重慶第一中學2025屆高二下數學期末質量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數圖象如圖，是的導函數，則下列數值排序正確的是（）A．B．C．D．2．已知，函數，若對任意給定的，總存在，使得，則的最小值為（）A． B． C．5 D．63．設圓x2+y2+2x-2=0截x軸和y軸所得的弦分別為AB和CDA．22 B．23 C．24．已知，則（）A．16 B．17 C．32 D．335．已知盒中裝有大小形狀完全相同的3個紅球、2個白球、5個黑球.甲每次從中任取一球且不放回，則在他第一次拿到的是紅球的前提下，第二次拿到白球的概率為（）A． B． C． D．6．一個正方體的展開如圖所示，點，，為原正方體的頂點，點為原正方體一條棱的中點，那么在原來的正方體中，直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．7．已知的展開式中，含項的系數為70，則實數a的值為（）A．1 B．-1 C．2 D．-28．已知函數與（且）的圖象關于直線對稱，則“是增函數”的一個充分不必要條件是()A． B． C． D．9．曲線和直線所圍成圖形的面積是（）A．4 B．6 C．8 D．1010．設均大于1，且，令，，，則的大小關系是（）A． B． C． D．11．在四棱錐中，底面是正方形，頂點在底面的射影是底面的中心，且各頂點都在同一球面上，若該四棱錐的側棱長為，體積為4，且四棱錐的高為整數，則此球的半徑等于（）（參考公式：）A．2 B． C．4 D．12．若函數f（x）=有最大值，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如果一個凸多面體是棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線中共有對異面直線，則_____．14．已知復數是純虛數，則實數_________.15．設a、b是兩個實數，給出下列條件：①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出“a、b中至少有一個數大于1”的條件是：_____16．已知拋物線的弦的中點的橫坐標為2，則的最大值為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為為參數），以原點為極點，以軸非負半軸為極軸建立極坐標系，兩坐標系取相同的長度單位．曲線的極坐標方程為.（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）已知點是曲線上任一點，求點到直線距離的最大值.18．（12分）某玻璃工廠生產一種玻璃保護膜，為了調查一批產品的質量情況，隨機抽取了10件樣品檢測質量指標（單位：分）如下：38，43，48，49，50，53，57，60，69，70.經計算得，,生產合同中規定：質量指標在62分以上的產品為優質品，一批產品中優質品率不得低于15%.（Ⅰ）以這10件樣品中優質品的頻率估計這批產品的優質品率，從這批產品中任意抽取3件，求有2件為優質品的概率；（Ⅱ）根據生產經驗，可以認為這種產品的質量指標服從正態分布，其中近似為樣本平均數，近似為樣本方差，利用該正態分布，是否有足夠的理由判斷這批產品中優質品率滿足生產合同的要求？附：若，則，19．（12分）已知函數.（Ⅰ）求的最小正周期：（Ⅱ）求在區間上的最大值和最小值.20．（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數方程為(其中為參數）.現以坐標原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點坐標為，直線交曲線于,兩點，求的值.21．（12分）2018年2月22日，在韓國平昌冬奧會短道速滑男子500米比賽中，中國選手武大靖以連續打破世界紀錄的優異表現，為中國代表隊奪得了本屆冬奧會的首枚金牌，也創造中國男子冰上競速項目在冬奧會金牌零的突破.某高校為調查該校學生在冬奧會期間累計觀看冬奧會的時間情況，收集了200位男生、100位女生累計觀看冬奧會時間的樣本數據（單位：小時）.又在100位女生中隨機抽取20個人，已知這20位女生的數據莖葉圖如圖所示.（I）將這20位女生的時間數據分成8組，分組區間分別為，，…，，，完成頻率分布直方圖；（II）以（I）中的頻率作為概率，求1名女生觀看冬奧會時間不少于30小時的概率；（III）以（I）中的頻率估計100位女生中累計觀看時間小于20個小時的人數，已知200位男生中累計觀看時間小于20小時的男生有50人.請完成下面的列聯表，并判斷是否有99%的把握認為“該校學生觀看冬奧會累計時間與性別有關”.男生女生總計累計觀看時間小于20小時累計觀看時間小于20小時總計300附：（）.22．（10分）設不等式|2x-1|<1的解集為M，且a∈M,b∈M.（1）試比較ab+1與a+b的大小；（2）設maxA表示數集A中的最大數，且h=max{2

