湖北省部分重點中學2025年數學高二第二學期期末達標檢測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數，則（）A．3 B．4 C．5 D．62．函數y的圖象大致為（）A． B．C． D．3．已知定義在上的函數的周期為6，當時，，則（）A． B． C． D．4．已知某產品連續4個月的廣告費用（千元）與銷售額（萬元），經過對這些數據的處理，得到如下數據信息：①廣告費用和銷售額之間具有較強的線性相關關系；②；③回歸直線方程中的＝0.8（用最小二乘法求得）；那么，廣告費用為8千元時，可預測銷售額約為（）A．4.5萬元 B．4.9萬元 C．6.3萬元 D．6.5萬元5．已知函數的導函數為，且滿足，則（）A． B． C．2 D．-26．函數是定義在區間上的可導函數，其導函數為，且滿足，則不等式的解集為（）A． B．C． D．7．已知是虛數單位，則在復平面內對應的點位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限8．設隨機變量服從正態分布，若，則（）A． B． C． D．與的值有關9．已知函數在區間上是單調遞增函數，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．某市踐行“干部村村行”活動，現有3名干部甲、乙、丙可供選派，下鄉到5個村蹲點指導工作，每個村至少有1名干部，每個干部至多住3個村，則干部甲住3個村的概率為()A． B． C． D．11．從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，那么互斥而不對立的事件是（）A．至少有一個紅球與都是紅球B．至少有一個紅球與都是白球C．恰有一個紅球與恰有二個紅球D．至少有一個紅球與至少有一個白球12．已知集合，則A． B．C． D．R二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若的展開式中常數項為，則展開式中的系數為__________.14．已知隨機變量服從二項分布，那么方差的值為__________．15．三個元件正常工作的概率分別為，，，將兩個元件并聯后再和串聯接入電路，如圖所示，則電路不發生故障的概率為_________．16．若直線為曲線的一條切線，則實數的值是______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，求的值．18．（12分）下表提供了某廠節能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量（噸）與相應的生產能耗（噸標準煤）的幾組對照數據．34562.5344.5（1）請畫出上表數據的散點圖；（2）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出關于的線性回歸方程．參考公式：19．（12分）某市為迎接“國家義務教育均衡發展”綜合評估，市教育行政部門在全市范圍內隨機抽取了所學校，并組織專家對兩個必檢指標進行考核評分.其中分別表示“學校的基礎設施建設”和“學校的師資力量”兩項指標，根據評分將每項指標劃分為(優秀)、(良好)、(及格）三個等級，調查結果如表所示.例如：表中“學校的基礎設施建設”指標為等級的共有所學校.已知兩項指標均為等級的概率為0.21.（1）在該樣本中，若“學校的基礎設施建設”優秀率是0.4，請填寫下面列聯表，并根據列聯表判斷是否有的把握認為“學校的基礎設施建設”和“學校的師資力量”有關；師資力量（優秀）師資力量（非優秀）合計基礎設施建設（優秀）基礎設施建設（非優秀）合計（2）在該樣本的“學校的師資力量”為等級的學校中，若，記隨機變量，求的分布列和數學期望.附:20．（12分）將正整數排成如圖的三角形數陣，記第行的個數之和為.（1）設，計算，，的值，并猜想的表達式；（2）用數學歸納法證明（1）的猜想.21．（12分）在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規則是:每場投6個球,至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎;否則不獲獎.已知教師甲投進每個球的概率都是.(Ⅰ)記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數為X,求X的分布列及數學期望；(Ⅱ)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率.22．（10分）在區間上任取一個數記為a，在區間上任取一個數記為b．若a，，求直線的斜率為的概率；若a，，求直線的斜率為的概率．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據的取值計算的值即可.【詳解】解：，故，故選：C.本題考查了函數求值問題，考查對數以及指數的運算，是一道基礎題.2、B【解析】

通過函數的單調性和特殊點的函數值，排除法得到正確答案.【詳解】因為，其定義域為所以，所以為奇函數，其圖像關于原點對稱，故排除A、C項，當時，，所以D項錯誤，故答案為B項.本題考查利用函數的奇偶性和特殊點的函數值來判斷函數的圖像，屬于簡單題.3、C【解析】

