB=AC,4OJL8C于點。，4D等于4E,平分/D4E交DE于點F,

請你寫出圖中三對全等三角形，并選取其中一對加以證明.

14.如圖，將等腰直角三角板48C的直角頂點。放在直線/上，從另兩個頂點力、8分別

作/的垂線，垂足分別為。、E.

⑴找出圖中的全等三角形，并加以證明；

（2）若￡>￡=。，求梯形D43"的面積.（溫馨提示：補形法）

15.如圖，ACA.BC,4D上BD,AD=BC,CEA.AB,

垂足分別是￡、R求證：CE=DF.

16.我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，那么在什么

情況下，它們會全等？

⑴閱讀與證明：

對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)龋?/p>

對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證明它們?nèi)龋ㄗC明略）；

對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下；

已知△48C、△4BiG均為銳角三角形，/出=/1歸1，8c=4[G，NC=NG.求證：AABC

且△小BCi.（請你將下列證明過程補充完整）

⑵歸納與敘述：由⑴可得一個正確結(jié)論，請你寫出這個結(jié)論.

培優(yōu)升級?奧賽檢測

01.如圖，在△力8c中，AB=AC,E、夕分別是/出、4c上的點，RAE=AF,BF、相

交于點0,連接4。并延長交8c于點。，則圖中全等三角形有（）

44對￡5對C.6對7對

02.如圖，在△月8。中，，48=力。，OC=OD,下列結(jié)論中：①NA=NB②DE=CE,③連

接則。￡平分乙4。8,正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

03.如圖，力在OE上，F(xiàn)在48上，且4C=CE,Z1=Z2=Z3,則的長等于（）

A.DCB.BCC.ABD.AE+AC

04.下面有四個命題，其中真命題足（）

A.兩個三角形有兩邊及一角對應(yīng)相等，這兩個三角形全等

工兩邊和第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C,有一角和一邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等

。.兩邊和第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等

05.在8c中，高力。和8E所在直線相交于〃點，且則N48C=_______.

06.如圖，￡3交4C于點必交FC于點、D,AB交FC于點N,/七=/尸=9（）。，NB=/

C,AE=AF.給出下列結(jié)論：①N1=N2；@BE=CF\③@CD=DB,

其中正確的結(jié)論有.（填序號）

07.如圖，力。為在△力8c的高，E為力C上一點，BE交力。于點尸，且有8尸=月（7,FD=

CD.

⑴求證：BE1AC；

⑵若把條件"BF=AC”和結(jié)論"BEUC”互換，這個命題成立嗎？證明你的判定.

08.如圖，。為在△48C的邊8C上一點，且。/BDA=NBAD,4E是ZL4BD的

中線.求證：AC=2AE.

A

BEDC

09.如圖，在凸四邊形力BC。中，E為△力。。內(nèi)一點，滿足力C=4。,AB=AE,NB4E+

ZBCE=90°,/切C=NE4D求證：ZCfZ）=90o.

10.（沈陽）將兩個全等的直角三角形/4C和QBE按圖①方式擺放，其中N4C3=NQEB

=90°,//=/。=30。，點E落在48上，QE所在直線交力C所在直線于點E

⑴求證：AF^EF=DE;

⑵若將圖①中△D5E繞點〃順時針方向旋轉(zhuǎn)角a,且0°<a<60°,其他條件不變,

請在圖②中畫出變換后的圖形，并直接寫出（1）中結(jié)論是否仍然成立；

⑶若將圖①中△。即繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)角｝且60。V夕<180°,其他條件不

變，如圖③你認為（1）中結(jié)論還成立嗎？若成立，寫出證明過程；若不成立，請寫出

此時力歹、￡7"與。石之間的關(guān)系，

11.（蝶州市高中提前招生考試）⑴閱讀理解：課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題:

在△力4。中，［8=5,JC=13,求8c邊上的中線力。的取值范彳

小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：延長

力。到E,使得。七=力。，再連接把力仄4C、2力。集中在B一"L——

&4BE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2V4EV8,則\<ADD

<4.

p

感悟：解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”“中線”等條件，可

以考慮中線加倍，構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個三

角形中.

