第二十六章

反比例函數

26.2

實際問題與反比例函數

第一課時

一、情景導入反比例函數解析式圖象形狀雙曲線k＞0位置第一第三象限增減性在每一個象限內，y

隨x

的增大而減小k＜0位置第二第四象限增減性在每一個象限內，y

隨x

的增大而增大一、情景導入1．函數的圖象在第_______象限，y隨x的增大而_______．2．自行車運動員在長10000米的路程上騎車訓練，行使全程所用的時間t(秒)與行駛的速度v(米/秒)之間的函數關系式為_________，當行駛的平均速度為12.5米/秒時，行駛全程所用的時間為____________．二，四增大800秒二、探究新知例1

市煤氣公司要在地下修建一個容積為104m3的圓柱形煤氣儲存室．(1)儲存室的底面積S(單位：m2

)與其深度d(單位：m)

有怎樣的函數關系？(2)公司決定把儲存室的底面積S定為500m2，施工隊施工時應該向地下掘進多深．二、探究新知(3)當施工隊按(2)中的計劃掘進到地下15m時，公司臨時改變計劃，把儲存室的深度改為15m．相應地，儲存室的底面積應改為多少(結果保留小數點后兩位)

？思考：圓柱體的體積公式是什么？圓柱體的體積＝圓柱的底面積×圓柱的高解：(1)根據圓柱的體積公式，得Sd＝104，所以S關于d的函數解析式為二、探究新知(2)把S＝500代入，得解得

d＝20(m)．如果把儲存室的底面積定為500m2，施工時應向地下掘進20m深．二、探究新知(3)根據題意，把d＝15代入，得解得

S≈666.67(m2)．當儲存室的深度為15m時，底面積應改為666.67m2．二、探究新知1．在體積為100的圓柱中，它的底面積S與高h的函數關系是_________．2．在面積為12的三角形中，它的一邊長

y與這邊上的高

x的函數關系是_________．二、探究新知3．已知某矩形的面積為36cm2．(1)矩形的長y與寬x的函數關系式為______．(2)當矩形的長為12cm時，其寬為______．(3)當矩形的寬為4cm，其長為______．3cm9cm二、探究新知4．已知矩形的面積為10，則它的長y與寬x之間的關系用圖象大致可表示為()．

A． B．

C．

D．B二、探究新知例2碼頭工人每天往一艘輪船上裝載30噸貨物，裝載完畢恰好用了8天時間．(1)輪船到達目的地后開始卸貨，平均卸貨速度

v(單位：噸/天)與卸貨天數t之間有怎樣的函數關系？(2)由于遇到緊急情況，要求船上的貨物不超過5天卸載完畢，那么平均每天至少要卸載多少噸？二、探究新知思考：平均裝貨速度，裝貨天數與哪個量有關？貨物的總量．平均裝貨速度×裝貨天數＝貨物的總量．貨物的總量＝30×8．二、探究新知解：(1)設輪船上的貨物總量為k噸，根據已知條件得k＝30×8＝240，所以v與t的函數式為二、探究新知(2)把t＝5代入，得

從結果可以看出，如果全部貨物恰好用5天卸載完，那么平均每天卸載48噸．對于函數，當t＞0時，t越小，v越大．這樣若貨物不超過5天卸載完，則平均每天至少要卸載48噸．方法總結：在解決反比例函數相關的實際問題中，若題目要求“至多”,“至少”，可以利用反比例函數的增減性來解答．二、探究新知某鄉鎮要在生活垃圾存放區建一個老年活動中心，這樣必須把1200m3的生活垃圾運走．(1)若每天能運xm3，所需時間為y天，則y與x有怎樣的函數關系？(2)若每輛車一天能運12m3，則5輛這樣的車要用多少天才能運完？(3)在(2)的情況下，運了8天后，剩下的任務要不超過6天完成，那么至少需要增加多少輛這樣的車？二、探究新知解：(1)(2)x＝12×5＝60，代入，得所以若每輛車一天能運12m3，則5輛這樣的車要用20天才能運完．二、探究新知(3)運了8天后剩余的垃圾：1200－8×60＝720(m3)，所以把y＝6天代入，得所以x＝120．120÷12＝10(輛)，10－5＝5(輛)．由上可知：剩下的任務要恰好6天完成，那么需要增加5輛這樣的車．對于函數，當x>0時，x越小，y越大．這樣，剩下的任務要不超過6天完成，那么每天至少需要運120m3垃圾，也就是至少需要增加5輛這樣的車．二、探究新知例題反思：如何運用反比例函數解決實際問題？三、課堂小結現實世界中的反比例函數實際應用歸納抽象反比例函數

