第十二章全等三角形

12.2三角形全等的判定

第1課時三邊證全等(SS5)

基礎過關全練

知識點1用〃邊邊邊(SS5)〃判定兩個三角形全等

1.如圖，在和△。￡尸中,/8=。￡/心。￡要利用〃SSS〃判定

匡△/9￡■￡則還需添加的條件為(M8112002)()

N.BF=CFB.BC=EF

C.CF=CED.N/二n。

2.【教材變式?P37T1］如圖，點4。氏￡在同一條直線上，且AABE,

已知/U=。斤:若/2=70＜：/660二則/。的度數為()

A.30°B.40°

C.50。D.60。

3.如圖,AB=ED,AC=CE,點U是8。的中點，若//=35。,則

z￡=:

4.圖①是一人字梁屋頂，圖②是抽象出來的人字梁三角形，現不用量角

器，只用一把刻度尺檢查人字梁三角形的N8和nU是否相等,請同學

們設計一種測量方案，并說明理由.

5.如圖，在“8U中分別為邊AC.BC上一點，連接

BDQE.已為AB-BE,AD=Z?￡（M8ii2oo2）

Q）求證平分n/8c

⑵若N/=55：求證:

4

I)

BC

知識點2用直尺和圓規作一個角等于已知角

6.用直尺和圓規作一個角等于已知角的示意圖如圖，可說明

△。9叫4。'。'。；進而得出//。'夕=//。8的依據是

()/4__clA()，/jA'

A.SSSB.SASC.ASAD.AAS

第2課時兩邊及夾角證全等(SAS)

基礎過關全練

知識點3用“邊角邊(S4S)”判定兩個三角形全等

7.(2023福建廈門實驗學校月考)如圖,/U與8。相交于點P,AP=DP,

若用〃SAS〃證明△/座則還需添加的條件是()

4.BA=CD

C.Z/4=zZ?OZAPB=LDPC

8.如圖，已知力。=/￡86"?/1=/2二100：/射￡=60：則NC4f的

度數為.

9.【教材變式-P39T2］如圖，點￡尸在8U

上,BE=CEAF=DE/AFB=4DEGAF與。回相交于點。請判斷N8、

NC的大小關系，并說明理由.(M8112002)

I)

10.【新獨家原創】在臺風來臨之前，園林管理人員用鋼管加固樹木

（如圖）,樹干固定點為P點，樹干戶。垂直于地面2日地面固定點4B

到樹干底部點O的距離相等，此時兩鋼管PA、PB的長度相等嗎?為

什么？

A0R

11.【一題多變】如圖，在△/8U和中,。/=

BE-8c求證:△。8星△/8C（M8ii2oo2）

［變式］如圖，在“8U和△。匿中，AC=DE/ACB=xDEB,BC=BE.若

EhBC于￡/8￡尸二60：求//8。的度數.

II

BC

第3課時兩角及一邊證全等（力以、AAS）

基礎過關全練

知識點4用〃角邊角（/%）〃判定兩個三角形全等

12.【新獨家原創】如圖，已知若用〃ASA〃證明

0還需添加的條件為()

KAD^BCB.AC=AD

C.乙ADC=^BCDD.AA=AADC

13.如圖，點氏C￡在同一條直線上=/反N/%/8二%則與BC

相等的線段是()

KACB./尸C.CFD.EF

14.（2021湖南衡陽中考）如圖，點4B、D、￡在同一條直線

^,AB=DE,AC\\DF,BC\\￡￡求證:A/g隹△。小（M8112002）

知識點5用“角角邊（/45r判定兩個三角形全等

15.（2019山東臨沂中考）如圖,。是AB上一點，。尸交ZU于點

E,DE=FE,FC\\AB,若/8=4,/3,則8。的長是(M8ii2002)()

A.0.5B.lC.1.5D.2

16.【一題多變】（2023貴州遵義八中月考）如圖,。是經過N8C4頂

點。的一條直線是直線。上兩點，且

zBEC=N81=90。求證:8七CF.

