江蘇數學初賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.函數\(y=\sqrt{x-1}\)中，自變量\(x\)的取值范圍是（）A.\(x\geq1\)B.\(x\gt1\)C.\(x\lt1\)D.\(x\leq1\)2.一元二次方程\(x^2-3x=0\)的解是（）A.\(x=3\)B.\(x_1=0\)，\(x_2=3\)C.\(x=-3\)D.\(x_1=0\)，\(x_2=-3\)3.若點\(A(2,m)\)在反比例函數\(y=\frac{6}{x}\)的圖像上，則\(m\)的值為（）A.\(3\)B.\(-3\)C.\(2\)D.\(-2\)4.一個多邊形的內角和是\(720^{\circ}\)，這個多邊形是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.七邊形5.化簡\(\frac{x^2-1}{x}\div\frac{x-1}{x^2}\)的結果是（）A.\(x(x+1)\)B.\(x(x-1)\)C.\((x+1)\)D.\((x-1)\)6.已知\(\odotO\)的半徑為\(5\)，圓心\(O\)到直線\(l\)的距離為\(3\)，則直線\(l\)與\(\odotO\)的位置關系是（）A.相交B.相切C.相離D.無法確定7.拋物線\(y=2(x-3)^2+4\)的頂點坐標是（）A.\((3,4)\)B.\((-3,4)\)C.\((3,-4)\)D.\((-3,-4)\)8.數據\(2\)，\(3\)，\(4\)，\(5\)，\(4\)，\(3\)的眾數是（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(3\)和\(4\)9.若\(a\ltb\)，則下列不等式正確的是（）A.\(a-2\gtb-2\)B.\(-\frac{a}{2}\lt-\frac{2}\)C.\(2a\lt2b\)D.\(a^2\ltb^2\)10.如圖，在\(\triangleABC\)中，\(DE\parallelBC\)，\(AD=1\)，\(DB=2\)，則\(\frac{DE}{BC}\)的值為（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(\frac{3}{4}\)答案：1.A2.B3.A4.C5.A6.A7.A8.D9.C10.B二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列運算正確的是（）A.\(a^2+a^3=a^5\)B.\(a^6\diva^2=a^4\)C.\((a^2)^3=a^6\)D.\((ab)^2=a^2b^2\)2.以下哪些是無理數（）A.\(\pi\)B.\(\sqrt{4}\)C.\(\sqrt{3}\)D.\(0.1010010001\cdots\)3.下列函數中，\(y\)隨\(x\)的增大而增大的函數有（）A.\(y=2x-1\)B.\(y=-3x+2\)C.\(y=\frac{1}{2}x\)D.\(y=x^2(x\gt0)\)4.一個正方體的表面展開圖可以是下列圖形中的（）A.田字形B.一四一型C.二三一型D.三三型5.下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）A.矩形B.菱形C.等腰三角形D.圓6.若關于\(x\)的一元二次方程\(x^2-2x+m=0\)有兩個不相等的實數根，則\(m\)的值可以是（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)7.以下說法正確的是（）A.三角形的內角和為\(180^{\circ}\)B.直角三角形的兩個銳角互余C.三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角之和D.三角形的外角大于任何一個內角8.已知點\(A(x_1,y_1)\)，\(B(x_2,y_2)\)在一次函數\(y=kx+b\)的圖像上，當\(x_1\ltx_2\)時，\(y_1\lty_2\)，則（）A.\(k\gt0\)B.\(k\lt0\)C.\(b\gt0\)D.\(b\)的值不確定9.下列因式分解正確的是（）A.\(x^2-4=(x+2)(x-2)\)B.\(x^2+2x+1=(x+1)^2\)C.\(x^2-x=x(x-1)\)D.\(x^2-2x+3=(x-3)(x+1)\)10.已知\(\odotO_1\)和\(\odotO_2\)的半徑分別為\(r_1=2\)，\(r_2=3\)，圓心距\(d=5\)，則兩圓的位置關系是（）A.