的圖象和性質1．審題；明確常量和變量，找出變量間的數量關系；2．列出反比例函數解析式；3．運用反比例函數的圖象和性質解決問題．四、課堂訓練1．判斷題(對的在括號內填“√”，錯的填“×”)．(1)路程一定時，行駛時間與行駛速度成反比例(

)(2)圓柱體體積一定時，底面積與高成反比例()(3)長方形周長一定時，長與寬成反比例()(4)圓的面積與半徑成反比例()√√××四、課堂訓練2．面積為2的直角三角形一直角邊為x，另一直角邊長為

y，則y與x的變化規律用圖象可大致表示為()．

A．xy1O2xy4O4B．xy1O4C．xy1O414D．C四、課堂訓練3．一張正方形的紙片，剪去兩個一樣的小矩形得到一個“E”圖案，如圖所示，設小矩形的長和寬分別為x，y，剪去部分的面積為20，若則y與x的函數圖象是()．

AA．D．B．C．四、課堂訓練4．已知一個長方體的體積是100m3，它的長是ycm，寬是5cm，高是xcm．則y與x的函數關系是_______

；自變量x的取值范圍是_______

；當x＜4時，y的值_______．5．體積為20cm3的面團做成拉面，面條的總長度y(單位：cm)與面條粗細(橫截面積)S(單位：cm2)的函數關系為_______，若要使拉出來的面條粗不超過1mm2，則面條的總長度應不短于_______cm．

x＞0＞52000四、課堂訓練6．司機王某上午駕車從甲地去乙地，他以80千米/時的平均速度用6小時到達乙地．當他按原路勻速返回時，汽車的速度v與時間t的函數關系式為_______．若王某必須在5小時內回到甲地，那么返程時的平均速度不能小于_________

．96千米/時四、課堂訓練7．如圖，某玻璃器皿制造公司要制造一種容積為1L(1L＝1dm3)的圓錐形漏斗．

(1)漏斗口的面積S(dm3)與漏斗的深d(dm)有怎樣的函數關系？(2)如果漏斗的深為10cm，那么漏斗口的面積為多少？(3)如果漏斗口的面積為60cm2

，則漏斗的深為多少？四、課堂訓練解：(1)(2)10cm＝1dm，把d＝1代入解析式，得S＝3，所以漏斗口的面積為3dm2．(3)60cm2＝0.6dm2，把S＝0.6代入解析式，得d＝5．所以漏斗的深為5dm．五、作業教科書習題26.2第2，3，7

題．第二十六章反比例函數

26.2實際問題與反比例函數

第二課時說一說反比例函數的圖象與性質反比例函數解析式圖象形狀雙曲線k＞0位置第一第三象限增減性在每一個象限內，y

隨x

的增大而減小k＜0位置第二第四象限增減性在每一個象限內，y

隨x

的增大而增大一、情景導入一、情景導入公元前3世紀，古希臘科學家阿基米德發現：若杠桿上的兩物體與支點的距離與其重量成反比，則杠桿平衡．后來人們把它歸納為“杠桿原理”．通俗地說，杠桿原理為：

阻力×阻力臂＝動力×動力臂．動力阻力臂動力臂阻力二、探究新知例3

小偉欲用撬棍撬動一塊大石頭，已知阻力和阻力臂分別為1

200N

和0.5m．(1)動力F與動力臂l有怎樣的函數關系？當動力臂為1.5m時，撬動石頭至少需要多大的力？(2)若想使動力F不超過題(1)中所用力的一半，則動力臂l至少要加長多少？二、探究新知解：(1)根據“杠桿原理”，得

Fl＝1200×0.5，所以F關于l的函數解析式為當l＝1.5m

時，對于函數當l＝1.5m時，F＝400N，此時杠桿平衡．因此撬動石頭至少需要400N的力．二、探究新知(2)對于函數F隨l的增大而減小．因此，只要求出F＝200N時對應的l的值，就能確定動力臂l至少應加長的量．當F＝400×＝200時，由200＝