［變式］如圖，C。是經過ABCA頂點C的一條直

線/8C4=60］C4=尸是直線U。上兩點，且N8R7=N%=q當

a=時,上題中8￡=CF仍然成立,請說明理由.

B,

L)

17汝口圖，在中/0=90?金8c點U的坐標為(-2,0),點力

的坐標為(-6,3),求點8的坐標.

第4課時斜邊及一直角邊證全等(從)

基礎過關全練

知識點6用“斜邊、直角邊(9)〃判定兩個三角形全等

18.【教材變式-P42例5］如圖,/Cl8c垂足分別為GD,

要根據〃HL〃證明RM/8U與全等,則還需要添加一個條

件是()

4.4CAB=LDBAB.AB=BD

CBC=ADD.N/EGN必。

19.如圖，在RtM8C中，。為直角邊/U上一動點，某一時刻，過點。向

作垂線，垂足為點￡測得8仁8￡則此時下列等量關系一定成立的

KAD^CDB.AE=AD

UCD=AE力.乙ABD=4CBD

20.如圖，在△Z8C中/G90?是/C上一點,。￡±/8于點

E,BE=BC,連接BD,若/08cm,則AD+DE等于.（M8112002）

21.如圖，在△/8U中分別是8C/U邊上的高，已知AE=BD,若

/。氏60:則/08￡的度數為

22.【新獨家原創】圖1是一個陀螺，圖2是其軸剖面示意圖，已知

AB=BC/BAD=4BCD=90。,點。是用上一點，/￡1用于E,CF±EF

于￡/￡二/連接BD,求證二DE=DF.

圖1圖2

知識點7全等三角形判定方法的靈活應用

23.如圖，點E、F、C8在同一條直線上,力8二。￡//=/。添加下列

條件，不能判定△/比^DEF的是)

\BC=EFB.AC=DF

C.N氏。.乙ACB=4DFE

24.（2023山東德川期末）如圖/仄/￡/1=/2,請你添加一個條件:

（只填一個即可），使

25.【一題多解】【截長補短法】如圖，在“8U中,/8>/C點D在

8C上,/1=N2,0為/。上任意一點，連接BP、C求證-/GP8-

PC.

BI)C

26.如圖,。，/氏6KL/C垂足分別為D,E,BE與。相交于點。連

接OA.H4?=Z￡寫出圖中共有多少對全等三角形，并給出證

明.(M8112002)

27.如圖，已知點D、￡是4/80內兩點，且N8/斤NC4Z?/8=2C/。

=AE.

⑴求證:△/眄“第

(2)延長BD、CE交于點、。若/曲回86：//8。=20：求/8乙的度

數.

D

R

能力提升全練

28.（2021四川攀枝花中考,8,★☆詞如圖,一名工作人員不慎將一塊三

角形模具打碎成三塊，他要帶其中一塊或兩塊碎片到商店去配一塊與

原來一樣的三角形模具，他帶去最省事.

A.①B.②C.③D.①③

29.（2022四川成都中考,4,★★☆）如圖，在"8里和&DEF中，點

A.E.B.D在同一條直線上/。1。￡/0二。￡只添加一個條件,能判定

通尸的是

K.BC=DEB.AE二DB

G.KA=4DEFOZABC=LD

30.（2023山東濟南外國語學校期末,&★★☆）如圖，在&ABC

中，乙B=4C,BF=CDBD=CE/FDE=641則N力的度數是（）

BI)

A.42°B.52°C.62°D.51°

31.（2020湖南懷化中考，^，★☆涮如圖，在&ABC和&ADC

中=。CN8=130:則NO=^（M8ii2002）

D

R

32.（2023天津和平期末，4，★★☆妝口圖所示,8G是銳角的

高，相交于點。若/。=8￡/尸=7,6=2,貝|」8。的長為.