⑵問題解決：受到⑴的啟發(fā)，請你證明下面命題：如圖，在△/13C中，D是BC邊

上的中點，DELDF,DE交4B于點E,DF交AC于點F,連接

求證：BE+CF>EF；

E

BD

（3）問題拓展：如圖，在四邊形48OC中，N〃+/C=I8O。，DB=DC.N3OG120。,

以。為頂點作一個60。角，角的兩邊分別交力8、4C于E、F兩點,連接EE,探索線

段BE、CF、E尸之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.力

12.（北京）如圖，已知△.48C

（1）請你在4C邊上分別取兩點。、E（4C的中點除外），連接力。、AE,寫出使此

圖中只存在兩對面積相等的三角形的相應(yīng)條件，并表示出面積相等的三角形;

⑵請你根據(jù)使⑴成立的相應(yīng)條件，證明：AB+AOAD+AE.

13.如圖，AB=AD,AC=AE,/ZMZ)=/白"=180。.Z〃J_Z〃于〃，〃/i的延長線交。￡

于G.求證：GD=GE.

14.已知，四邊形月8C。中，/18J_/lQ,8C_LCO,8<=8C,ZJ^C=120°,NV8N=60。，/MBN

繞4點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交力。、0c（或它們的延長線）于七、F.

當(dāng)NM8N繞8點旋轉(zhuǎn)到川時，如圖1,易證：AE+CF=EF；（不需證明）

當(dāng)NA/8N繞4點旋轉(zhuǎn)到4EKW時，如圖2和圖3中這兩種情況下，上述結(jié)論是

否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段/E、CF、樣又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？

請寫出你的猜想,不需證明.

第02講角平分線的性質(zhì)與判定

考點-方法?破譯

i.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.

2.角平分線的判定定理：角的內(nèi)角到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.

3.有角平分線時常常通過下列幾種情況構(gòu)造全等三角形.

經(jīng)典■考題-賞析

［例1］如圖，已知OD平分N4O8,在OA、邊上截取OA=OB.PM上BD,PN

_L/Q.求證：PM=PN

【解法指導(dǎo)】由于PN_L4D欲證PM=PN只需N3=N4,證N3=N4,只

需N3和N4所在的△080與AOAD全等即可.

證明：OD平分NX。"AZ1=N2nZ^L——D

OB=OA

在△08。與AOI。中，=/.△OBDW4OAD(片O---6二

0D=0D

AZ3=Z4'：PMLBD,PN1AD所以PM=PN

【變式題組】

01.如圖，CP、8P分別平分△48C的外角N8CM、NC8N.求證：點尸在N84。的平分線

上.

A左BN

02.如圖，BD平分N/8C,AB=B(，點尸是BD延長線上的一點，PMLAD,PN1CD.

求證：PM=PN

BC

【例2】（天津競賽題）如圖，已知四邊形力8。￡）中，4c平分NB4D,于點E,

且力￡=1（48+月。），如果NQ=120°,求N8的度數(shù)

2

【解法指導(dǎo)】由已知/1=N2,CE.LAB,聯(lián)想到可作。凡1_/。于凡得CE=CF,AF

=/1E,又由（48+力。）得。/=E8,于是可證△（'尸。0ZXCE4,則N8=NC。尸=60°.

2

或者在AE上截取AM=AD從而構(gòu)造全等三角形.

解：過點。作b_L4。于點E??NC平分N84O,CELAB,

：.CE=CF

CF=CE

在即△CE4和中，＜：,Rt/\ACF^Rt/^ACE：.AF=AE

AC=AC

又??7E=1(AE+BE+4F—DF),2AE=AE+4F+BE—DF,

2

VCF1/4D,CELAB,；?NF=NCEB=90°

CE=CF

在△CE8和△C/7)中，?ZF=ZCEB,???△CE8安△CFO

DF=BE

:"B=/CDF又???/4OC=12()°,AZCDF=60°,即NB=6()°.

