唐山市重點中學2025屆數學高二下期末學業質量監測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等差數列的前項和為，若，則（）A．3 B．9 C．18 D．272．某班準備從甲、乙、丙等6人中選出4人參加某項活動，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，那么不同的方法有（）A．18種 B．12種 C．432種 D．288種3．已知,則下列結論中錯誤的是（）A．B．．C．D．4．觀察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，根據上述規律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝()A．192 B．202 C．212 D．2225．雙曲線的左右焦點分別為F1，F2，過F1的直線交曲線左支于A，B兩點，△F2AB是以A為直角頂點的直角三角形，且∠AF2B＝30°．若該雙曲線的離心率為e，則e2＝（）A． B． C． D．6．設函數，，給定下列命題：①若方程有兩個不同的實數根，則；②若方程恰好只有一個實數根，則；③若，總有恒成立，則；④若函數有兩個極值點，則實數.則正確命題的個數為（）A． B． C． D．7．拋物線的焦點為，點，為拋物線上一點，且不在直線上，則周長的最小值為A． B． C． D．8．設，則“”是“”成立的（）A．充要不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充要也不必要條件9．《中國詩詞大會》（第二季）亮點頗多，十場比賽每場都有一首特別設計的開場詩詞在聲光舞美的配合下，百人團齊聲朗誦，別有韻味．若《將進酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另確定的兩首詩詞排在后六場，且《將進酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》不相鄰且均不排在最后，則后六場的排法有（）A．288種 B．144種 C．720種 D．360種10．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A．16 B．(10＋)π C．4＋(5＋)π D．6＋(5＋)π11．在平面直角坐標系中,方程表示在x軸、y軸上的截距分別為的直線,類比到空間直角坐標系中,在軸、軸、軸上的截距分別為的平面方程為()A． B．C． D．12．在極坐標系中，圓ρ=2cosθ的圓心坐標為（）A．(1,π2) B．(-1,π二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設復數，則_________________.14．已知是等差數列，公差不為零．若，，成等比數列，且，則，．15．已知，則展開式中的系數為__________．16．中，內角所對的邊的長分別為，且，則__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖,已知正四棱柱的底面邊長為2,側棱長為3,,垂足為,交于點.(1)求證:⊥平面;(2)記直線與平面所成的角,求的值.18．（12分）1，4，9，16……這些數可以用圖1中的點陣表示，古希臘畢達哥拉斯學派將其稱為正方形數，記第個數為.在圖2的楊輝三角中，第行是展開式的二項式系數，，…，，記楊輝三角的前行所有數之和為.（1）求和的通項公式；（2）當時，比較與的大小，并加以證明.19．（12分）已知函數．（1）討論函數在定義域內的極值點的個數；（2）若函數在處取得極值，且對任意,恒成立，求實數的取值范圍；（3）當時，求證：．20．（12分）阿基米德是古希臘偉大的哲學家、數學家、物理學家，對幾何學、力學等學科作出過卓越貢獻.為調查中學生對這一偉大科學家的了解程度，某調查小組隨機抽取了某市的100名高中生，請他們列舉阿基米德的成就，把能列舉阿基米德成就不少于3項的稱為“比較了解”，少于三項的稱為“不太了解”.他們的調查結果如下：0項1項2項3項4項5項5項以上理科生（人）110171414104文科生（人）08106321（1）完成如下列聯表，并判斷是否有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關？比較了解不太了解合計理科生文科生合計（2）在抽取的100名高中生中，按照文理科采用分層抽樣的方法抽取10人的樣本.（i）求抽取的文科生和理科生的人數；（ii）從10人的樣本中隨機抽取3人，用表示這3人中文科生的人數，求的分布列和數學期望.參考數據：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，.21．（12分）（選修4-4：坐標系與參數方程）在平面直角坐標系，已知曲線（為參數），在以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立的極坐標系中，直線的極坐標方程為．（1）求曲線的普通方程和直線的直角坐標方程；（2）過點且與直線平行的直線交于，兩點，求點到，的距離之積．22．（10分）現從某醫院中隨機抽取了七位醫護人員的關愛患者考核分數（患者考核：10分制），用相關的特征量表示；醫護專業知識考核分數（試卷考試：100分制），用相關的特征量表示，數據如下表：（Ⅰ）求關于的線性回歸方程（計算結果精確到0.01）；（Ⅱ）利用（I）中的線性回歸方程，分析醫護專業考核分數的變化對關愛患者考核分數的影響，并估計某醫護人員的醫護專業知識考核分數為95分時，他的關愛患者考核分數（精確到0.1）；（Ⅲ）現要從醫護專業知識考核分數95分以下的醫護人員中選派2人參加組建的“九寨溝災后醫護小分隊”培訓，求這兩人中至少有一人考核分數在90分以下的概率.附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】設等差數列的首項為，公差為.∵∴，即∴∴故選D.2、D【解析】

