陜西省重點中學2025年數學高二下期末聯考模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個不同的正整數解，則實數m的取值范圍（）A． B．C． D．2．若函數滿足：對任意的，都有，則函數可能是A． B． C． D．3．已知函數滿足，函數.若函數與的圖象共有個交點，記作，則的值為A． B． C． D．4．是雙曲線的右焦點，過點向的一條漸近線引垂線，垂足為，交另一條漸近線于點，若，則的離心率是（）A． B． C． D．5．若,則()A． B． C． D．6．展開式中不含項的系數的和為A． B． C． D．27．設函數，若的值域為，則實數的取值范圍是()A． B．C． D．8．定義在上的偶函數的導函數為,若對任意的正實數,都有恒成立,則使成立的實數的取值范圍為(

)A． B． C． D．9．一牧場有10頭牛，因誤食含有病毒的飼料而被感染，已知該病的發病率為0.02.設發病的牛的頭數為ξ，則Dξ等于A．0.2B．0.8C．0.196D．0.80410．已知函數f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數a的取值范圍是()A．(－∞，0) B． C．(0,1) D．(0，＋∞)11．已知空間三條直線若與異面,且與異面,則（）A．與異面. B．與相交.C．與平行. D．與異面、相交、平行均有可能.12．執行如圖所示的程序框圖，若輸出的，則輸入的（）A．-4 B．-7 C．-22 D．-32二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中的常數項為__________．14．棱長為的正四面體的高為__________.15．為計算，設計了下面的程序框圖，則在空白框中應填入______.16．曲線在點處的切線方程為___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）隨著社會的進步與發展，中國的網民數量急劇增加.下表是中國從年網民人數及互聯網普及率、手機網民人數（單位：億）及手機網民普及率的相關數據.年份網民人數互聯網普及率手機網民人數手機網民普及率2009201020112012201320142015201620172018（互聯網普及率（網民人數/人口總數）×100%；手機網民普及率（手機網民人數/人口總數）×100%）（Ⅰ）從這十年中隨機選取一年，求該年手機網民人數占網民總人數比值超過80%的概率；（Ⅱ）分別從網民人數超過6億的年份中任選兩年，記為手機網民普及率超過50%的年數，求的分布列及數學期望；（Ⅲ）若記年中國網民人數的方差為，手機網民人數的方差為，試判斷與的大小關系.（只需寫出結論）18．（12分）已知矩陣對應的變換將點變換成．（1）求矩陣的逆矩陣；（2）求矩陣的特征向量．19．（12分）袋中有形狀和大小完全相同的四種不同顏色的小球，每種顏色的小球各有1個，分別編號為1，2，3，1．現從袋中隨機取兩個球．（Ⅰ）若兩個球顏色不同，求不同取法的種數；（Ⅱ）在（1）的條件下，記兩球編號的差的絕對值為隨機變量X，求隨機變量X的概率分布與數學期望．20．（12分）已知函數(1)若不等式的解集為，求實數的值；(2)若不等式對一切實數恒成立，求實數的取值范圍.21．（12分）已知一家公司生產某種品牌服裝的年固定成本為萬元，每生產千件需另投入萬元．設該公司一年內共生產該品牌服裝千件并全部銷售完，每千件的銷售收入為萬元，且.（1）寫出年利潤（萬元）關于年產量（千件）的函數解析式；（2）年產量為多少千件時，該公司在這一品牌服裝的生產中所獲得利潤最大？（注：年利潤=年銷售收入-年總成本）22．（10分）已知，（1）求的值;（2）若且，求的值;（3）求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

令，化簡得，構造函數，畫出兩個函數圖像，結合兩個函數圖像以及不等式解的情況列不等式組，解不等式組求得的的取值范圍.【詳解】有兩個正整數解即有兩個不同的正整數解，令，，故函數在區間和上遞減，在上遞增，畫出圖像如下圖所示，要使恰有兩個不同的正整數解等價于解得故，選C.本小題主要考查不等式解集問題，考查數形結合的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.2、A【解析】