【變式題組】

01.如圖，在△48。中，CD平分NACB,JC=5,3C=3.求

S&CBD

02.（河北競賽）在四邊形46CO中，已知46=4,且6c=OC,對角線4C平分/

BAD,問。與/）的大小符合什么條件時，有N4+ND=180°,請畫圖并證明你的結(jié)論.

【例3】如圖，在△刀?C中，ZBAC=90°,AB=AC.BE平分N4BC,CE_L4E.求證:

CE=-BD

2

【解法指導(dǎo)】由于8E平分N48C,因而可以考慮過點。作8c的垂線或延長"從而

構(gòu)造全等三角形.

證明：延長"交的延長線于凡VZi=Z2,BE=BE,NBEF=/BEC

:.△BEF0ABEC(ASA)

：.CE=EFf：.CE=-CFVZ1+ZF=Z3+ZF=90°,

2

r.zi=Z3

Z1=Z3

在△力和△力尸中，,:?/\AB哈AACF

BOCAB=AC

/BAD=NCAF

：,BD=CF：.CE=-BD

2

【變式題組】

01.如圖，已知力C〃8O,EA、E8分別平分NC48、/DBA,CO過點E,求證：AB=AC

+4D

02.如圖，在△力8c中，ZB=60°,AD.CE分別是NA4C、N8C4的平分線，AD.CE

相交于點F.

⑴請你判斷此和FO之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

（2）求證：AE+CD=AC.

演練鞏固?反饋提高

01.如圖，在用△/出。中，ZC=90°,BD平分NABC交AC于D,若CD=n,AB=m,

則△力8。的面積是（）

A.—mnB.—mnC.mnD.2mn

32

02.如圖，已知力8=4C,BE=CE,下面四個結(jié)論：?BP=CPx?AD±BC；③4E平分N

BAC；④NP8C=NPC8.其中正確的結(jié)論個數(shù)有（）個

A.1B.2C.3D.4

03.如圖，在^力^。中，P、0分別是AC、/1C上的點，作PSA.AC,垂足分別是

R、S若AQ=PQ,PR=PS,下列結(jié)論：?AS=AR；?PQ//AR-,③其

中正確的是（）

A.①③B.??C.??D.???

04.如圖，△44C中，AB=AC,力。平分N44C,DEU8,垂足分別是瓜卜,

則下列四個結(jié)論中：①力。上任意一點到8、C的距離相等；②力。上任意一點到.48、

/C的距離相等；③力。_L4C且8。=。。；④N8QE=NC'QQ其中正確的是（）

A.②@B.②④C.???D.????