根據題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，②將選出的4人全排列，安排4人的順序，由分步計數原理計算可得答案．【詳解】根據題意，6人中除甲乙丙之外的3人為a、b、c，分2步進行分析：①先在6人中選出4人，要求甲、乙、丙三人中至少有兩人參加，若甲、乙、丙三人都參加，在a、b、c三人中任選1人，有3種情況，若甲、乙、丙三人有2人參加，在a、b、c三人中任選1人，有=9種情況，則有3+9=12種選法；②將選出的4人全排列，安排4人的順序，有A44=24種順序，則不同的發言順序有12×24=288種；故答案為：D．（1）本題主要考查排列組合的綜合應用，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)排列組合常見解法有：一般問題直接法、相鄰問題捆綁法、不相鄰問題插空法、特殊對象優先法、等概率問題縮倍法、至少問題間接法、復雜問題分類法、小數問題列舉法.3、C【解析】試題分析：，當時，，單調遞減，同理當時，單調遞增，，顯然不等式有正數解（如，（當然可以證明時，）），即存在，使，因此C錯誤．考點：存在性量詞與全稱量詞，導數與函數的最值、函數的單調性．4、C【解析】∵所給等式左邊的底數依次分別為1，2；1，2，3；1，2，3，4；

右邊的底數依次分別為3，6，10，（注意：這里，），

∴由底數內在規律可知：第五個等式左邊的底數為1，2，3，4，5，6，

右邊的底數為，又左邊為立方和，右邊為平方的形式，

故有，故選C.點睛：本題考查了，所謂歸納推理，就是從個別性知識推出一般性結論的推理．它與演繹推理的思維進程不同．歸納推理的思維進程是從個別到一般，而演繹推理的思維進程不是從個別到一般，是一個必然地得出的思維進程．解答此類的方法是從特殊的前幾個式子進行分析找出規律．觀察前幾個式子的變化規律，發現每一個等式左邊為立方和，右邊為平方的形式，且左邊的底數在增加，右邊的底數也在增加．從中找規律性即可.5、D【解析】

設，根據是以為直角頂點的直角三角形，且，以及雙曲線的性質可得，再根據勾股定理求得的關系式，即可求解.【詳解】由題意，設，如圖所示，因為是以為直角頂點的直角三角形，且，由，所以，由，所以，所以，即，所以，所以，，在直角中，，即，整理得，所以，故選D.本題主要考查了雙曲線的定義，以及雙曲線的幾何性質——離心率的求解，其中求雙曲線的離心率(或范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據一個條件得到關于的齊次式，轉化為的齊次式，然后轉化為關于的方程，即可得的值(范圍)．.6、C【解析】