由判斷；由判斷；由判斷判斷；由判斷.【詳解】對于，，對．對于，，不對．對于，，不對．對于，，不對，故選A．本題考查了函數的解析式的性質以及指數的運算、對數的運算、兩角和的正弦公式，意在考查對基本運算與基本公式的掌握與應用，以及綜合應用所學知識解答問題的能，屬于基礎題．3、A【解析】分析：根據題意求解，的對稱中心點坐標的關系，即兩個圖象的交點的關系，即可解得答案詳解：函數滿足，即函數關于點對稱函數即函數關于點對稱函數與的圖象共有個交點即在兩邊各有個交點，則共有組，故，故選點睛：本題結合函數的對稱性考查了函數交點問題，在解答此類題目時先通過化簡求得函數的對稱中心，再由交點個數結合圖像左右各一半，然后求和，本題有一定難度，解題方法需要掌握。4、A【解析】試題分析：由題意得，因此，選A.考點：雙曲線離心率【名師點睛】求雙曲線的離心率（取值范圍）的策略求雙曲線離心率是一個熱點問題．若求離心率的值，需根據條件轉化為關于a，b，c的方程求解，若求離心率的取值范圍，需轉化為關于a，b，c的不等式求解，正確把握c2＝a2＋b2的應用及e＞1是求解的關鍵．5、D【解析】

由于兩個對數值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對數換底公式，將不等式等價變形為以10為底的對數不等式，利用對數函數的單調性比較m、n的大小即可【詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴lgn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選D．本題考查了對數函數的圖象和性質，對數的運算法則及其換底公式的應用，利用圖象和性質比較大小的方法6、B【解析】試題分析：由二項式定理知，展開式中最后一項含，其系數為1，令=1得，此二項展開式的各項系數和為=1，故不含項的系數和為1-1=0，故選B.考點：二項展開式各項系數和；二項展開式的通項7、B【解析】很明顯，且應滿足當時，類指數函數的函數值不大于一次函數的函數值，即，解得：，即實數的取值范圍是.本題選擇B選項.點睛：(1)問題中參數值影響變形時，往往要分類討論，需有明確的標準、全面的考慮；(2)求解過程中，求出的參數的值或范圍并不一定符合題意，因此要檢驗結果是否符合要求．8、A【解析】

分析：構造新函數，利用導數確定它的單調性，從而可得題中不等式的解．詳解：設，則，由已知當時，，∴在上是減函數，又∵是偶函數，∴也是偶函數，，不等式即為，即，∴，∴，即．故選A．點睛：本題考查用導數研究函數的單調性，然后解函數不等式．解題關鍵是構造新函數．新函數的結構可結合已知導數的不等式和待解的不等式的形式構造．如，，，等等．9、C【解析】試題分析：由題意可知發病的牛的頭數為ξ~B(10,0.02)，所以D(ξ)=10×0.02×(1-0.02)=0.196；故選C．考點：二項分布的期望與方差．10、B【解析】函數f（x）=x（lnx﹣ax），則f′（x）=lnx﹣ax+x（﹣a）=lnx﹣2ax+1，令f′（x）=lnx﹣2ax+1=0得lnx=2ax﹣1，函數f（x）=x（lnx﹣ax）有兩個極值點，等價于f′（x）=lnx﹣2ax+1有兩個零點，等價于函數y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點，在同一個坐標系中作出它們的圖象（如圖）當a=時，直線y=2ax﹣1與y=lnx的圖象相切，由圖可知，當0＜a＜時，y=lnx與y=2ax﹣1的圖象有兩個交點．則實數a的取值范圍是（0，）．故選B．11、D【解析】解：∵空間三條直線l、m、n．若l與m異面，且l與n異面，∵m與n可能異面（如圖3），也可能平行（圖1），也可能相交（圖2），故選D．12、A【解析】

模擬執行程序，依次寫出每次循環得到的S，i的值，當i＝6時不滿足條件i＜6，退出循環，輸出S的值為S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，從而解得S的值．【詳解】解：由題意，模擬執行程序，可得i＝2，滿足條件i＜6，滿足條件i是偶數，S＝S+1，i＝3滿足條件i＜6，不滿足條件i是偶數，S＝S+1﹣9，i＝1滿足條件i＜6，滿足條件i是偶數，S＝S+1﹣9+16，i＝5滿足條件i＜6，不滿足條件i是偶數，S＝S+1﹣9+16﹣25，i＝6不滿足條件i＜6，退出循環，輸出S的值為S+1﹣9+16﹣25＝﹣18，故解得：S＝﹣1．故選A．點睛：本題主要考查了循環結構的程序框圖，模擬執行程序，正確得到循環結束時S的表達式是解題的關鍵，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、24【解析】分析：由題意，求得二項式的展開式的通項為，即可求解答案.詳解：由題意，二項式的展開式的通項為，令，則.點睛：本題主要考查了二項式定理的應用，其中熟記二項展開式的通項公式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力.14、【解析】

