第二十七章相似

27.3位似

第一課時位似圖形的概念及畫法一、情景導入如圖，是幻燈機放映圖片的示意圖，在幻燈機放映圖片的過程中，這些圖片之間有什么關系？

連接圖片上對應的點，你有什么發現？

二、探究新知下列圖形中有相似多邊形嗎？如果有，這種相似有什么特征？二、探究新知歸納：兩個相似多邊形，如果它們對應頂點所在的直線相交于一點，我們就把這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個交點叫做位似中心．判斷兩個圖形是不是位似圖形，需要從兩方面去考察：一是這兩個圖形是相似的，二是要有特殊的位置關系，即每組對應點所在的直線都經過同一點．

二、探究新知1．畫出下列圖形的位似中心：圖1圖2二、探究新知2．如圖，BC∥ED，下列說法不正確的是()．

A．兩個三角形是位似圖形 B．點A是兩個三角形的位似中心C．B與D，C與E是對應位似點D．AE∶AD是相似比DEABCD二、探究新知從左圖中我們可以看到，△OAB∽△OA′B′，則

AB∥A′B′．右圖呢？你得到了什么？ABECDOA′B′C′D′E′ABCOA′B′C′二、探究新知歸納：1．位似圖形是一種特殊的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質，即對應角相等，對應邊的比相等．

2．位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比．(位似圖形的相似比也叫做位似比)3．對應線段平行或者在一條直線上．二、探究新知如圖，四邊形木框ABCD在燈泡發出的光照射下形成的影子是四邊形A′B′C′D′，若OB∶O′B′＝1∶2，則四邊形ABCD的面積與四邊形A′B′C′D′的面積比為()．

A．4∶1B．

∶1C．1∶D．1∶4D二、探究新知例1

把四邊形ABCD

縮小到原來的(1)在四邊形外任選一點O(如圖)；(2)分別在線段OA、OB、OC、OD上取點A'，B'，C'，D'，使得(3)順次連接點A'，B'，C'，D'，所得四邊形A'B'C'D'就是所要求的圖形．二、探究新知ODABCA'B'C'D'利用位似，可以將一個圖形放大或縮小．二、探究新知思考：對于上面的問題，還有其他方法嗎？如果在四邊形外任選一個點O，分別在OA，OB，OC，OD的反向延長線上取A′，B′，C′，D′，使得呢？如果點O取在四邊形ABCD內部呢？分別畫出這時得到的圖形．二、探究新知ODABCA'B'C'D'ODABCA'B'C'D'二、探究新知例2

如圖，△ABC．根據要求作△A'B'C'，使△A

′B′C′∽△ABC，且相似比為1∶5．(1)位似中心在△ABC的一條邊AB上；假設位似中心點O為AB中點，點O位置如圖所示．根據相似比可確定A′，B′，C′的位置．ACBO●A′B′C′●●●二、探究新知(2)以點C為位似中心．CABA′B′(C′)●●●二、探究新知歸納：畫位似圖形的一般步驟：①確定位似中心；②分別連接并延長位似中心和能代表原圖的關鍵點；③根據相似比，確定能代表所作的位似圖形的關鍵點；④順次連接上述各點，得到放大或縮小的圖形．二、探究新知歸納：利用位似進行作圖的關鍵是確定位似中心和關鍵點．位似分為內位似和外位似，內位似的位似中心在連接兩個對應點的線段上；外位似的位似中心在連接兩個對應點的線段之外．三、課堂小結位似的概念及畫法位似圖形的概念位似圖形的性質畫位似圖形四、課堂訓練1．選出下面不同于其他三組的圖形()．A．B．C．D．B四、課堂訓練2．如圖，正五邊形FGHMN與正五邊形ABCDE是位似圖形，若AB∶FG＝2∶3，則下列結論正確的是()．A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN

C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F

BABECDNFGHM四、課堂訓練3．下列說法：①位似圖形一定是相似圖形；②相似圖形一定是位似圖形；③兩個位似圖形若全等，則位似中心在兩個圖形之間；④若五邊形ABCDE與五邊形A′B′C′D′E′位似，則其中△ABC與△A′B′C′也是位似的，且位似比相等．其中正確的有_______

．

①④四、課堂訓練4．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，位似比為2∶3，已知AB＝4，則DE的長為_____．

6四、課堂訓練5．如圖，以O為位似中心，將△ABC放大為原來的2倍．解：(1)作射線OA

，OB

，OC；(2)分別在OA，OB

，OC

上取點

A'

，B'

，C'

，使得(3)順次連接A'，B'，C'

就是所要求圖形．OABCA'B'C'四、課堂訓練6．如圖，F在BD上，BC，AD相交于點E，且AB∥CD∥EF．(1)圖中有哪幾對位似三角形？選其中一對加以證明；(2)若AB＝2，CD＝3，求EF的長．四、課堂訓練

解：(1)△DFE與△DBA，△BFE與△BDC，△AEB與△DEC都是位似圖形；證明略．(2)∵△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，AB＝2，CD＝3，∴∴解得五、作業教科書第51頁習題27.3第2，3，4題．第二十七章相似

