PAGEPAGE1無處單調函數相關性質研究TOC\o"1-2"\h\u19221020831引言 11732071602無處單調函數的定義 112523964352.1函數的單調性 115396587982.2無處單調函數的定義 220149552833無處單調函數的例子及性質 216838118383.1典型常見無處單調函數 22860611003.2無處連續的單調函數 317605057143.3處處可微的無處單調函數 77898468324結語 913592833174.1結語 95436720334.2啟示 921004242934.3局限性 914949030654.4努力方向 9【摘要】本文主要列舉了具有代表性的典型無處單調函數，如狄利克雷函數及黎曼函數并將黎曼函數特點一般化.同時通過對材料的整合，舉例分析無處單調的連續函數和處處可導的無處單調函數，并對其相關性質進行了初步歸納?！娟P鍵字】無處單調函數；不單調；狄利克雷函數；連續函數1引言函數單調性是函數的一個重要特性，也可稱其為函數的增減性。通常，我們遇到的函數都是在某個區間內是增函數或者減函數的函數，這類型函數是具有單調性的函數。既然有在指定區間上具有單調性的函數，那么相應地也會有在指定區間內不具有單調性的函數，函數在某個區間上“不單調”問題是近年來高考的常見題型，進一步也能延伸為在定義域內任何區間上都不具有單調性的函數，我們統稱這類函數為無處單調函數。單調函數是我們在數學的學習中極為常見的函數，在各個學段的數學學科學習中，我們也對函數的單調性進行了深入的研究和分析。無處單調函數與其相對，但是無處單調函數的概念和例子在國內外文獻中被提及的頻率并不高，只有少數對其進行研究分析的相關文獻。例如，汪林在《實分析的反例》一書中對無處單調函數進行了分析介紹，從實分析的角度對無處單調函數進行了反例的闡述；《實分析導論》一書中也對無處單調函數及其相關內容進行了闡述，為無處單調函數的研究提供了基本理論素材和研究方向。本文通過閱讀大量圖書文獻，闡述了無處單調函數的定義，并列舉了具有代表性的典型無處單調函數，如狄利克雷函數及黎曼函數并加以證明；舉例分析無處單調的連續函數和處處可導的無處單調函數等多方面內容進行一些探討，并舉出部分例子給予足夠的支撐。函數“不單調”問題相關內容可在解答函數問題時將問題進行適當轉化，如果理解深入、合理，進行恰當的轉化，就會使問題明朗、簡單化，從而輕松解決REF_Ref1650709825\n\h[1]。2無處單調函數的定義2.1函數的單調性函數的單調性，也叫做函數的增減性，當函數的自變量在其定義區間內增大（或減?。r，函數值也隨著增大（或減?。?，則稱該函數為在該區間上具有單調性.定義2.1REF_Ref1651298070\n\h[2]設函數在內有定義，，且，若，則稱在內單調增加，并稱為的單調增區間.若，則稱在內單調減少，并稱為的單調減區間.一般地，設一連續函數的定義域為，則如果對于屬于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值且，都有，即在上具有單調性且單調增加，那么就說明在這個區間上是增函數.相反地，如果對于屬于定義域內某個區間上的任意兩個自變量的值且，都有，即在上具有單調性且單調減少，那么就說明在這個區間上是減函數.以上的增函數和減函數統稱單調函數.有些函數在整個定義域內是單調的；有些函數在定義域內的部分區間上是增函數，在部分區間上是減函數；有些函數是非單調函數，如常數函數.2.2無處單調函數的定義定義2.2.1REF_Ref2013555939\n\h[3]我們說一個函數在處不遞減，在的鄰域內，對于所有的，.如果在處不增加或在處不減少，那么我們說在點處是非單調的.相應地，函數有單調增區間及單調減區間，也有不單調的區間.將在定義區間上每點處均不單調的函數稱為無處單調函數，也可稱其為處處不單調函數，即函數在定義域上處處不單調.定義2.2.2REF_Ref2013858465\n\h[4]函數在區間上無處單調是指，如果對任意子區間，在上都不單調.很顯然，函數在區間上無處單調就是指函數在上處處不單調.初等函數是不能作為無處單調函數的例子的。事實上，初等函數在其定義域區間上連續，故初等函數在其可導的區間上，其導函數仍然是初等函數且連續，如果導函數處處為零，這時原函數是常值函數，自然是單調函數了，若導數在某點不為零，那由函數的連續性，自然該導函數在該點的某鄰域上保持同號，從而得到原函數在該鄰域上就是單調函數了，所以初等函數不可能是處處不單調函數。