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】結合函數的圖像可知過點的切線的傾斜角最大，過點的切線的傾斜角最小，又因為點的切線的斜率，點的切線斜率，直線的斜率，故，應選答案C．點睛：本題旨在考查導數的幾何意義與函數的單調性等基礎知識的綜合運用．求解時充分借助題設中所提供的函數圖形的直觀，數形結合進行解答．先將經過兩切點的直線繞點逆時針旋轉到與函數的圖像相切，再將經過兩切點的直線繞點順時針旋轉到與函數的圖像相切，這個過程很容易發現，從而將問題化為直觀圖形的問題來求解．2、D【解析】分析：先化簡函數的解析式得，再解方程f(x)=0得到，再分析得到，再討論a=0的情況得到w的范圍，再綜合即得w的最小值.詳解：當a≠0時，，由f(x)=0得，因為所以，根據三角函數的圖像得只要coswx=1滿足條件即可，這時，所以當a=0時，，令f(x)=0，所以coswx=0，須滿足綜合得故答案為：D.點睛：（1）本題主要考查三角恒等變換，考查函數的零點和三角函數的圖像和性質，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力數形結合思想方法.(2)解答本題的難點在討論a≠0時，分析推理出.3、C【解析】

先求出|AB|,|CD|,再求四邊形ABCD的面積.【詳解】x2+y令y=0得x=±3-1,則令x=0得y=±2，所以|CD|=2四邊形ACBD的面積S=故答案為：C本題主要考查直線和圓的位置關系，考查弦長的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.4、B【解析】

令，求出系數和，再令，可求得奇數項的系數和，令，求出即可求解.【詳解】令，得，令，得，所以，令，得，所以，故選：B本題主要考查了賦值法求多項式展開式的系數和，考查了學生的靈活解題的能力，屬于基礎題.5、D【解析】

設“第一次拿到的是紅球”為事件A,“第二次拿到白球”為事件B，分別計算出，的值，由條件概率公式可得，可得答案.【詳解】解：設“第一次拿到的是紅球”為事件A,“第二次拿到白球”為事件B，可得：，,則所求事件的概率為：,故選：D.本題主要考查條件概率與獨立事件的計算，屬于條件概率的計算公式是解題的關鍵.6、D【解析】分析：先還原正方體，將對應的字母標出，與所成角等于與所成角，在三角形中，再利用余弦定理求出此角的余弦值即可.詳解：還原正方體，如圖所示，設，則，與所成角等于與所成角，余弦值為，故選D.點睛：本題主要考查異面直線所成的角以及空間想象能力，屬于中檔題題.求異面直線所成的角的角先要利用三角形中位線定理以及平行四邊形找到，異面直線所成的角，然后利用直角三角形的性質及余弦定理求解，如果利用余弦定理求余弦，因為異面直線所成的角是直角或銳角，所以最后結果一定要取絕對值.7、A【解析】

分析：由題意結合二項式展開式的通項公式得到關于a的方程，解方程即可求得實數a的值.詳解：展開式的通項公式為：，由于，據此可知含項的系數為：,結合題意可知：，解得：.本題選擇A選項.點睛：(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(求解時要注意二項式系數中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數，且n≥r，如常數項指數為零、有理項指數為整數等)；第二步是根據所求的指數，再求所求解的項．(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數原理討論求解．8、C【解析】分析：先求出，再利用充分不必要條件的定義得到充分不必要條件.詳解：因為函數與（且）的圖象關于直線對稱，所以.選項A,是“是增函數”的非充分非必要條件，所以是錯誤的.選項B,是“是增函數”的非充分非必要條件，所以是錯誤的.選項C,是“是增函數”的充分非必要條件，所以是正確的.選項D,是“是增函數”的充分必要條件，所以是錯誤的.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查充分條件必要條件的判斷，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)已知命題是條件，命題是結論,充分條件：若，則是充分條件.必要條件：若，則是必要條件.9、C【解析】分析：先根據題意畫出區域，然后依據圖形得到積分下限為0，積分上限為2，從而利用定積分表示出曲邊梯形的面積，最后用定積分的定義求出所求即可.詳解：曲線和直線的交點坐標為（0,0）,(2,2),(-2,-2),根據題意畫出圖形，曲線和直線所圍成圖形的面積是.故選C.點睛：該題所考查的是求曲線圍成圖形的面積問題，在解題的過程中，首先正確的將對應的圖形表示出來，之后應用定積分求得結果，正確求解積分區間是解題的關鍵.10、D【解析】令則t>0,且，∵，∵，故選D．11、B【解析】