得3－1.5＝1.5(m).對于函數當l＞0時，l越大，F越小．因此，若想用力不超過400N的一半，則動力臂至少要加長1.5m．二、探究新知思考：在物理中，我們知道，在阻力和阻力臂一定的情況下，動力臂越長就越省力，你能用反比例函數的知識對其進行解釋嗎？阻力×阻力臂＝動力×動力臂因為阻力和阻力臂長為大于0的定值，動力臂長大于0，由反比例函數的性質知道，動力隨著動力臂的增大而減小．即動力臂越長就越省力．

二、探究新知假設阿基米德有500牛的力，地球的重量約為6×1025牛(記為阻力)，阻力臂為2000千米，請你幫阿基米德設計該用動力臂為多長的杠桿才能把地球撬動？解：2000千米＝2×106米，由已知得F×l＝6×1025×2×106＝1.2×1032

米，變形得：當F＝500時，l＝2.4×1029米．故用2.4×1029米動力臂的杠桿才能把地球撬動．二、探究新知某校科技小組進行野外考察，利用鋪墊木板的方式通過一片爛泥濕地．當人和木板對濕地的壓力一定時，隨著木板面積S(m2)的變化，人和木板對地面的壓強p(Pa)也隨之變化變化．如果人和木板對濕地地面的壓力合計為600N，那么：(1)用含S的代數式表示p，p是S的反比例函數嗎？為什么？(2)當木板面積為0.2m2

時，壓強是多少？(3)要求壓強不超過6000Pa，木板面積至少要多大？(4)在直角坐標系中，作出相應的函數圖象．二、探究新知解：(1)由，得p是S的反比例函數，因為對于S的每一個確定的值，p都有唯一確定的值與它對應，根據函數定義和反比例函數的定義，可知p是S的反比例函數．(2)當S＝0.2m2時，故當木板面積為0.2m2時，壓強是3000Pa．二、探究新知(3)當p＝6000時，由得對于函數，當S＞0時，S越大，p越小．因此，若要求壓強不超過6000Pa，木板面積至少要0.1

m2．二、探究新知(4)如圖所示．利用反比例函數解決實際問題時，既要關注函數本身又要考慮實際意義．0.6100020000.10.5O0.30.20.43000400050006000S/m2p/Pa二、探究新知如果細心觀察，你會發現生活中的兩個量之間，很多都具有反比例關系，請你舉例說明，好嗎？生活中常用的刀具，使用一段時間后就會變鈍，用起來很費勁，如果把刀刃磨薄，刀具就會鋒利起來．重型坦克，推土機在輪子上安裝又寬又長的履帶．大型載重卡車裝有許多車輪．充滿氣體的氣球用手擠壓或者用腳踩會爆．三、課堂小結反比例函數在生活實際(物理學科)中的應用．“杠桿原理”：動力×動力臂＝阻力×阻力臂．壓力＝壓強×受力面積．①審題；明確常量和變量，找出變量間的數量關系；②列出反比例函數解析式；③運用反比例函數的圖象和性質解決問題．注意：實際問題中的兩個變量往往都只能取非負值；作實際問題中的函數圖象時，橫、縱坐標的單位長度不一定相同．1．某人對地面的壓強與他和地面接觸面積的函數關系如圖所示．若某一沼澤地地面能承受的壓強不超過300N/m2，那么此人必須站立在面積為多少的木板上才不至于下陷(木板的重量忽略不計)()．

A．至少2

m2

B．至多2m2

C．大于2m2

D．小于2m2

A四、課堂訓練O602040S/m2p/(N/m2)四、課堂訓練2．某氣球內充滿了一定質量的氣體，當溫度不變時，氣球內氣體的氣壓p(kPa)是氣體體積V(m3)

的反比例函數，其圖象如圖所示，當氣球內的氣壓大于120kPa時，氣球將爆炸．為了安全起見，氣球的體積應()．

A．不大于B．小于C．不小于D．大于O60V/m3p/kPa1.6C四、課堂訓練3．受條件限制，無法得知撬石頭時的阻力，小剛選擇了動力臂為1.2米的撬棍，用了500牛頓的力剛好撬動；小明身體瘦小，只有300牛頓的力量，他該選擇動力臂為____的撬棍才能撬動這塊大石頭．2米四、課堂訓練4．某汽車的功率P