05.如圖，在氐△48C中，ZJC5=90°,NC45=30",N4C3的平分線與/川先?的外

角平分線交于七點，則N/E8的度數(shù)為（）

A.50°B.45°C.40°D.35°

06.如圖，尸是△/BC內(nèi)一點，PDL/iB于D,PELBC于E,PFLACF,且PD=PE=

PF,給出下列結(jié)論：?AD=AF；②4B+EC=AC+BE；?BC-\-CF=AB^AFx④點P

是△力4c三條角平分線的交點.其中正確的序號是?）

A.①②（爽）B.①②③C.①?④D.?@@

07.如圖，點尸是△44C兩個外角平分線的交點，則下列說法中不正確的是（）

4點P到△48C三邊的距離相等8.點尸在N48C的平分線上

C.N尸與N8的關(guān)系是：ZP+-Z^=90°D.NP與N8的關(guān)系是：NB='NP

08.如圖，BD平分N/1BC,CD平分NICE,BD與CD相交于D.給出下列結(jié)論：①點D

至1J力夙4C的距離相等；②NBAC=2ZBDC；?DA=DC,④。4平分N4力。.其中正

確的個數(shù)是（）

41個8.2個C3個O.4個

09.如圖，△力8C中,NC=90°/。是△/日?的角平分線，DEA.ABTE,下列結(jié)論中：

①力。平分NCOE；②NBAC=NBDE；③DE平分NADB；④/也=力。+8￡其中正確

的個數(shù)有（）

43個8.2個C.1個Q.4個

10.如圖，已知E。是。的內(nèi)角平分線，CQ是N4CA的外角平分線，由。出發(fā)，作點

。到8。、4c和4?的垂線QW、0N和0K,垂足分別為〃、N、K,則QM、QN、QK

的關(guān)系是_____

11.如圖，4。是N84。的平分線，DE1AB于E,DF1AC于F,且。8=OC求證：BE=

CF

12.如圖，在△IB。中，力。是N8力。的平分線，DE上4B于點E,。產(chǎn)_L4C于點F.求證:

ADLEF.

BDC

培優(yōu)升級?奧賽檢測

01.如圖，直線/1、機/3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條

公路的距離相等，則可選擇的地址有()

A.一處B.二處C.三處D.四處

02.已知處△力4C中，ZC=90°,4D平分NB4c交EC于。,若AC=32,且BD:CD=

9:7,則。到力8邊的距離為()

A.18B.16C.14D.12

03.如圖，△.48。中，NC=90°,.4。是。的平分線，有一個動點尸從/向8運動.

已知：DC=3cm,DB=4cm,力。=80〃.QP的長為工(c〃?)，那么x的范圍是

04.如圖，已知4B〃CD，PELAB,PFVBD,PGLCD,垂足分別為E、F、G,且P/=

PG=PE,則N8PO=

05.如圖，已如O為/CAB、的平分線的交點，OE±AC,H.O￡=2,則

兩平行線4LC。間的距離等于______

06.如圖，/。平分NA4C,EF1AD,垂足為P,E產(chǎn)的延長線于AC的延長線相交于點G.

求證：NG=；(N4CB-NB)

07.如圖，在△49C中,AB>AC,AD是NBAC的平分線,P為AC上任意一點.求證

>DB-DC

08.如圖，在△力^。中，/8力。=6()°,乙4c8=40°,P、0分別在8C、AC±,并且/P、

80分別為N84C、N/8C的角平分線上.求證：BQ+AQ=AB+BP

B

第3講軸對稱及軸對稱變換

考點-方法?破譯

1.軸對稱及其性質(zhì)

把一個圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形

關(guān)于這條直線成軸對稱，這條直線叫對稱軸.

軸對稱的兩個圖形有如下性質(zhì)：①關(guān)「某直線對稱的兩個圖形是全等形；②對稱軸是任

何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線：③兩個圖形關(guān)于莫條直線對稱，如果它們的對應(yīng)線段

或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

2.線段垂直平分線

線段垂直平分線也叫線段中垂線，它反映了與線段的兩種關(guān)系：①位置關(guān)系一一垂直；

②數(shù)量關(guān)系一一平分.

性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.

判定定理：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上.

3.當(dāng)已知條件中出現(xiàn)了等腰三角形、角平分線、高（或垂線）、或求幾條折線段的最小

值等情況時，通常考慮作軸對稱變換，以“補齊”圖形，集中條件.