27.3位似

第二課時平面直角坐標系中的位似一、情景導入1．兩個相似多邊形，如果它們對應頂點所在的直線相交于一點，我們就把這樣的兩個圖形叫做_____________，這個交點叫做_____________．位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于_________________，對應線段____________________．2．如何判斷兩個圖形是不是位似圖形？位似圖形位似中心相似比(或位似比)

平行或者在一條直線上一、情景導入3．畫位似圖形的一般步驟有哪些？4．基本模型：

一、情景導入

我們知道，在直角坐標系中，可以利用變化前后兩個多邊形對應頂點的坐標之間的關系表示某些平移、軸對稱和旋轉(中心對稱)．那么，位似是否也可以用兩個圖形坐標之間的關系來表示呢？二、探究新知1．在平面直角坐標系中，有兩點A(6，3)，B(6，0)．以原點O為位似中心，相似比為，把線段AB縮小，觀察對應點之間坐標的變化．二、探究新知如圖，把AB縮小后A，B的對應點為A′(，)，B′(

，)；A′′(，)，B′′(

，)．24646B'－2－4－4xyABA'A"B"O2120－2－1－20二、探究新知2．

△ABC三個頂點坐標分別為A(2，3)，B(2，1)，C(5，2)，以點O為位似中心，相似比為2，將△ABC放大，觀察對應頂點坐標的變化．二、探究新知如圖，把△ABC放大后A，B，C的對應點為A'(，

)，B'(

，

)，C'(

，

)；A"(，

)，B"(

，

)，C"(

，

)．24646－2－4－4xyAB2810C－2－6－8－10－8B'A'C'A"B"C"4642104－4－6－4－2－10－4二、探究新知問題1在平面直角坐標系中，以原點為位似中心作一個圖形的位似圖形可以作幾個？問題2

所作位似圖形與原圖形在原點的同側，那么對應頂點的坐標的比與其相似比是何關系？如果所作位似圖形與原圖形在原點的異側呢？二、探究新知歸納：1．在平面直角坐標系中，以原點為位似中心作一個圖形的位似圖形可以作兩個．2．當位似圖形在原點同側時，其對應頂點的坐標的比為k；當位似圖形在原點兩側時，其對應頂點的坐標的比為－k．

3．當k＞1時，圖形擴大為原來的k倍；當0＜k＜1時，圖形縮小為原來的k倍．

二、探究新知

至此，我們已經學習了四種變換：平移，軸對稱，旋轉和位似，你能說出它們之間的異同嗎？在右圖所示的圖案中，你能找到這些變換嗎？二、探究新知例1

如圖，在平面直角坐標系中，△ABO三個頂點的坐標分別為A(－2，4)，B(－2，0)，O(0，0)．以原點O為位似中心，畫出一個三角形使它與△ABO的相似比為3∶2．B2462－2－4xyAO提示：畫三角形關鍵是確定它各頂點的坐標．根據前面的歸納可知，點A的對應點A′的坐標為即(－3，6)，類似地，可以確定其他頂點的坐標．二、探究新知2462－2－4xyABOA′B′二、探究新知解：利用位似中對應點的坐標的變化規律，分別取點A′(－3，6)，B′(－3，0)，O(0，0)．順次連接點A′，B′，O，所得的△A′B′O就是要畫的一個圖形．二、探究新知還有其他畫法嗎？自己試一試．三、課堂小結平面直角坐標系中的位似平面直角坐標系中的位似變換平面直角坐標系中的圖形變換坐標變化規律平面直角坐標系中的位似圖形的畫法四、課堂訓練1．將平面直角坐標系中某個圖形的各點坐標做如下變化，其中屬于位似變換的是()．

A．將各點的縱坐標乘以2，橫坐標不變B．將各點的橫坐標除以2，縱坐標不變C．將各點的橫坐標，縱坐標都乘以2D．將各點的縱坐標減去2，橫坐標加上2C四、課堂訓練2．如圖，小朋在坐標系中以A為位似中心畫了兩個位似的直角三角形，可不小心把E點弄臟，則E點坐標為()．A．(4，－3) B．(4，－2)C．(4，－4) D．(4，－6)A四、課堂訓練3．如圖所示，某學習小組在討論“變化的魚”時，知道大魚與小魚是位似圖形，則小魚上的點(a，b)對應大魚上的點______________．

(－2a，－2b)

四、課堂訓練4．原點O是△ABC和△A′B′C′的位似中心，點A(1，0)與點A′(－2，0)是對應點，△ABC的面積，則△A′B′C′的面積是_______．6四、課堂訓練5．如圖，正方形ABCD和正方形OEFG中，點A和點F的坐標分別為(3，2)，(－1，－1)，則兩個正方形的位似中心的坐標是___________________．(1，0)或(－5，－2)四、課堂訓練6．△ABC三個頂點坐標分別為A(2，－2)，B(4，－5)

，C(5，－2)，以原點O為位似中心，將這個三角形放大為原來的2倍．四、課堂訓練答案：A'(4，－4)，B'(8，－10)，C'(10，－4)；A″(－4，4)，B″(－8，10)，C″(－10，4)．C246－4xyAB2－2B'A'C'A"B"C"四、課堂訓練7．在13×13的網格圖中，已知△ABC

和點M(1，2)．

(1)以點M為位似中心，位似比為2，畫出△ABC的位似圖形△A′B′C′；(2)寫出△A′B′C′

的各頂點坐標．xyABCM四、課