A

EC71

33.（2022陜西中考A卷,18,★☆卻如圖，在△/8U中，點。在邊BC

上（D=AB,DE\\AB.Z.DCE-/4求證:Z?￡=8c（M8112002）

34.（2022甘肅吆州中考改編,19,★★涮圖1是小軍制作的燕子風箏,

燕子風箏的骨架圖如圖2^IAB=AEIAC=ADIABAD=^EACIAC

=30:求N。的大小.（M8112002）

圖1圖2

35.(2022四川成都七中期中,19,★★☆)如圖,在平面直角坐標系中，點

力(2,0),點僅0,3)和點。0,2).

⑴請直接寫出08的長度:08=__________；

(2)若點。在x軸上，且點。的坐標為(-3,0),求證:供△8。

36.(2020江蘇鎮江中考,21,★★詞如圖/C是四邊形ABCD的對角

線/1=/氏點￡尸分別在48、BC上,BE=CD,BF=CA：蓮接EF.

⑴求證:

⑵若用II/CN仄781求/8/C的度數.

4____

21

BC

37.(2022湖南長沙中考，21大*菊如

/8/。08，/氏。，/。垂足分別為B,D.

⑴求證:隹"OC

⑵若/8=4,。=3,求四邊形/8。的面積.

38.(2022河南洛陽期末,20,★★☆)如圖，已知AB=DCAB\\CD,E、F

是/U上兩點，且2F二。;連接8￡DF.

⑴判斷“8￡與4。尸是否全等,并說明理由；

(2)連接4c若NC&?=80：N8C￡=25：求/UBE的度數.

39.(2022河南鄭州中學期中,20,★★詞如圖，在＞ABC和＞DBC

中是8c的中點,。￡1/8,垂足為點。且

/45=Z?￡(M8112002)

(1)求證:8。=8c

(2)若孫6cm，求/C的長.

40.(2023廣東廣州外國語學校期末,22,★★詞如圖，在＞ABC

中,N8=NC點。是邊8c上一點,。二/氏點F在邊上.(M8112002)

(1)若N/O6N氏求證:8仄CE;

(2)若8。=。￡/以仁70：求//。￡的度數.

B

DC

素養探究全練

41.【模型觀念】如圖①,/8=4cm.ACA.AB,BDYAB.AC=BD=3

cm點"在線段上以1cm/s的速度曰點力向點8運動，同時，點

Q在線段8。上由點8向點。運動.它們運動的時間為*s).

Q)若點Q的運動速度與點戶的運動速度相等，當t=l時,A/O與

△89Q是否全等?請說明理由，并判斷此時線段叱和線段PQ的位置

關系；

(2)如圖②，將題干中的〃夕改為“4CAB=4DBA

二60”,其他條件不變，設點Q的運動速度為xcm/s,是否存在實數%

使得與△8QQ全等?若存在，求出相應的X、1的值;若不存在，請

說明理由.

42.【幾何直觀】如圖,△/8U中回60%。、CE分別平分

ABAC,乙ACB,AD、&相交于點P.

(1)求N/PC的度數；

(2)若力￡=3,。?=4,求線段ZC的長.

答案全解全析

第1課時三邊證全等(SSS)

基礎過關全練

1.B在和AOE/7中二。￡/廠。￡

利用〃SSS〃判定“8隹△。比還需的條件是8GM故選B.

2.C?:AD=BE,:.AD+BD=BE+BD,：,AB=DE,

(AB=DE,

在△/8C和△。￡尸中,BC=EF,

[AC=DF,

.?"8合叼SSS),「.//始二/。。：

.?N/=70：/.ZC=180^70匕60。=50:故選C.

3.答案35

解析???點U是8。的中點,???8GOC

AB=EDt

在△/8U和△￡Z?U中,4C=EC,

BC=DC,

.?"8隹△￡Z?QSSS),

.??N￡=N/=35：故答案為35.

4.解析測量方案如下：

①分別在BA和CA上截取BE=CG.

②在6c上截取BD^CF,

③量出的長為d米,尸G的長為b米.