利用導數研究函數的單調性，零點，極值以及恒成立問題.【詳解】對于①，的定義域，，令有即，可知在單調遞減，在單調遞增，，且當時，又，從而要使得方程有兩個不同的實根，即與有兩個不同的交點，所以，故①正確對于②，易知不是該方程的根，當時，，方程有且只有一個實數根，等價于和只有一個交點，，又且，令，即，有，知在和單減，在上單增，是一條漸近線，極小值為．由大致圖像可知或，故②錯對于③當時，恒成立，等價于恒成立，即函數在上為增函數，即恒成立，即在上恒成立，令，則，令得，有，從而在上單調遞增，在上單調遞減，則，于是，故③正確.對于④有兩個不同極值點，等價于有兩個不同的正根，即方程有兩個不同的正根，由③可知，，即，則④正確.故正確命題個數為3，故選.本題考查利用導數研究函數有關性質，屬于基礎題目．解題時注意利用數形結合，通過函數圖象得到結論．7、C【解析】

求△MAF周長的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，設點M在準線上的射影為D，根據拋物線的定義，可知|MF|=|MD|，因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.根據平面幾何知識，可得當D，M，A三點共線時|MA|+|MD|最小，因此最小值為xA﹣（﹣1）=5+1=6，∵|AF|==5，∴△MAF周長的最小值為11，故答案為：C．8、C【解析】試題分析：當時，，當一正一負時，，當時，，所以，故選C．考點：充分必要條件．9、B【解析】

根據題意分步進行分析：①用倍分法分析《將進酒》，《望岳》和另外兩首詩詞的排法數目；②用插空法分析《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》的排法數目，由分步計數原理計算可得答案【詳解】根據題意分步進行分析：①將《將進酒》，《望岳》和另外兩首詩詞的首詩詞全排列，則有種順序《將進酒》排在《望岳》的前面，這首詩詞的排法有種②，這首詩詞排好后，不含最后，有個空位，在個空位中任選個，安排《山居秋暝》與《送杜少府之任蜀州》，有種安排方法則后六場的排法有種故選本題考查的是有關限制條件的排列數的問題，第一需要注意先把不相鄰的元素找出來，將剩下的排好，這里需要注意定序問題除階乘，第二需要將不相鄰的兩個元素進行插空，利用分步計數原理求得結果，注意特殊元素特殊對待。10、C【解析】分析：由該幾何體的三視圖判斷出組合體各部分的幾何特征，以及各部分的幾何體相關幾何量的數據，由面積公式求出該幾何體的表面積.詳解：該幾何體是兩個相同的半圓錐與一個半圓柱的組合體，其表面積為：S＝π＋4π＋4＋π＝4＋(5＋)π.故選：C.點睛：本題考查了由三視圖求幾何體的表面積，解題的關鍵是根據三視圖判斷幾何體的結構特征及相關幾何量的數據.11、A【解析】

平面上直線方程的截距式推廣到空間中的平面方程的截距式是.【詳解】由類比推理得：若平面在軸、軸、軸上的截距分別為，則該平面的方程為：，故選A.平面中的定理、公式等類比推理到空間中時，平面中的直線變為空間中的直線或平面，平面中的面積變為空間中的體積.類比推理得到的結論不一定正確，必要時要對得到的結論證明.如本題中，可令，看是否為.12、D【解析】

把圓的極坐標方程轉化為直角坐標方程，求出圓心直角坐標即可．【詳解】由ρ=2cosθ，得ρ2=2ρcosθ，化簡為直角坐標方程為：x2+y2-2x=0，即x-12所以圓心（1，0），即圓心（1，0）的極坐標為（1，0）.故選：D．本題考查圓的極坐標方程和直角坐標方程的互化，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】解法一：由題意可得：.解法二：14、【解析】