根據函數的周期性以及時的解析式結合，可得，利用對數的運算性質，化簡可得答案．【詳解】∵定義在上的函數的周期為6，當時，，又∵，∴，.即，故選C.本題主要考查利用函數的周期性求函數的值，考查了學生的計算能力，屬于中檔題.4、C【解析】

由已知可求出，進而可求出，即可得到回歸方程，令，可求出答案.【詳解】由題意，，因為，所以，則回歸直線方程為.當時，.故選C.本題考查了線性回歸方程的求法，考查了計算能力，屬于基礎題.5、D【解析】試題分析：題中的條件乍一看不知如何下手，但只要明確了是一個常數，問題就很容易解決了．對進行求導：=，所以，-1.考點：本題考查導數的基本概念及求導公式．點評：在做本題時，遇到的主要問題是①想不到對函數進行求導；②的導數不知道是什么．實際上是一個常數，常數的導數是0.6、D【解析】

構造函數，對函數求導得到函數的單調性，進而將原不等式轉化為，，進而求解.【詳解】根據題意，設，則導數；函數在區間上，滿足，則有，則有，即函數在區間上為增函數；，則有，解可得：；即不等式的解集為；故選：D．這個題目考查了函數的單調性的應用，考查了解不等式的問題；解函數不等式問題，可以直接通過函數的表達式得到結果，如果直接求解比較繁瑣，可以研究函數的單調性，零點等問題，將函數值大小問題轉化為自變量問題.7、A【解析】

分子分母同時乘以，化簡整理，得出，再判斷象限．【詳解】，在復平面內對應的點為（），所以位于第一象限．故選A．本題考查復數的基本運算及復數的幾何意義，屬于基礎題.8、A【解析】分析：根據隨機變量X服從正態分布，可知正態曲線的對稱軸，利用對稱性，即可求得，從而求出即可.詳解：隨機變量服從正態分布，正態曲線的對稱軸是，，而與關于對稱，由正態曲線的對稱性得：，故.故選：A.點睛：解決正態分布問題有三個關鍵點：(1)對稱軸x＝μ；(2)標準差σ；(3)分布區間．利用對稱性可求指定范圍內的概率值；由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率．注意只有在標準正態分布下對稱軸才為x＝0.9、C【解析】

對函數求導，將問題轉化為恒成立，構造函數，將問題轉化為來求解，即可求出實數的取值范圍.【詳解】，，令，則.，其中，且函數單調遞增.①當時，對任意的,，此時函數在上單調遞增，則，合乎題意；②當時，令，得，.當時，；當時，.此時，函數在處取得最小值，則，不合乎題意.綜上所述，實數的取值范圍是.故選：C.本題考查利用函數的在區間上的單調性求參數的取值范圍，解題時根據函數的單調性轉化為導數的符號來處理，然后利用參變量分離法或分類討論思想轉化函數的最值求解，屬于?？碱}，屬于中等題。10、A【解析】

先利用排列組合思想求出甲干部住個村的排法種數以及將三名可供選派的干部下鄉到個村蹲點的排法種數，最后利用古典概型的概率公式求出所求事件的概率。【詳解】三名干部全部選派下鄉到個村蹲點，三名干部所住的村的數目可以分別是、、或、、，排法種數為，甲住個村，則乙、丙各住一個村，排法種數為，由古典概型的概率公式可知，所求事件的概率為，故選：A。本題考查排列組合應用問題以及古典概型概率的計算，解決本題的關鍵在于將所有的基本事件數利用排列組合思想求出來，合理利用分類計數和分步計算原理，考查分析問題和運算求解能力，屬于中等題。11、C【解析】

從裝有5個紅球和3個白球的口袋內任取3個球，不同的取球情況共有以下幾種：3個球全是紅球；2個紅球和1個白球；1個紅球2個白球；3個全是白球.選項A中，事件“都是紅球”是事件“至少有一個紅球”的子事件；選項B中，事件“至少有一個紅球”與事件“都是白球”是對立事件；選項D中，事件“至少有一個紅球”與事件“至少有一個白球”的事件為“2個紅球1個白球”與“1個紅球2個白球”；選項C中，事件“恰有一個紅球”與事件“恰有2個紅球”互斥不對立，故選C.12、D【解析】

先解出集合與，再利用集合的并集運算得出.【詳解】，，，故選D.本題考查集合的并集運算，在計算無限數集時，可利用數軸來強化理解，考查計算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