若8=6,則/8=/仁

(BE=CG,

理由:如圖，在△8。￡和4伙7中,卜。=CF,

DE=FG,

「.△8。&gSSS),「.N氏nC

5.證明Q),?/8=EB,AD=ED,BD=BD,

:"B性EB%SS)i：zABD^EBD,

.??8。平分NZ8c

(2).N/=55R8C=90：

.?"二90、/=90—55°二35：

二,△AB*EBD,

???n。眸N/=55。/ADB二乙EDB,

:?乙CDE=4DEB-4C=5S135。=201

.,.N/O8-(180-xQ80-20g80：

22

:.￡CDE=L乙ADB.

4

6.A由題意可知,。。=OC=O'D'=OCCD=CD；

(OC=O'C,

rr

在△8。和△U。。中,OD=ODf

fr

CD=CDf

.?.△。代4。。'。?55),故選A.

第2課時兩邊及夾角證全等(SAS)

基礎過關全練

7.B在AAPB和&DPC中,AP=DP/APB=々DPC,

當戶8二戶U時,可利用"SAS〃證明△/座△￡?”；

故選B.

8.答案40。

O

解析-.zl=z2=100,:.AADE=^AED=80°T

.\ADAE=180。-匕ADE-4AED=2b。,

?:AE=AD/AEB=iADC,BE=CD,

座△/￡?aSAS),「.NCAD=ABAE=60°,

..N——。心40:

9.解析/8二NC

理由:?.?8￡=0￡「.8￡+￡尸二6￡￡即BF=CE.

(AF=DE,

在△/8尸與△OCT中，乙4"Z?=乙DEC,

［BF=CEf

.?"8圍△。函SAS)/.N氏NC

10.解析PA=PB.

理由:在△PO4和△。。呂中，

P0=P0,

/-POA=乙POB=90°,

/0=B0,

:PO監PO兆2,：.PA=PB.

1L證明..2DBA二乙EBC,

:zDBA+4ABE=iEBC+4ABE,即4DBE二乙ABC.

(DB=AB,

在△。國和△/8C中，，/DBE=(ABC,

BE=BC,

...△。暇△/8QSAS).

［變式］解析在△。站和“80中，

DE=AC,

乙DEB=4△。略△Z^qSAS),

BE=BCt

:.乙DBE=4ABC,

;.4DBE-^ABE=4ABC-LABE,

即N/8Z?=NE8￡

?：EFLBC：,4BFE=9b。,

,.2BEF=6U。，:zEBF=9D。-4BEF=34

..zABD^tEBF=30°.

第3課時兩角及一邊證全等

(ASA、AAS)

基礎過關全練

12.C添加在心。和△80U中，

Z-ACD=Z.BDC,

CD=DC,

Z-ADC=乙BCD,

.,.△/CM8OqASA),故選C.

13.D.:乙ACE=乙B+乙BAC=4ACF+乙ECF,4B=iE=4ACF,

:zBAC=/ECF.

Z-B—乙E,

在△/8C和△0￡尸中,48=CEt

{Z.BAC=Z-ECF,

:AB6&CERMR,1.BC二EF.故詆D.

14.證明'：AC\\DF,:.乙CAB=KFDE,

?：BC\\EF,:.匕CBA=^FED,

(/.CAB=Z.FDE,

在和△。爐中,4B=DE,

UCBA=/.FED,

:.△AB02DERMR.

15.B，:CFZAB,:zA=cFCE/ADE;乙F,

(Z-A=Z-FCE,

在和任中，乙40E=Z-F,

(DE=FEf

.?.△/￡?&CFRJ訃S),:.AD;CF=3,

???/8=4,「.。8=/8-/1。=4-3=1.故選B.

16證明.,zBCA=匕BEC=tCFA=9b。,

:.ABCE+AACF=90:N/g/C4G90：

:.4BCE=4CAF,

ZCEB=Z.AFC,

在△8%和△口尸中,NBCE=/-CAF,

BC=CA,

:戶BCmC4&AAS),.,?密CF.

［變式］解析當a=120對仍然成立，

理由:,?/8a=/力1=120：

.?"亦+/8Gl80^120。=60*

?:4BCE+々ACF=乙BCA=60。；.4CBE=々ACF,

(/.BEC=^CFAf

在△8%和尸中,NCBE=^ACF,

BC=CA,

「.△H@CAR40,：,BE=CF.