處處連續無處可導或無處單調的函數，它們的構造往往令人感嘆，構造者對技巧的使用如此巧妙，令人欽佩。在數學分析課程中這類函數不常見，相對于初等函數，這類函數顯得矯揉造作，而被人們稱為“病態函數”，但是這類函數的數量卻多于初等函數，初等函數反而是占少數，它們更具有典型性。3無處單調函數的例子及性質3.1典型常見無處單調函數在大學的學習中，無處單調函數并不多見，最簡單的無處單調函數就是Dirichlet狄利克雷函數和Riemann黎曼函數.例3.1.1定義在內的狄利克雷函數其在上無處單調函數.事實上，設為有理數，為無理數.無論或，都有.所以為無處單調函數.例3.1.2定義在區間上的黎曼函數黎曼函數在定義域內不單調，為無處單調函數.事實上，若，為無理數，使在或內單調.由于為無理數，，又為則在上只能單調遞增，在上只能單調遞減.取為無理數，取為有理數，且，使，，與假設在內單調遞增相矛盾.同理可證得在內不單調遞減，與在內單調遞減相矛盾.所以黎曼函數在任意無理點的任意小單側鄰域內均不單調，即黎曼函數在包含無理點的任意區間內均不單調.綜上所述，黎曼函數在其定義域內不存在單調區間.下面根據黎曼函數的特點，我們給出一個非負函數的是無處單調的充分條件.定理3.1.1設為上的非負函數，且對任意，集合是有限集.則為無處單調函數，除非在某些區間上恒為零.證明記，則由為上的非負函數，可知而任意，集合是有限集，因此集合是可列集.記，則是個稠密集，即對任意實數存在事實上，若存在實數，使得，則這與為可列集矛盾.因此是個稠密集.若在開區間上單調，且在上不恒為零，則取數且.由于在實數集上稠密，則存在，使得，，但，這與在上單調矛盾，因此除非在某些區間上恒為零，不然其在任何區間上都不可能單調，即它是無處單調函數.上述的例子都不具備處處連續性，要構造一個處處連續，甚至處處可導的無處單調函數是相當困難的，是經歷一個相當漫長的歷史時期，才有了較為簡單的構造法。3.2無處連續的單調函數我們知道，對于單調函數是幾乎處處可導的，故處處不可導的函數自然是無處單調，從而處處連續但處處不可導的函數自然也就是處處連續但處處不單調的函數，例如下列3.2.1(參見文獻[3])的構造.同樣對于單調函數而言，其嚴格極大值點全體至多可數集且不稠密的，如果一個函數能在稠密集上取嚴格極大值，自然就是個無處單調的函數，如例3.2.2（參見文獻[4]）.Katznelson和Stromberg構造出了處處可微處處不單調的函數REF_Ref2024009893\n\h[5].例3.2.1REF_Ref2013555939\n\h[3]在，設，而在其他的值處，用1為周期來延拓，即：對每個實數和整數，都有.當時，定義，于是，對于每個整數，是有周期的周期函數，其極大值為.最后，以為定義域規定：.則是處處連續但處處不可導的函數REF_Ref2013555939\n\h[3].故由單調函數幾乎處處可導的性質，可知無處單調.而且對于任意數，函數仍是無處單調函數.事實上，因為，故據Weierstrass的-判別法，這級數在上一致收斂，因此在上處處連續.在任何形如的點，式中是整數，是正整數，當時就有，從而.對于任何正整數，設是正數.于是，當時，所以.同樣地，.于是，有，則在處不可導.又由于形如的點在中是稠密的.所以不可能在一個非空開區間上單調.例3.2.2REF_Ref2013858465\n\h[4]任意給定實數集上的稠密集，則可構造上上的連續函數上，其恰好在上取嚴格極大值.此時是無處單調函數.記為開區間，為去心開區間設在中稠密，有，使，，作可知在是連續，在且只在取嚴格極大值.對，取，使不含，，，并且，，以及中所有，有.令可知在上連續，在且只在，取嚴格極大值.若已經構成，在上連續，同時在且只在取嚴格極大值，即對每一個，存在，當時，.對，取，使（1），，（2）不包含，，，（3）當時，其中，這時，對每，必有或，令在上連續，在且只在取嚴格極大值，并且從而可知在上一致收斂，故在上連續，并且根據上述（1），（2），（3）要求知，顯然是關于上升列，對任何，在中及都小于，即在點取嚴格極大值.另一方面，除以外別無他點再取嚴格極大值.因任取，為的嚴格極大點，即存在，使在中，.考慮有下列情形：1）若至多有有限個，，令，這時，不可能是極大值，（因極大點只能是，，，），因，更不可能是的極大值，因此，這種情形不可能.2）若有無限個，使，則得，且，知當充分大時必有，又得，矛盾.根據上述例子,很自然會提出一個問題：那是否每個無處單調的函數，其所有的極大點全體是否是稠密集呢？下面性質給出這個問題的正面回答.性質3.2.1設在上連續且無處單調，記為的所有極大點全體，則在實數集上稠密，即在區間上必有極大值點.