北師大版高中數學必修一課件4.3

一元二次不等式的應用新課導入01新知探究02課堂練習03拓展延伸04目錄CONTENTS新課導入PART.1課標定位素養闡釋1.能夠從實際生產和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解決.2.掌握與一元二次不等式有關的恒成立問題的解法.3.體會化歸與轉化思想的應用,加強數學建模素養的培養.一、與一元二次不等式有關的恒成立問題【問題思考】1.x-1>0在區間[2,3]上恒成立的幾何意義是什么?區間[2,3]與不等式x-1>0的解集有什么關系?提示:x-1>0在區間[2,3]上恒成立的幾何意義是函數y=x-1在區間[2,3]上的圖象恒在x軸的上方.區間[2,3]內的元素一定是不等式x-1>0的解,反之不一定成立,故區間[2,3]是不等式x-1>0的解集的子集.2.抽象概括一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集是R的等價條件是a>0,且Δ<0;一元二次不等式ax2+bx+c<0的解集是R的等價條件是a<0,且Δ<0.二、一元二次不等式在實際生活中的應用【問題思考】1.在一條限速為40km/h的彎道上,甲、乙兩輛汽車相向而行,發現情況不對,同時剎車,但還是相撞了.事后現場勘查測得甲車的剎車距離剛好是12m,乙車的剎車距離略超過10m.又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(單位:m)與車速x(單位:km/h)之間分別有如下關系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.問:甲、乙兩車有無超速現象?提示:由題意知,對于甲車,有0.1x+0.01x2=12,即x2+10x-1

200=0,解得x=30或x=-40(舍去).這表明甲車的車速為30

km/h,甲車車速沒有超過限速40

km/h.對于乙車,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2

000>0,解得x>40或x<-50(舍去).這表明乙車車速超過40

km/h,超過規定限速.2.利用不等式解決實際問題的一般步驟:(1)選取合適的字母表示題中的未知數;(2)由題中給出的不等關系,列出關于未知數的不等式(組);(3)求解所列出的不等式(組);(4)結合題目的實際意義確定答案.【思考辨析】

判斷下列說法是否正確,正確的在它后面的括號里畫“√”,錯誤的畫“×”.(1)若不等式ax2+bx+c>0的解集是{x|x<x1,或x>x2},則方程ax2+bx+c=0的兩個實數根是x1和x2.(

√

)(2)不等式ax2+bx+c<0在R上恒成立的條件是a<0,且Δ=b2-4ac<0.(

√

)(3)若二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口向下,則不等式ax2+bx+c<0的解集一定是空集.(

×

)新知探究PART.2探究一與一元二次不等式有關的恒成立問題【例1】

關于x的一元二次不等式2x2-8x+6-m>0的解集是R,求實數m的取值范圍.分析1:a=2>0,Δ<0→求m的取值范圍分析2:原不等式轉化為m<2x2-8x+6→根據已知求2x2-8x+6的最小值→由m<(2x2-8x+6)min確定m的取值范圍解法1:要使2x2-8x+6-m>0的解集是R,即2x2-8x+6-m>0在R上恒成立,又∵函數y=2x2-8x+6-m的圖象開口向上,∴只需Δ=64-8(6-m)<0,解得m<-2.故m的取值范圍是(-∞,-2).解法2:要使2x2-8x+6-m>0的解集是R,即2x2-8x+6-m>0在R上恒成立,即m<2x2-8x+6在R上恒成立,只需m<(2x2-8x+6)min,設y=2x2-8x+6,則當x=2時,函數取得最小值-2,∴m<-2,即所求m的取值范圍為(-∞,-2).1.若把本例的不等式改為:關于x的一元二次不等式mx2-8x+6>0,其他不變,如何求m的取值范圍?2.若把本例的不等式改為:關于x的一元二次不等式2x2-mx+6<0有解,其他不變,如何求m的取值范圍?與一元二次不等式有關的恒成立問題的解題方法(1)判別式法;(2)若不等式中的參數比較“孤單”,便可將參數分離出來,利用a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min求解.【變式訓練1】