根據題意列出關于、的方程組，即可解出這兩個量的值.【詳解】由題可得，，故有，又因為，即，所以.本題考查等差數列基本量的計算，解題的關鍵就是根據題意列出關于首項和公差的方程組進行求解，考查運算求解能力，屬于中等題.15、448.【解析】由題意可得：,則展開式的通項公式為：，令可得：,則的系數為：.16、【解析】分析：利用余弦定理列出關系式，將已知等式變形代入，再利用正弦定理化簡得到，進而得到的值.詳解：，即，又由余弦定理，正弦定理則，即或.若，，，，由，得，由余弦定理，即有，，.故答案為.點睛：此題考查了正弦定理和余弦定理，熟練掌握定理是解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析；（2）．【解析】分析：此題建系比較容易，所以兩問都用建系處理，以為坐標原點,分別以直線所在直線為軸,軸,軸，分別寫出坐標，設，利用解得所以，所以平面；(2)計算平面法向量，所以即可解題詳解：(1)如圖,以為坐標原點,分別以直線所在直線為軸,軸,軸,建立空間直角坐標系，易得,設,則，因為,所以，解得,即,又,,所以,所以,且，所以，又，所以平面.(2)，，，設平面的一個法向量，則即令，則，即，.點睛：空間向量是解決立體幾何問題很好的方法，也是高考每年的必考考點，所以在遇到此類問題時要注意合理的建立坐標系，建系的原則要盡量使得更多的點落在坐標軸上，這樣方便計算.18、（Ⅰ），（Ⅱ），證明見解析【解析】

（Ⅰ）由正方形數的特點知，由二項式定理的性質，求出楊輝三角形第行個數的和，由此能求出和的通項公式；（Ⅱ）由時，，時，，證明：時，時，可以逐個驗證；證明時，時，可以用數學歸納法證明．【詳解】（Ⅰ）由正方形數的特點可知；由二項式定理的性質，楊輝三角第行個數的和為，所以.（Ⅱ），，所以；，，所以；，，所以；，，所以；，所以；猜想：當時，；當時，.證明如下：證法1：當時，已證.下面用數學歸納法證明：當時，.①當時，已證：②假設時，猜想成立，即，所以；那么，，所以，當時，猜想也成立．根據①②，可知當時，.本題主要考查了數列的通項公式的求法，以及數學歸納法不等式的證明，其中解答中要認真審題，注意二項式定理和數學歸納法的合理運用，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．19、(1)答案見解析；(2)；(3)證明見解析.【解析】試題分析：（1）由題意可得，分類討論有：當時，函數沒有極值點，當時，函數有一個極值點．（2）由題意可得，原問題等價于恒成立，討論函數的性質可得實數的取值范圍是；（3）原問題等價于，繼而證明函數在區間內單調遞增即可.試題解析：（1），當時，在上恒成立，函數在單調遞減，∴在上沒有極值點；當時，得，得，∴在上遞減，在上遞增，即在處有極小值．∴當時在上沒有極值點，當時，在上有一個極值點．（2）∵函數在處取得極值，∴，∴，令，，可得在上遞減，在上遞增，∴，即．（3）證明：，令，則只要證明在上單調遞增，又∵，顯然函數在上單調遞增．∴，即，∴在上單調遞增，即，∴當時，有．點睛：導數是研究函數的單調性、極值(最值)最有效的工具，而函數是高中數學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數的應用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對導數的應用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯系．(2)利用導數求函數的單調區間，判斷單調性；已知單調性，求參數．(3)利用導數求函數的最值(極值)，解決生活中的優化問題．(4)考查數形結合思想的應用．20、(1)見解析；(2)（i）文科生3人，理科生7人（ii）見解析【解析】

（1）寫出列聯表后可計算，根據預測值表可得沒有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關.（2）（i）文科生與理科生的比為，據此可計算出文科生和理科生的人數.（ii）利用超幾何分布可計算的分布列及其數學期望.【詳解】解：（1）依題意填寫列聯表如下：比較了解不太了解合計理科生422870文科生121830合計5446100計算，沒有的把握認為，了解阿基米德與選擇文理科有關.（2）（i）抽取的文科生人數是（人），理科生人數是（人