證明由于在上無處單調，故不是遞增函數，則存在，使得但.由于在點連續，則存在，使得.同理，由于在上無處單調，故不是遞減函數，則存在，使得但.由于在點連續，則存在，使得.又在閉區間上連續，從而在上存在最大值點，根據上面兩個不等式，這最大值點是在開區間上取得，故為極大值點.性質3.2.2設在上連續且無處單調，記，其中為在點處的Dini導數，則含有一個稠的集.證明對任意自然數，令，及則含是閉的稀疏集.事實上，設，則存在，使得.下證.設則由極限保號性，當充分大時，有，而由，故，又是連續函數，則，即證得因此是閉集.下證是稀疏集，即證對任意開區間都含有子區間使得設為開區間，取開區間且由于無處單調，自然在不是單調遞增的，則存在數滿足.又由是閉區間上的連續函數，在上有最小值,則由，存在，使得由此，則事實上，對任意有，但，這說明了，即證得因此是個閉稀疏集.引入集合，同理可證是個閉稀疏集.令，由于每個是稠開子集，則是稠集.下證設則由得，于是有，從而由得，于是有，從而證得含有一個稠的集.3.3處處可微的無處單調函數處處可微，但在任何區間上不單調的在上的實值函數，在實分析的書籍材料中很少給出，甚至極少提及這一問題,構造方式極其復雜，技巧性很強.下面的例子是由Katznelson和Stromberg構造的，詳細內容可參考文獻[3],[4]等，其中涉及如下五條引理和一條定理：引理3.3.1REF_Ref2013858465\n\h[4]設和是兩個實數（i）若，則；（ii）若和，則.引理3.3.2REF_Ref2013858465\n\h[4]設則，其中與是任意兩個互異實數.引理3.3.3REF_Ref2013858465\n\h[4]若是引理2中的函數，設其中和是正實數，是任意實數，則，其中與是任意兩個互異實數.引理3.3.4REF_Ref2013858465\n\h[4]設是引理3中的函數組成的函數列，對每一個定義..若，.則級數在的每一有界子集上一致收斂，函數在可微，且.特別，若對所有的，，則在上處處可微，且.引理3.3.5REF_Ref2013858465\n\h[4]設是一組互不相交的開區間，設是的中點，和是正實數.則存在一個引理3中的函數對每一個，滿足（i）；（ii）；（iii）.定理3.3.1REF_Ref2013858465\n\h[4]設和是兩個不相交的在中的可數集，則存在一個在上處處可微的實值函數，滿足，，，且對任意，都有.推論存在一個在上處處可微的實值函數，在的任一子區間上不單調，是上的有界函數REF_Ref1652961963\r\h[4].證明設和是上的互不相交的稠密子集，應用前面的定理得到上處處可微的函數與，對任意的及滿足，，，，.記.則對任意的及滿足，，，因為和在上處處稠密，所以在的任一子區間上不能單調.對于處處可微的無處單調函數有如下的性質：性質3.3.1設是上的無處單調的可微函數，1)若則在是不連續；2）記，則是稠密集.證明1）若在點連續，即，由不妨設，則由極限的保號性，存在的鄰域，使得，于是在區間上嚴格單調函數，這與已知無處單調矛盾，因此在不連續.記，由文獻[4]定理6.4.2，可得是個稠集,而由1）得.因此是稠密集.性質3.3.2若是上的無處單調的可微函數，則對任意，函數不是無處單調函數.證明由性質3.3.1，可取到稠密多個數，滿足且在連續，即有于是對任意，存在當時，有.從而有因此函數在區間上嚴格單調遞增，從而其不是無處單調函數.4結語4.1結語從初中起，我們就接觸到了簡單的函數，在高中時又進一步加深了對函數相關內容的學習，但我們之前接觸到的函數基本都是增函數或者減函數，即單調函數。除了單調函數之外，是否有非單調函數呢？我們在數學學科的學習中應該學會拓展思維，充分思考已學過的數學知識，聯想到一類不具有單調性的函數，不論是在指定區間上不單調還是在定義域上不單調，這類函數都可以成為我們的研究方向。歷史進程表明，重要的數學概念對數學發展的作用是不可估量的，無處單調函數的概念在數學發展史上也是占據有一定的歷史地位的，與其相關的更深入的研究方向和內容還在等待著我們進一步去發掘。函數的不單調性在很多地方有重要的應用，比如，在高考題試題中，函數“不單調”問題已經成為了常見題型，作為初高中教學及考試中的重點，這也應引起我們的重視。當然，無處單調函數在其它方面也還有很多的用處，本文就不一一舉例說明了。4.2啟示知識是無止境的，我們現有的知識只能解決一小部分問題，還要經過不斷地學習知識，不斷地總結經驗，學會用發展的眼光看待事物，不斷地思考創新，不斷地去發現問題，不斷地解決問題。只有知識豐富了，解決問題的方法也就多了