為一定值，汽車行駛時的速度

v(m/s)與它所受的牽引力F(N)之間的函數關系如下圖所示：(1)這輛汽車的功率是多少？請寫出這一函數的解析式；(2)當它所受牽引力為1

200牛時，汽車的速度為多少km/h？(3)如果限定汽車的速度不超過30m/s，則F在什么范圍內？四、課堂訓練解：(1)P＝Fv＝300×20＝6000．所以(2)把F＝1200N代入得v＝50．50m/s＝180km/m．四、課堂訓練(3)把v＝30代入得F＝2000．對于函數當v＞0時，v越小，F越大．因此，如果限定汽車的速度不超過30m/s，則F≥2000N．五、作業必做題：教科書習題26.2第6題．選做題：教科書習題26.2第9題．第二十六章反比例函數

26.2實際問題與反比例函數

第三課時

一、情景導入利用反比例函數解決實際問題時，既要關注函數本身又要考慮實際意義．現實世界中的反比例函數實際應用歸納抽象反比例函數

的圖象和性質一、情景導入上節課我們運用了反比例函數知識解決了生活中的一些簡單問題，本節課我們繼續用反比例函數解決生活中的一些問題．物理課中我們知道電學中有：用電器的功率P(單位：W)，用電器兩端的電壓U(單位：V)，用電器的電阻R(單位：Ω)．這三者有什么關系呢？二、探究新知例4

一個用電器的電阻是可調節的，其范圍為110~220Ω．已知電壓為220V，這個用電器的電路圖如圖所示．(1)功率P與電阻R有怎樣的函數關系?(2)這個用電器功率的范圍是多少?U~二、探究新知解：(1)根據電學知識，當U＝220時，得①二、探究新知(2)根據反比例函數的性質可知，電阻越大，功率越小．把電阻的最小值R＝110代入①式，得到功率的最大值

把電阻的最大值R＝220代入①式，得到功率的最小值因此用電器功率的范圍為220~440W．二、探究新知思考：結合上例，想一想為什么收音機，臺燈的亮度以及電風扇的轉速可以調節？

二、探究新知收音機的音量，臺燈的亮度以及電風扇的轉速都由用電器的輸出功率決定．在電壓一定的情況下，用電器的輸出功率是用電器電路中電阻的反比例函數．所以調節用電器的電阻的大小，就能調節用電器的輸出功率，從而能調節收音機的音量，臺燈的亮度以及電風扇的轉速．D二、探究新知1．在公式中，當電壓U一定時，電流I與電阻R之間的函數關系可用圖象大致表示為()．

A．C．B．D．IRIRIRIR二、探究新知2．在某一電路中，保持電壓不變，電流I(安培)和電阻R(歐姆)成反比例，當電阻R＝5歐姆時，電流I＝2安培．(1)求I與R之間的函數關系式；(2)當電流I＝0.5時，求電阻R的值．

二、探究新知解：(1)設因為當電阻R＝5歐姆時，電流I＝2安培，所以U＝10．所以I與R之間的函數關系式為

(2)當I＝0.5安培時，解得R＝20(歐姆)．3.一封閉電路中,電流I(A)與電阻

R(Ω)之間的函數圖象如下圖，回答下列問題:(1)寫出電路中電流

I(A)與電阻

R(Ω)之間的函數關系式．解：(1)設由圖象知，當電阻R＝3時，I＝2，所以

U＝3×2＝6．所以I與R之間的函數關系式為

OI/A32二、探究新知R/Ω(2)如果一個用電器的電阻為5

Ω，其允許通過的最大電流為1A，那么把這個用電器接在這個封閉電路中，會不會燒壞？試通過計算說明．解：(2)當

R＝5時，>1．所以這個用電器接在這個封閉電路中，會燒壞．二、探究新知OI/A32R/Ω二、探究新知(3)若允許的電流不得超過4A

時，那么電阻R的取值應控制在什么范圍？解：(3)當I＝4時，對于函數當R＞0時，R

越大，I越小．

因此，若允許的電流不得超過

4A時，那么電阻

R的取值應不小于

1.5Ω．OI/A32R/Ω三、課堂小結反比例函數在生活實際(物理學科)中的應用．①審題；明確常量和變量，找出變量間的數量關系；②列出反比例函數解析式；③運用反比例函數的圖象和性質解決問題．A四、課堂訓練1．當電壓為220V時(電壓＝電流×電阻)，通過電路的電流I(A)與電路中的電阻R(Ω)之間的函數關系為()．

四、課堂訓練5．蓄電池的電壓為定值．使用此電源時，電流I(A)是電阻R(Ω)的反比例函數，其圖象如圖所示．(1)求這個反比例函數的解析式；(2)當R＝10Ω時，電流能是4A嗎？為什么？O9I(A)4R(Ω)四、課堂訓練解：(1)設把