利用正弦定理計算出正四面體底面三角形的外接圓半徑，再利用公式可得出正四面體的高.【詳解】設正四面體底面三角形的外接圓的半徑為，由正弦定理得，，因此，正四面體的高為，故答案為.本題考查正四面體高的計算，解題時要充分分析幾何體的結構，結合勾股定理進行計算，考查空間想象能力，屬于中等題.15、【解析】

根據框圖作用分析即可求得空白處應該填入的語句.【詳解】由程序框圖的輸出值，結合本框圖的作用是計算，考慮，，所以空白處應該填入.故答案為：此題考查程序框圖的識別，根據已知程序框圖需要輸出的值填補框圖，關鍵在于弄清框圖的作用，準確分析得解.16、【解析】

求得的導數，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得所求切線方程．【詳解】解：的導數為，所以，即曲線在處的切線的斜率為1，即切點為，則切線方程為，即故答案為：．本題考查導數的運用：求切線方程，考查直線方程的運用，以及方程思想和運算能力，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列見解析，；（Ⅲ）【解析】

（Ⅰ）由表格得出手機網民人數占網民總人數比值超過的年份，由概率公式計算即可；（Ⅱ）由表格得出的可能取值，求出對應的概率，列出分布列，計算數學期望即可；（Ⅲ）觀察兩組數據，可以發現網民人數集中在之間的人數多于手機網民人數，則網民人數比較集中，而手機網民人數較為分散，由此可得出.【詳解】解：（Ⅰ）設事件：“從這十年中隨機選取一年，該年手機網民人數占網民總人數比值超過”.由題意可知：該年手機網民人數占網民總人數比值超過80%的年份為，共6個則.（Ⅱ）網民人數超過6億的年份有共六年，其中手機網民普及率超過的年份有這年.所以的取值為.所以，，.隨機變量的分布列為.（Ⅲ）.本題主要考查了計算古典概型的概率，離散型隨機變量的分布列，數學期望等，屬于中檔題.18、（1）；（2）和.【解析】

（1）由題中點的變換得到，列方程組解出、的值，再利用逆矩陣變換求出；（2）求出矩陣的特征多項式，解出特征根，即可得出特征值和相應的特征向量.【詳解】（1）由題意得，即，解得，，由于矩陣的逆矩陣為，因此，矩陣的逆矩陣為；（2）矩陣的特征多項式為，解特征方程，得或.①當時，由，得，即，可取，則，即屬于的一個特征向量為；②當時，由，得，即，可取，則，即屬于的一個特征向量為.綜上，矩陣的特征向量為和.本題考查矩陣的變換和逆矩陣的求法，考查矩陣的特征值和特征向量的求法，考查方程思想與運算能力，屬于中等題.19、（1）96（2）見解析【解析】

（1）兩個球顏色不同的情況共有12＝96(種).（2）隨機變量X所有可能的值為0，1，2，2．P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝2)＝所以隨機變量X的概率分布列為：X0122P所以E(X)＝0＋1＋2＋2＝．點睛：求解離散型隨機變量的數學期望的一般步驟為：第一步是“判斷取值”，即判斷隨機變量的所有可能取值，以及取每個值所表示的意義；第二步是“探求概率”，即利用排列組合、枚舉法、概率公式(常見的有古典概型公式、幾何概型公式、互斥事件的概率和公式、獨立事件的概率積公式，以及對立事件的概率公式等)，求出隨機變量取每個值時的概率；第三步是“寫分布列”，即按規范形式寫出分布列，并注意用分布列的性質檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確；第四步是“求期望值”，一般利用離散型隨機變量的數學期望的定義求期望的值，對于有些實際問題中的隨機變量，如果能夠斷定它服從某常見的典型分布(如二項分布)，則此隨機變量的期望可直接利用這種典型分布的期望公式()求得.因此，應熟記常見的典型分布的期望公式，可加快解題速度.20、（1）.(2).【解析】分析：（1）根據二次不等式的解集與二次方程的根的關系可得參數；（2）這個不等式恒成立，首先討論時，能不能恒成立，其次在時，這是二次不等式，結合二次函數的性質可求解．詳解：（1）的解集為，則的解為和2，且，∴，解得．（2）由，得，若a=0，不等式不對一切實數x恒成立，舍去，若a≠0，由題意得，解得：，故a的范圍是：點睛：三個二次（一元二次方程、一