經(jīng)典-考題-賞析

【例1】（蘭州）如圖所示，將一張正方形紙片對折兩次，然后在上面打3個洞，則紙

片展開后是（）

OOO

OOOOOOOOO

OOOOOO

OOOOOOOOO

B

【解法指導(dǎo)】對折問題即是軸對稱問題，折痕就是對稱軸.故選D

【變式題組】

01.將正方形紙片兩次對折，并剪出一個菱形小洞后鋪”得到的圖形是（）

02.（荊州）如圖，將矩形紙片力8。。沿虛線Eb折疊，使點/落在點G上，點。落在點〃

上；然后再沿虛線折疊，使8落在點E上，點C落在點尸上，疊完后，剪一個直

徑在8c上的半I員I,再展開，則展開后的圖形為（）

E(B)G(A)

【例2】（襄樊）如甌在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，將△48。向右平移兩個單位長度

得到△力'夕C,則與點夕關(guān)于x軸對稱的點的坐標(biāo)是（）

A.（0,-1）B.（1,1）C.（2,-1）D.（1,

-1）

【解法指導(dǎo)】在△48。中，點B的坐標(biāo)為（-1,1）,將4

ABC向右平移兩個單位長度得到'8由點的坐標(biāo)平移規(guī)律

可得夕（-1+2,1）,即夕（1,1）.由關(guān)于x軸對稱的點的

坐標(biāo)的規(guī)律可得點"關(guān)于x釉對稱的點的坐標(biāo)是（1，1）,故

應(yīng)選D.

【變式題組】

01.若點P（-2,3）與點。（〃，b）關(guān)于x軸對稱，則a、b的值分別是（）

A.-2,3B.2,3C.-2,一3D.2,一3

02.在直角坐標(biāo)系中，已知點P（—3,2）,點0是點尸關(guān)于x軸的對稱點，將點。向右平

移4個單位得到點R,則點H的坐標(biāo)是.

03.（荊州）已知點P（a+1,2〃-1）關(guān)于x軸的對稱點在第一象

限，則。的取值范圍為.

【例3】如圖，將一個直角三角形紙片（乙4cs=90°）,

沿線段CQ折疊，使點4落在8處，若//C8=70°,則N4CO

=（）

A.30°B.20°C.15°D.10°

【解法指導(dǎo)】由折疊知NACO=N8CD設(shè)N/CO=x,則N8C'Q=N8C'Q=/4。冏+

NACD=70。+x.又/ACD+/BCD=NACB,即x+（70°+x）=90°,故x=10°.故

選。.

【變式題組】

01.（東營）如圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點D、C分別落在點。'、C的位置.

若NEF8=65°,則乙4瓦）’等于（）

A.70°B.65°C.50°D.25°

02.如圖，△/8C中，乙4=30°,以8E為邊，將此三角形對折，其次，乂以比1為邊，

再一次對折，C點落在8E上，此時NCQ8=82°,則原三角形中N8=__________.

03.（江蘇）⑴觀察與發(fā)現(xiàn)：小明將三角形紙片.49。CAB>AC）沿過點.4的直線折疊，使

得力。落在邊上，折痕為/展平紙片（如圖①）；再次折登該三角形紙片，使點

力和點。重合，折痕為E凡展平紙片后得到（如圖②）.小明認為△/!￡1￡是等腰

三角形，你同意嗎？請說明理由.

⑵實踐與運用：

將矩形紙片/4CQ沿過點4的直線折疊，使點力落在4C邊上的點/處，折痕為BE

（如圖③）；再沿過點￡的直線折疊，使點。落在〃石上的點處，折痕為EG（如

圖④）；再展平紙片［如圖⑤）.求圖⑤中的大小.

【例4】如圖，在。中，力。為/84C的平分線，防是4。的垂直平分線，E為垂

足，EF交的延長線于點尸，求證：NB=NCAF.

【解法指導(dǎo)】:川是的中垂線，則可得△力所

且△￡）￡：￡???NE力b=NEQP.從而利用角平分線的定

義與三角形的外角轉(zhuǎn)化即可.

證明：?「以7是的中垂線，：.AE=DE,ZAEF

=/DEF,EF=EF,:.△AEF^XDEF,AZ2+Z4

=Z3,???N3=/8+/l,???N2+N4=N8+/1,;

Z1=Z2,；.NB=N4

【變式題組】

01.如圖，點。在△48C的灰?邊上，且4。=5。+力￡）,則點D在的垂直平分

線上.