17.解析過力作/Z?，x軸于，過8作6￡lx軸于￡

:.AACD+^CAD=90°,

?.?N/3907.N/CO+N8￡90*

:?乙CAD^乙BCE,

^ADC=乙CEB=90°,

在△/℃和△CF8中,4G4D=乙BCE,

AC=CB,

「.△/。蓋CE處2,1.DC=BE,AD=CE,

???點U的坐標為(-2Q),點A的坐標為(-6,3),

：.OC=2,AD=CE=3tOD=6,

:.CD=OD-OC=6-2=4IOE=CE-OC=3-2=1I

.??止4〃??點8的坐標是(1,4).

第4課時斜邊及一直角邊證全等(HL)

基礎過關全練

18.C從題圖中可知AB為和的斜邊，也是公共邊,

則根據〃HL〃證明Rf/8匡還需補充一對直角邊相等，即

BC=AD或20=8。故選C.

19.D在和Rf8￡Z?中=

IBC=BE,

「.RbSSRt△煙HL),

：,4CBA匕EBD,故送D.

20.答案8cm

解析?zG90M￡1/氏

.?.NGN8￡Z>90：

在Rf8C。和中，1夕=年

IBC=BE,

「.Rb83RbBE么HU,；.CD=DE,

:.AD+DE=AD+DC=AC=8cm,故答案為8cm.

21.答案30。

解析?.乂。8￡分別是8C/C邊上的高，

:.BEA.AC,ADA.8c

在Rt△/用和中

VAE—BD,

.?.Rf/E厭RN8D4HL),

,zDBA=tEAB=60*

o

\^AEB=90,:^ABE=30°l

/.zCBE=^ABD-^ABE=60-30°=30：

故答案為30：

22.證明在Rf/6。和RfC8O中尼七熱

1/10=Co,

.?.Rt△/眄RbC8aH1"),「./。二6

???AElEF于E,CF1EF于￡..N￡=NG90：

在Rf/Z?舊和RfC。尸中,

vAE—CF,

任RfUOHHL)..■.￡?￡?二

23.AA項，添加8金￡尸不能判定"8星△。配故本選項符合題意;B

項，添加/。=。尸可用SAS進行判定，故本選項不符合題意;C項，添加

/8=N￡可用ASA進行判定，故本選項不符合題意;D項，添加

N/CB=NO/T可用AAS進行判定,故木選項不符合題意.故選A.

24.答案/8=的或N/。氏"或N8=NQ

解析?./1=/2,

.?.N1+N。仄N2+N。。即N8/ANC4￡

在與中/仄/￡N8/。=NC4￡若添加Z8=/C根據

SAS可以判定△/曬△/%

若添加N/O8=N￡根據ASA可以判定

若添加N8=NC根據AAS可以判定△/蜂△/仁

任選一個即可.

25證明證法一:（截長法）如圖，在28上截取力￡使/號/C連接PE,

“DC

AE=AC,

在△40和A/I。中，乙1=乙2,

AP=AP,

.?.△/■△/6SAS）,.?."￡?=PC,

在八PBE禮BE>PB?PE廊AB-AC>PB-PC.

證法二:（補短法）如圖，延長/U至ij￡使/￡=/日連接PE,

AE=AB,

在戶和戶中，乙2=△L

AP=AP,

在中,UQP6PC即AB-AC>PB-PC.

26.解析題圖中共有4對全等三角形，分別是

&AD色&AEOQBD色△CEORAB匡>ACDRABC^ACO.

證明:,?,O_L/￡8￡1/C

:.々ADO=匕BDO=乙AEO=LCEO^9U0.

在Rf/OO和Rf/EO中,

iAD=AE,

.,.Rt△力。6Rt=￡aHL）,，。。二￡O.

（Z,BDO=乙CEO,

在△^。。和4。7。中,D。=EO,

LLBOD=乙COE,

:ABD8~CEQASR,：,匕B=々C,BO^CO.

