甘肅省康縣第一中學2024-2025學年數學高二第二學期期末學業質量監測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若直線是曲線的切線，則（）A． B．1 C．2 D．2．如圖，在正方體的八個頂點中任取兩個點作直線，與直線異面且夾角成的直線的條數為（）．A． B． C． D．3．函數的部分圖象大致為（）A． B．C． D．4．若，則（）A．2 B．4 C． D．85．若，且m，n，，則（）A． B． C． D．6．已知隨機變量服從二項分布，則（）．A． B． C． D．7．若樣本數據的均值與方差分別為和，則數據的均值與方差分別為（）A．， B． C． D．8．已知離散型隨機變量服從二項分布，且，則（）A． B． C． D．9．函數的圖象如圖所示，下列數值排序正確的是（）A．B．C．D．10．某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監考，則不同的安排方案有（）A．4455 B．495 C．4950 D．742511．已知m∈R，若函數f(x)=1x+1-mx-m-3(-1<x?0)A．-94,-2 B．（-912．定義在上的函數，當時，，則函數（）的所有零點之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數的單調遞增區間為__________．14．已知函數，則關于x的不等式的解集是_______.15．已知a=log0.35,?b=2316．雙曲線的焦點是，若雙曲線上存在點，使是有一個內角為的等腰三角形，則的離心率是______；三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）對一批產品的內徑進行抽查，已知被抽查的產品的數量為200，所得內徑大小統計如表所示：（Ⅰ）以頻率估計概率，若從所有的這批產品中隨機抽取3個，記內徑在的產品個數為X，X的分布列及數學期望；（Ⅱ）已知被抽查的產品是由甲、乙兩類機器生產，根據如下表所示的相關統計數據，是否有的把握認為生產產品的機器種類與產品的內徑大小具有相關性．參考公式：，（其中為樣本容量）．0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．（12分）已知拋物線C：=2px（p>0）的準線方程為x=-,F為拋物線的焦點（I）求拋物線C的方程；（II）若P是拋物線C上一點，點A的坐標為（,2）,求的最小值；（III）若過點F且斜率為1的直線與拋物線C交于M，N兩點，求線段MN的中點坐標．19．（12分）為了鞏固全國文明城市創建成果，今年吉安市開展了拆除違章搭建鐵皮棚專項整治行為.為了了解市民對此項工作的“支持”與“反對”態度，隨機從存在違章搭建的戶主中抽取了男性、女性共名進行調查，調查結果如下：支持反對合計男性女性合計（1）根據以上數據，判斷是否有的把握認為對此項工作的“支持”與“反對”態度與“性別”有關；（2）現從參與調查的女戶主中按此項工作的“支持”與“反對”態度用分層抽樣的方法抽取人，從抽取的人中再隨機地抽取人贈送小禮品，記這人中持“支持”態度的有人，求的分布列與數學期望.參考公式：，其中.參考數據：20．（12分）隨著互聯網金融的不斷發展，很多互聯網公司推出余額增值服務產品和活期資金管理服務產品，如螞蟻金服旗下的“余額寶”，騰訊旗下的“財富通”，京東旗下“京東小金庫”.為了調查廣大市民理財產品的選擇情況，隨機抽取1200名使用理財產品的市民，按照使用理財產品的情況統計得到如下頻數分布表：分組頻數（單位：名）使用“余額寶”使用“財富通”使用“京東小金庫”30使用其他理財產品50合計1200已知這1200名市民中，使用“余額寶”的人比使用“財富通”的人多160名.（1）求頻數分布表中，的值；（2）已知2018年“余額寶”的平均年化收益率為，“財富通”的平均年化收益率為.若在1200名使用理財產品的市民中，從使用“余額寶”和使用“財富通”的市民中按分組用分層抽樣方法共抽取7人，然后從這7人中隨機選取2人，假設這2人中每個人理財的資金有10000元，這2名市民2018年理財的利息總和為，求的分布列及數學期望.注：平均年化收益率，也就是我們所熟知的利息，理財產品“平均年化收益率為”即將100元錢存入某理財產品，一年可以獲得3元利息.21．（12分）（1）已知，是虛數單位，若，是純虛數，寫出一個以為其中一根的實系數一元二次方程；（2）求純虛數的平方根．22．（10分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，四邊形ABCD是菱形，∠BCD＝110°，PA⊥底面ABCD，PA＝4，AB＝1．（I）求證：平面PBD⊥平面PAC；（Ⅱ）過AC的平面交PD于點M若平面AMC把四面體P﹣ACD分成體積相等的兩部分，求二面角A﹣MC﹣P的余弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