外離B.外切C.相交D.內切答案：1.BCD2.ACD3.ACD4.BCD5.ABD6.AC7.ABC8.AD9.ABC10.B三、判斷題（每題2分，共10題）1.所有的偶數都是合數。（）2.若\(a\)，\(b\)為實數，且\(a+b=0\)，則\(a\)，\(b\)互為相反數。（）3.半徑為\(2\)的圓的周長是\(4\pi\)。（）4.不等式組\(\begin{cases}x\gt-1\\x\lt2\end{cases}\)的解集是\(-1\ltx\lt2\)。（）5.相似三角形的面積比等于相似比。（）6.一次函數\(y=3x-1\)的圖像經過一、三、四象限。（）7.若\(x^2=9\)，則\(x=3\)。（）8.三角形的重心是三角形三條角平分線的交點。（）9.二次函數\(y=-x^2\)的圖像開口向上。（）10.概率為\(0\)的事件是不可能事件。（）答案：1.×2.√3.√4.√5.×6.√7.×8.×9.×10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.計算：\((\frac{1}{2})^{-1}-\sqrt{9}+(\pi-3.14)^0\)答案：\[\begin{align}&(\frac{1}{2})^{-1}-\sqrt{9}+(\pi-3.14)^0\\=&2-3+1\\=&0\end{align}\]2.解方程：\(\frac{2}{x-1}=\frac{1}{x+1}\)答案：方程兩邊同乘\((x-1)(x+1)\)得：\(2(x+1)=x-1\)\(2x+2=x-1\)\(2x-x=-1-2\)\(x=-3\)經檢驗，\(x=-3\)是原方程的根。3.已知一個三角形的兩邊長分別為\(3\)和\(5\)，第三邊的長是方程\(x^2-6x+8=0\)的根，求這個三角形的周長。答案：解方程\(x^2-6x+8=0\)，\((x-2)(x-4)=0\)，\(x=2\)或\(x=4\)。當第三邊為\(2\)時，\(2+3=5\)，不滿足三角形三邊關系，舍去。當第三邊為\(4\)時，周長為\(3+4+5=12\)。4.求二次函數\(y=x^2-4x+3\)的對稱軸和頂點坐標。答案：對于二次函數\(y=ax^2+bx+c\)，對稱軸\(x=-\frac{2a}\)，這里\(a=1\)，\(b=-4\)，對稱軸\(x=-\frac{-4}{2\times1}=2\)。把\(x=2\)代入函數得\(y=2^2-4\times2+3=-1\)，頂點坐標為\((2,-1)\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.在平面直角坐標系中，一次函數\(y=kx+b\)（\(k\neq0\)）的圖像與反比例函數\(y=\frac{m}{x}\)（\(m\neq0\)）的圖像相交于\(A(1,2)\)，\(B(-2,n)\)兩點，討論如何求這兩個函數的表達式以及\(\triangleAOB\)的面積。答案：把\(A(1,2)\)代入\(y=\frac{m}{x}\)得\(m=2\)，反比例函數為\(y=\frac{2}{x}\)。把\(B(-2,n)\)代入\(y=\frac{2}{x}\)得\(n=-1\)，即\(B(-2,-1)\)。把\(A(1,2)\)，\(B(-2,-1)\)代入\(y=kx+b\)得\(\begin{cases}k+b=2\\-2k+b=-1\end{cases}\)，解得\(k=1\)，\(b=1\)，一次函數為\(y=x+1\)。求\(\triangleAOB\)面積，可利用一次函數與坐標軸交點，用割補法求解。2.討論在一個直角三角形中，除直角外，已知一個銳角和一條邊，如何求另外的邊和角？答案：若已知銳角\(A\)和直角邊\(a\)。\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\)，\(\tanA=\frac{a}\)可求\(b\)，\(\sinA=\frac{a}{c}\)可求\(c\)。若已知銳角\(A\)和斜邊\(c\)。\(\angleB=90^{\circ}-\angleA\)，\(\sinA=\frac{a}{c}\)可求\(a\)，\(\cosA=\frac{c}\)可求\(b\)。3.已知圓的直徑為\(10\)，圓內有兩條平行弦，長度分別為\(6\)和\(8\)，討論這兩條弦之間的距離是多少？答案：圓半徑\(r=5\)。對于弦長為\(6\)的弦，弦心距\(d_1=\sqrt{5^2-3^2}=4\