如圖所示，設底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.則在中，有，再根據體積為可求及，在中，有，解出后可得正確的選項.【詳解】如圖所示，設底面正方形的中心為，正四棱錐的外接球的球心為，半徑為.設底面正方形的邊長為，正四棱錐的高為，則.因為該正四棱錐的側棱長為，所以，即……①又因為正四棱錐的體積為4，所以……②由①得，代入②得，配湊得，，即，得或.因為，所以，再將代入①中，解得，所以，所以.在中，由勾股定理，得，即，解得，所以此球的半徑等于.故選B.正棱錐中，棱錐的高、斜高、側棱和底面外接圓的半徑可構成四個直角三角形，它們溝通了棱錐各個幾何量之間的關系，解題中注意利用它們實現不同幾何量之間的聯系.12、B【解析】

分析函數每段的單調性確定其最值，列a的不等式即可求解.【詳解】由題,單調遞增，故單調遞減，故,因為函數存在最大值，所以解.故選B.本題考查分段函數最值，函數單調性，確定每段函數單調性及最值是關鍵，是基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、360【解析】

先根據異面直線的概念，求得的表達式，由此求得的值.【詳解】棱錐共有個頂點，從這些點中任取兩個都可以確定一條直線．這些直線分成兩類：側棱所在直線與底面內直線.顯然所有的側棱所在直線中，任意兩條都不可能成為異面直線，底面內的所有直線中的任意兩條也不可能成為異面直線，而任意一條側棱所在直線，在底面的個頂點中，除去側棱所在直線用的那個點，還有）個點，那么由這個點構成的直線與該側棱所在直線都是異面直線，這個點構成的直線有條，故共有對異面直線，則．故答案為：本小題主要考查異面直線的概念，考查組合數的計算，屬于基礎題.14、【解析】

將化簡為的形式，根據復數是純虛數求得的值.【詳解】因為為純虛數，所以.本小題主要考查復數乘法運算，考查純虛數的概念，屬于基礎題.15、③【解析】試題分析：若a＝，b＝，則a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出；若a＝b＝1，則a＋b＝2，故②推不出；若a＝－2，b＝－3，則a2＋b2>2，故④推不出；若a＝－2，b＝－3，則ab>1，故⑤推不出；對于③，即a＋b>2，則a，b中至少有一個大于1，反證法：假設a≤1且b≤1，則a＋b≤2與a＋b＞2矛盾，因此假設不成立，故a，b中至少有一個大于1．[來源:Z§考點：不等式性質16、1【解析】利用拋物線的定義可知，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1＋x2＝4，那么|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2，由圖可知|AF|＋|BF|≥|AB|?|AB|≤1，當AB過焦點F時取最大值為1．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；;（2）【解析】

（1）消參數得的普通方程，根據得的直角坐標方程（2）根據直線與圓位置關系得最值.【詳解】（1）因為，所以，即（2）因為圓心到直線距離為，所以點到直線距離的最大值為本題考查參數方程化普通方程、極坐標方程化直角坐標方程以及直線與圓位置關系，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.18、（I）（II）有足夠的理由判斷這批產品中優質品率滿足生產合同的要求，詳見解析【解析】

（Ⅰ）10件樣品中優質品的頻率為，記任取3件，優質品數為，則，計算得到答案.（Ⅱ）記這種產品的質量指標為，由題意知,得到答案.【詳解】（I）10件樣品中優質品的頻率為，記任取3件，優質品數為，則，（II）記這種產品的質量指標為，由題意知則∵∴有足夠的理由判斷這批產品中優質品率滿足生產合同的要求.本題考查了二項分布，正態分布，意在考查學生的應用能力和計算能力.19、（Ⅰ）（Ⅱ）2，．【解析】

（Ⅰ）因為，故最小正周期為（Ⅱ）因為，所以．于是，當，即時，取得最大值；當，即時，取得最小值．點睛：本題主要考查了兩角和的正弦公式，輔助角公式，正弦函數的性質，熟練掌握公式是解答本題的關鍵.20、（1），；（2）.【解析】

（1）根據參普互化和極值互化的公式得到標準方程；（2）聯立直線和圓的方程，得到關于t的二次，再由韋達定理得