設切點坐標，求導數，寫出切線斜率，由切線過點，求出切點坐標，得切線斜率．【詳解】直線過定點，設，切點為，，，∴切線方程為，又切點過點，∴，解得．∴．故選：C.本題考查導數的幾何意義，在未知切點時，一般先設切點坐標，由導數得出切線方程，再結合已知條件求出切點坐標，得切線方程．2、B【解析】

結合圖形，利用異面直線所成的角的概念，把與A1B成60°角的異面直線一一列出，即得答案．【詳解】在正方體ABCD﹣A1B1C1D1的八個頂點中任取兩個點作直線，與直線A1B異面且夾角成60°的直線有：AD1，AC，D1B1，B1C，共4條．故選B．本題考查異面直線的定義及判斷方法，異面直線成的角的定義，體現了數形結合的數學思想，是基礎題．3、A【解析】

判斷函數的奇偶性，排除B，確定時函數值的正負，排除C，再由時函數值的變化趨勢排除D．從而得正確結論．【詳解】因為是偶函數，排除B，當時，，，排除C，當時，排除D.故選：A.本題考查由解析式選圖象，可能通過研究函數的性質，如奇偶性、單調性、對稱性等排除一些選項，通過特殊的函數值、特殊點如與坐標軸的交點，函數值的正負等排除一些，再可通過函數值的變化趨勢又排除一些，最多排除三次，剩下的最后一個選項就是正確選項．4、D【解析】

通過導數的定義，即得答案.【詳解】根據題意得，，故答案為D.本題主要考查導數的定義，難度不大.5、D【解析】

根據已知條件，運用組合數的階乘可得：，再由二項式系數的性質，可得所要求的和.【詳解】則故選：D本題考查了組合數的計算以及二項式系數的性質，屬于一般題.6、D【解析】表示做了次獨立實驗，每次試驗成功概率為，則．選．7、D【解析】

直接根據均值和方差的定義求解即可．【詳解】解：由題意有，，則，∴新數據的方差是，故選：D．本題主要考查均值和方差的求法，屬于基礎題．8、D【解析】

利用二項分布期望公式求出，再由方差公式可計算出答案。【詳解】由于離散型隨機變量服從二項分布，則，所以，，因此，，故選：D。本題考查二項分布期望與方差公式的應用，靈活運用二項分布的期望和方差公式是解本題的關鍵，意在考查學生對這些知識的理解和掌握情況，屬于中等題。9、B【解析】

根據已知條件可以把轉化為即為函數在為和對應兩點連線的斜率，且，是分別為時對應圖像上點的切線斜率，再結合圖像即可得到答案.【詳解】，是分別為時對應圖像上點的切線斜率，，為圖像上為和對應兩點連線的斜率，（如圖）由圖可知，故選：B本題考查了導數的幾何意義以及斜率公式，比較斜率大小，屬于較易題.10、A【解析】

根據題意，分兩步進行：先確定8個是自己的班主任老師監考的班級，然后分析剩余的4個班級的監考方案，計算可得其情況數目，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】某中學高二共有12個年級，考試時安排12個班主任監考，每班1人，要求有且只有8個班級是自己的班主任監考，首先確定8個是自己的班主任老師監考的班級，有種，而剩余的4個班級全部不能有本班的班主任監考，有種；由分步計數原理可得，共種不同的方案；故選：A.本題解題關鍵是掌握分步計數原理和組合數計算公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.11、B【解析】

通過參變分離、換元法，把函數f(x)的零點個數轉化成直線y=m與拋物線的交點個數.【詳解】∵-1<x≤0,∴0<x+1≤1，∵函數f(x)在-1<x≤0有兩個不同零點?方程m=(1x+1)2∴m=t2-3t在t≥1有且僅有兩個不同的根?y=m∴-通過換元把復雜的分式函數轉化為熟知的二次函數，但要注意換元后新元的取值范圍.12、D【解析】分析：首先根據得到函數關于對稱，再根據對稱性畫出函數在區間上的圖像，再根據函數與函數圖像的交點來求得函數的零點的和.詳解：因為故函數關于對稱，令，即，畫出函數與函數圖像如下圖所示，由于可知，兩個函數圖像都關于對稱，兩個函數圖像一共有個交點，對稱的兩個交點的橫坐標的和為，故函數的個零點的和為.故選D.點睛：本小題主要考查函數的對稱性，考查函數的零點的轉化方法，考查數形結合的數學思想方法.解決函數的零點問題有兩個方法，一個是利用零點的存在性定理，即二分法來解決，這種方法用在判斷零點所在的區間很方便.二個是令函數等于零，變為兩個函數，利用兩個函數圖像的交點來得到函數的零點.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求得函數的定義域，然后根據復合函數同增異減求得函數的單調遞增區間.【詳解】由解得或，由于在其定義域上遞減，而在時遞減，故的單調遞增區間為.本小題主要考查復合函數單調區間的求法，考查對數函數定義域的求法，屬于基礎題.14、【解析】