02.如圖，△ABC中，N/18C=90°,ZC=15°,DEVACE,且4E=EC,若48=3。〃，

則DC=______cm.

03.如圖，ZX/IBC中，/8力。=126°,DE、/G分別為48、4c的垂直平分線，則N￡4G

04.中，AB=AC,邊的垂直平分線交力。于F,若/?=12cm,ABC/的周長為

20cm,則4力B。的底長是___________cm.

【例5】（眉山）如圖，在3X3的正方形格點圖中，有格點△力8c和4QE/，且△z/BC

和△。加?關(guān)于某直線成軸對稱，請在下面的備用圖中畫出所有這樣的△/）跖.

【解法指導(dǎo)】在正方形格點圖中，如果已知條件中沒有給對稱軸，在找對稱鈾時，通常

找圖案居中的水平直線、居中的豎直直線或者斜線作為對稱軸.若以圖案居中的水平直線為

對稱軸，所作的△/）￡/如圖①②③所示；若以圖案居中的豎直直線為對稱軸，所作的AOE產(chǎn)

【變式題組】

01.（泰州）如圖，在2X2的正方形格點圖中，有一個以格點為頂點的△44C,請你找

出格點圖中所有與△力8c成軸對稱且也以格點為頂點的三角形，這樣的三角形共有

個.

02.（紹興）如圖甲，正方形被劃分成16個全等的三角形，將其中若干個三角形涂黑,

且滿足下列條件：

A

⑴涂黑部分的面積是原正方形面積的一半；

⑵涂黑部分成軸對稱圖形.

如圖乙是一種涂法，請在圖1—3中分別設(shè)計另外三種涂法.（在

所設(shè)計的圖案中，若涂黑部分全等，則認為是同一種不問涂法，

【例6】如圖，牧童在4處放牛，其家在8處，若牧童從力處出發(fā)牽牛到河岸。處飲

水后回家，試問在何處飲水，所求路程最短？

【解法指導(dǎo)】⑴所求問題可轉(zhuǎn)化為CD上取一點使其AM

+8M為最小；⑵本題利用軸對稱知識進行解答.

解:先作點/關(guān)于直線。力的對稱點，，連接B交CD于

點則點M為所求，下面證明此時的4M+8M最小.

證明：在。。上任取與M不重合的點M',

??"/'關(guān)于CO對稱，???CO為線段A4'的中垂線，

：.AM=AfM,=力'AT,在△力'4中，有力'BV

A'M'+8",

???力'A/+ZM/V4'M'+8A/',+BM'，

Af

即力M+3M最小.

【變式題組】

01.（山西）設(shè)直線/是一條河，夕、。兩地相距8千米，A。兩地到/地距離分別為2千

米、5千米，欲在/上的某點M處修建一個水泵站向P、。兩地供水.現(xiàn)在如下四種鋪

設(shè)管道方案，圖中的實線表示輔設(shè)的管道，則鋪設(shè)的管道最短的是（）

02.若點力、B是銳角NMON內(nèi)兩點，請在OM、ON上確定點、C、點。，使四邊形力8CQ

周長最小，寫出你作圖的主要步驟并標(biāo)明你確定的點.

演練鞏固?反饋提高

01.（黃岡）如圖，△月8。與B'C關(guān)于直線/對稱，且N/=78°,NC'=48°,

則的度數(shù)是（）.

A.48°B.54°C.74°D.78°

第1題圖第礴圖

02.（泰州）如圖，把一張長方形紙片對折，折痕為月8,再以48的中點。為頂點把平角N

力。？三等分，沿平角的三等分線折疊，將折疊后的圖形剪出一個以。為頂點的等腰三

角形，那么剪出的等接三角形全部展開鋪平后得到的平面圖形一定是（）

A.正三角形B.正方形C