若對于一切實數x,mx2-mx-1<0恒成立,求實數m的取值范圍.解:若m=0,顯然-1<0,滿足題意;若m≠0,要使mx2-mx-1<0恒成立,故實數m的取值范圍為-4<m≤0.探究二

一元二次不等式的應用【例2】

國家為了加強對煙酒生產的宏觀管理,實行征收附加稅政策.現知某種酒每瓶70元,不加附加稅時,每年大約產銷100萬瓶,若政府征收附加稅,每銷售100元要征稅k元(叫作稅率k%),則每年的產銷量將減少10k萬瓶.要使每年在此項經營中所收附加稅金不少于112萬元,問k應怎樣確定?分析:若征收附加稅,此時的產銷量為(100-10k)萬瓶,每一瓶的附加稅應為70×k%,利用附加稅金不少于112萬建立關于k的不等式,解不等式即可.解:設產銷量為每年x萬瓶,則銷售收入為每年70x萬元,從中征收的稅金為(70x·k%)萬元,其中x=100-10k.由題意,得70(100-10k)k%≥112,整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8.因此,當2≤k≤8時,每年在此項經營中所收附加稅金不少于112萬元.解不等式應用題的四個步驟(1)審:認真審題,把握問題中的關鍵量,找準不等關系.(2)設:引進數學符號,用不等式表示不等關系.(3)求:解不等式.(4)答:回答實際問題.【變式訓練2】

某農貿公司按每擔200元收購某農產品,并按每100元納稅10元(又稱征稅率為10個百分點),計劃可收購a萬擔,政府為了鼓勵收購公司多收購這種農產品,決定將征稅率降低x(x≠0)個百分點,預測收購量可增加2x個百分點.(1)寫出稅收y(萬元)與x的函數關系式;(2)要使此項稅收在稅率調節后,不少于原計劃稅收的83.2%,試確定x的取值范圍.解:(1)降低稅率后的稅率為(10-x)%,農產品的收購量為a(1+2x%)萬擔,收購總金額為200a·(1+2x%).課堂練習PART.3忽視二次項系數為零致誤【典例】

已知函數y=(m2+4m-5)x2+4(1-m)x+3對任意實數x,函數值恒大于零,則實數m的取值范圍是

.

答案

(1,19)以上解答過程中都有哪些錯誤?出錯的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:忽視二次項系數為零的情況,導致漏解.正解:①當m2+4m-5=0時,m=-5或m=1.若m=-5,則函數化為y=24x+3.對任意實數x不可能恒大于0.若m=1,則y=3>0恒成立,滿足題意.②當m2+4m-5≠0時,同錯解.綜上可知,1≤m<19.答案:[1,19)二次項系數含參數的不等式要注意討論二次項系數是不是零,忽視討論容易導致漏解.【變式訓練】

函數y=ax2+ax-1在R上恒有y<0成立,則實數a的取值范圍是(

)A.a≤0 B.a<-4C.-4<a<0 D.-4<a≤0解析:因為y=ax2+ax-1在R上y<0恒成立,即ax2+ax-1<0在R上恒成立,當a=0時,-1<0恒成立;故所求實數a的取值范圍為-4<a≤0.答案:D拓展延伸PART.4答案:A2.已知關于x的不等式kx2-6kx+k+8≥0對任意x∈R恒成立,則實數k的取值范圍是(

)A.0≤k≤1 B.0<k≤1C.k<0,或k>1 D.k≤0,或k≥1解析:當k=0時,不等式kx2-6kx+k+8≥0化為8≥0恒成立;當k<0時,不等式kx2-6kx+k+8≥0不能恒成立;當k>0時,要使不等式kx2-6kx+k+8≥0恒成立,需Δ=36k2-4(k2+8k)≤0,解得0≤k≤1.故選A.答案:A3.已知不等式x2+ax+4<0的解集為空集,則實數a的取值范圍是(

)A.-4≤a≤4 B.-4<a<4C.a≤-4,或a≥4 D.a<-4,或a>4解析:欲使不等式x2+ax+4<0的解集為空集,則Δ=a2-16≤0