求出是奇函數，且在定義域上是單減函數，變形再利用單調性解不等式可得解.【詳解】，是奇函數，又是上的減函數，是上的增函數，由函數單調性質得是上的減函數.,則，由奇函數得且是上的減函數.，，又不等式的解集是故答案為：本題考查利用函數奇偶性和單調性解指對數方程或不等式.有關指對數方程或不等式的求解思路：利用指對數函數的單調性，要特別注意底數的取值范圍，并在必要時進行分類討論．15、a<c<b【解析】

將a,b,c分別判斷與0,1的大小關系得到答案.【詳解】a=b=0<c=故答案為a<c<b本題考查了數值的大小比較，0，1分界是一個常用的方法.16、【解析】

根據雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的腰應該為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，故可得到的值，再根據等腰三角形的內角為，求出的值，利用雙曲線的定義可得雙曲線的離心率.【詳解】解：根據雙曲線的對稱性可知，等腰三角形的兩個腰應為與或與，不妨設等腰三角形的腰為與，且點在第一象限，故，等腰有一內角為，即，由余弦定理可得，，由雙曲線的定義可得，，即，解得：.本題考查了雙曲線的定義、性質等知識，解題的關鍵是要能準確判斷出等腰三角形的腰所在的位置.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）分布列見解析，；（Ⅱ）沒有.【解析】

（Ⅰ）由頻率分布表可知，任取1件產品，內徑在[26，28)的概率，所以，根據二項分布的計算公式分別求出時的概率，列出分布列，再根據期望公式求出期望；（Ⅱ）首先依題意填寫列聯表，再求得的觀測值，結合臨界值表即可得出結論。【詳解】(I)任取1件產品，內徑在[26，28)的概率，故，，＝，＝，＝，故X的分布列為：X0123P故；（II）依題意，所得列聯表如下所示內徑小于28mm內徑不小于28mm總計甲機器生產6832100乙機器生產6040100總計12872200的觀測值為，故沒有99%的把握認為生產產品的機器種類與產品的內徑大小具有相關性。本題主要考查離散型隨機變量的分布列與期望的求法，獨立性檢驗的基本思想及其應用。18、（Ⅰ）（II）4（III）線段MN中點的坐標為（）【解析】

（I）由準線方程求得，可得拋物線標準方程．（II）把轉化為到準線的距離，可得三點共線時得所求最小值．（III）寫出直線方程，代入拋物線方程后用韋達定理可得中點坐標．【詳解】（I）∵準線方程x=-,得=1，∴拋物線C的方程為（II）過點P作準線的垂線，垂直為B，則=要使+的最小，則P，A，B三點共線此時+=+=4·（III）直線MN的方程為y=x-·設M（），N（），把y=x-代入拋物線方程,得-3x+=0∵△=9-4×1×＝8＞0∴+=3，=線段MN中點的橫坐標為，縱坐標為線段MN中點的坐標為（）本題考查拋物線的標準方程與幾何性質．解題時注意拋物線上的點到焦點的距離常常轉化為這點到準線的距離．19、（1）沒有的把握認為對此項工作的“支持”與“反對”態度與性別有關；（2）分布列見解析，期望為．【解析】分析：（1）根據公式計算的觀測值k，再根據表格即可得出結論；（2）的所有可能取值為，，，分別求出相對應的概率即可.詳解：（1），∴沒有的把握認為對此項工作的“支持”與“反對”態度與性別有關.（2）依題意可知，抽取的名女戶主中，持“支持”態度的有人，持反對態度的有人，的所有可能取值為，，，，，，∴的分布列為：∴.點睛：解決獨立性檢驗應用問題的方法解決一般的獨立性檢驗問題，首先由所給2×2列聯表確定a，b，c，d，n的值，然后根據統計量K2的計算公式確定K2的值，最后根據所求值確定有多大的把握判定兩個變量有關聯．20、（1）；（2）680元.【解析】

（1）根據題意，列方程，然后求解即可（2）根據題意，計算出10000元使用“余額寶”的利息為（元）和10000元使用“財富通”的利息為（元），得到所有可能的取值為560（元），700（元），840（元），然后根據所有可能的取值，計算出相應的概率，并列出的分布列表，然后求解數學期望即可【詳解】（1）據題意，得，所以.（2）據，得這被抽取的7人中使用“余額寶”的有4人，使用“財富通”的有3人.10000元使用“余額寶”的利息為（元）.10000元使用“財富通”的利息為（元）.所有可能的取值為560（元），700（元），840（元）.，，.的分布列為560700840所以（元）.本題考查頻數分布表以及分布列和數學期望問題，屬于基礎題21、（1）（2）或【解析】

(1)先求出的值，再寫出一個以為其中一根的實系數一元二次方程；(2)設