首先求出的展開式的通項公式，通過計算常數項求出a的值，再利用通項公式求的系數.【詳解】展開式的通項公式為，當時，常數項為，所以．當時，，展開式中的系數為．本題考查二項式定理展開式的應用，考查二項式定理求特定項的系數，解題的關鍵是求出二項式的通項，屬于基礎題.14、【解析】分析：隨機變量服從二項分布，那么，即可求得答案.詳解：隨機變量服從二項分布，那么，即.故答案為：.點睛：求隨機變量X的均值與方差時，可首先分析X是否服從二項分布，如果X～B(n，p)，則用公式E(X)＝np；D(X)＝np(1－p)求解，可大大減少計算量．15、【解析】分析：組成的并聯電路可從反面計算，即先計算發生故障的概率，然后用對立事件概率得出不發生故障概率．詳解：由題意．故答案為．點睛：零件不發生故障的概率分別為，則它們組成的電路中，如果是串聯電路，則不發生故障的概率易于計算，即為，如果組成的是并聯電路，則發生故障的概率易于計算，即為．16、1【解析】設切點為，又，所以切點為（0,1）代入直線得b=1三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、【解析】

先由等式求出的值，利用誘導公式對所求分式進行化簡，代入的值可得出結果.【詳解】因為，所以，所以，因此，.本題考查利用誘導公式化簡求值，對于化簡求值類問題，首先要利用誘導公式將代數式進行化簡，再結合同角三角函數的基本關系或代值計算，考查計算能力，屬于基礎題.18、（1）見解析（2）【解析】

（1）直接畫出散點圖得到答案.（2）根據數據和公式，得到計算得，，，直接計算到答案.【詳解】（1）由題設所給數據，可得散點圖如圖所示．（2）由對照數據，計算得：，（噸），（噸）．已知，所以，由最小二乘法確定的回歸方程的系數為：，．因此所求的線性回歸方程為．本題考查了散點圖和線性回歸方程，意在考查學生的計算能力和應用能力.19、（1）見解析；（2）見解析.【解析】

（1）依題意求得n、a和b的值，填寫列聯表，計算K2，對照臨界值得出結論；（2）由題意得到滿足條件的（a，b），再計算ξ的分布列和數學期望值．【詳解】（Ⅰ）依題意得，得由，得由得師資力量(優秀)師資力量（非優秀）基礎設施建設（優秀）2021基礎設施建設（非優秀）2039.因為，所以沒有90﹪的把握認為“學校的基礎設施建設”和“學校的師資力量”有關.（Ⅱ）,,得到滿足條件的有：，，，，故的分布列為1357故本題主要考查了獨立性檢驗和離散型隨機變量的分布列與數學期望問題，屬于中檔題．20、（1）；（2）見解析．【解析】分析：直接計算，猜想：；（2）證明：①當時，猜想成立.②設時，命題成立，即③證明當時，成立。詳解：（1）解：，，，，猜想；（2）證明：①當時，猜想成立.②設時，命題成立，即，由題意可知.所以，，所以時猜想成立.由①、②可知，猜想對任意都成立.點睛：推理與證明中，數學歸納法證明數列的通項公式是常見的解法。根據題意先歸納猜想，利用數學歸納法證明猜想。數學歸納法證明必須有三步：①當時，計算得出猜想成立.②當時，假設猜想命題成立，③當時，證明猜想成立。21、(Ⅰ)X的分布列X

0

1

2

3

4

5

6

P

數學期望；(Ⅱ).【解析】

試題分析：(Ⅰ)先定出X的所有可能取值，易知本題是6個獨立重復試驗中成功的次數的離散概率分布，即為二項分布.由二項分布公式可得到其分布列以及期望.(Ⅱ)根據比賽獲勝的規定，教師甲前四次投球中至少有兩次投中，后兩次必須投中，即可能的情況有1.前四次投中2次（六投四中）；2.前四次投中3次（六投五中）3.前四次都投中（六投六中）.其中第1種情況有種可能，第2中情況有（或）種可能.將上述三種情況的概率相加即得到教師甲獲勝的概率.試題解析：(Ⅰ)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.依條件可知，X的分布列為：X

0

1

2

3

4

5

6

P

.或因為，所以.即的數學期望為4.7分(Ⅱ)設教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，則答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為.考點：1.二項分布；2.離散型隨機變量的分布列與期望；3.隨機事件的概率.22、（1）；（2）.【解析】

，