ZB=乙C,

在△/8￡和4/0。中,NB4E=Z.CAD,

AE=ADf

.?.△/8星△/SAAS）,「./8=/C

（AO=AO,

在△/GO和中，4Z?=ACACCESS）.

BO=CO,

??.題圖中共有4對全等三角形.

27.解析⑴證明:?.■N8/￡=N。。

.?.n8/Gn。心NC42N皿即N84?=NC4￡

（AB=AC,

在△48。和△/1&中，卜84。=Z.CAE,

{AD=AE,

.,.△/8會△/函SAS）.

（2）^AB^ACEr^ACE=^ABD=20°,

???/8/G86：

，NFBC+NFCB=18U-860-20°-20°=54。,

...N8￡180—540=1262

能力提升全練

28.C由題圖可知，③有完整的兩角與夾邊，根據〃角邊角〃可以作出

與原三角形全等的三角形,所以最省事的做法是帶③去.故選C.

29.B當添力口AE=DB時，即可得出

/8=。￡.1。二。￡?.可根據〃SAS〃判定A/S星△。氏而添加選項中

的其他條件不能判定心△。生故選B.

（BF=CD,

30.B在尸和中,=乙C,

BD=CE,

.?.△8。居△CE*AS）,.,.N收二

?.2FDE+乙EDC=/B+IBFD,

:ZB=iFDE=6A。,

.?.NU=N8=641

.-.z/l=180^zF-zC=180-64/64。=52。,

故選B.

31.答案130

AD=ABf

解析在△/OU和中,4C=AC,

DC=BCf

匡△48aSSS）,「.NP=N^

???/氏1307.NP=130：故答案為130.

32.答案3

解析?:BC是銳角尸的高，

;zBCF=zACD=zAEFWD。,

:zF+/CAA/F+乙CBF=90。,

乙CBF=LCAD,

ZBCF=^ACDf

在△SY和△/U。中,/CBF=ACAD,

BF=AD,

.?.△86"RAAS),

：.CD=CF=2,BC=AC^AF-CF=5,

:.BD=BC-CD=5-2=3.

33.證明,:DE\\AB「..NEDC=4B.

乙EDC—Z-B,

在△0/?￡和△/8U中,C。=AB,

{Z-DCE=Z-A,

.?.△CD&ABC^N,:.DE=BC.

34.解析..zBAD^cEAC,

.?.N84?+N。。=即=N￡4A

(AB=AE,

在△射C與A。。中,N84C=^EAD,

{AC=AD,

...△8/通△E4RSAS),

.,.N。=NU=30：

35.解析(D.?點用0,3),「.08=3,故答案為3.

(2)證明:,??點42,0),點伙0,3),點。0,2),點。(-3,0),

:.OC=OA=2IOB=OD=3I

(0A=0C,

在△/。8和4。。中，乙4。3=乙COD=90。，

OB=ODf

iAO陋8型陸).

36.解析(1)證明:在△8￡77和△0￡?/中，

BE=CD,

乙B=A,:.△BE匹、CD然2,:.乙加八.

BF=CA,

(2)-.zP=z2,zZ7=787./2=78：

'：EF\\ACr^BAC=^2=78°.

37.解析（1）證明:平分

:./LBAC-Z.DAC,

'：CB±ABICD±ADI:.AB=AD=90°I

Z-B—Z,D,

在和△/OC中,=^DACf

AC=AC,

仁△/WXAS）.

（2）由Q）知△28星“OC

.,.BC=CD=35ABLSMDG

???￡/8C—/8?8C=ZX4X3=6,「.￡/OL6,

22

「?S四邊形ABCD-Sz8C+S"DC=12.

38.解析（1）△/略△4?￡理由如下：

\'AB\\CD,:.乙A二乙DCF,

-：AF=CEr'.AF-EF=CE-EF^iAE=CF,

（AB=DC,

在和△乙?尸中，乙4=乙DCF,

\AE=CF,

nABmCD咫AS）.

⑵由⑴知△/略△CO￡,.N/￡8=NS?,

?「NE?=80：,.N/眸80：

.../8&7=180匕80°二1001

:.ACBE=180