M(4，9)代入得k＝4×9＝36．所以這個反比例函數的解析式為(2)當R＝10Ω時，

所以電流不可能是4A．O9I(A)4R(Ω)五、作業必做題：教科書習題26.2第4，8題．

選做題：若有兩并聯用電器電路圖如圖所示：其中一用電器電阻R1＝8.5Ω，你能想辦法得到另一個用電器的電阻R2是多少？小明向老師借了一個電流表，通過測量得出I1＝0.4A，I2＝0.17A，因此他斷言R2＝20Ω．你能說明他是怎樣得出結論的嗎？R1R2第二十六章反比例函數

26.2實際問題與反比例函數

第四課時一、情景導入1．反比例函數的概念定義：形如_______(k為常數，k≠0)的函數稱為反比例函數，其中x是自變量，y是x的函數，k是比例系數．防錯提醒：(1)k≠0；

(2)自變量x≠0；

(3)函數y≠0．一、情景導入2．反比例函數的圖象與性質

圖象所在象限性質(k≠0)k＞0一，三象限(x，y同號)在每個象限內，y

隨x

的增大而減小k＜0二，四象限(x，y

異號)在每個象限內，y

隨x

的增大而增大xyoxyo一、情景導入實際問題與反比例函數利用反比例函數解決實際問題時，既要關注函數本身又要考慮實際意義．現實世界中的反比例函數實際應用歸納抽象反比例函數

的圖象和性質二、探究新知某單位要建一個200平方米的矩形草坪，已知它的長是y米，寬是x米，則y與x之間的函數關系為________；當它的寬為8米時，則它的長為______．當它的長不小于20米時，則它的寬至多為______．25米10米二、探究新知例病人按規定的劑量服用某種藥物，測得服藥后2小時，每毫升血液中的含藥量達到最大值為4毫克．已知服藥后2小時前每毫升血液中的含藥量y(單位：毫克)與時間x(單位：小時)成正比例；2小時后y與x成反比例(如圖)．

根據以上信息解答下列問題：Oy/毫克x/小時24二、探究新知(1)求當0≤x≤2時，y與x的函數解析式；(2)求當x＞2時，y與x的函數解析式；(3)若每毫升血液中的含藥量不低于2毫克時治療有效，則服藥一次，治療疾病的有效時間是多長？二、探究新知解：(1)當0≤x≤2時，y與x成正比例函數關系．設y＝kx，由于點(2，4)在線段上，所以4＝2k．所以k＝2．所以

y與x的函數解析式為：y＝2x．

二、探究新知(2)當x＞2時，y與x成反比例函數關系設由于點(2，4)在反比例函數的圖象上，所以解得k＝8．所以當x＞2時，y與x的函數解析式為二、探究新知(3)當0≤x≤2時，含藥量不低于2毫克，即2x≥2，解得

x≥1，所以1≤x≤2．當x＞2時，含藥量不低于2毫克，即≥2，解得

x≤4．所以2<x≤4．4－1＝3(小時)所以服藥一次，治療疾病的有效時間是3小時．二、探究新知如圖所示，制作某種食品的同時需將原材料加熱，設該材料溫度為y℃，從加熱開始計算的時間為x分鐘．據了解，該材料在加熱過程中溫度y與時間x成一次函數關系．已知該材料在加熱前的溫度為4℃，加熱一段時間使材料溫度達到28℃時停止加熱，停止加熱后，材料溫度逐漸下降，這時溫度y與時間x成反比例函數關系，已知第12分鐘時，材料溫度是14℃．Oy(℃)x(min)1241428二、探究新知(1)分別求出該材料加熱和停止加熱過程中y與x的函數關系式(寫出x的取值范圍)；(2)根據該食品制作要求，在材料溫度不低于12℃的這段時間內，需要對該材料進行特殊處理，那么對該材料進行特殊處理的時間為多少分鐘？二、探究新知解:

(1)由圖知點(12，14)在反比例函數的圖象上，設反比例函數的解析式為所以所以k2＝168．所以當y＝28時，可求得x＝6．

因此可由圖知點(6，28)，(0，4)在一次函數的圖象上．

設一次函數的解析式為y＝k1x＋b，則所以

y＝4x＋4(0≤x≤6)．

Oy(℃)x(min)1241428二、探究新知(2)當y＝12時，由y＝4x＋4，解得

x＝2．當y＝12時，由