湖南省株洲市7校2025屆高二數學第二學期期末調研試題注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數，若，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．2．已知，，，則（）A． B． C． D．3．參數方程（為參數）對應的普通方程為（）A． B．C． D．4．已知三棱錐的所有頂點都在球的球面上，滿足，，為球的直徑，且，則點到底面的距離為A． B． C． D．5．化簡的結果是（）A． B． C． D．6．如果函數在上的圖象是連續不斷的一條曲線，那么“”是“函數在內有零點”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件7．函數有（）A．極大值，極小值3 B．極大值6，極小值3C．極大值6，極小值 D．極大值，極小值8．如圖，長方形的四個頂點坐標為O(0,0),A(4,0),B(4,2),C(0,2),曲線經過點B,現將質點隨機投入長方形OABC中，則質點落在圖中陰影部分的概率為()A． B． C． D．9．已知函數f（x）對任意的實數x均有f（x+2）+f（x）＝0，f（0）＝3，則f（2022）等于（）A．﹣6 B．﹣3 C．0 D．310．已知奇函數的導函數為，當時，，若，，則的大小關系正確的是（）A． B． C． D．11．已知隨機變量服從正態分布，且，則（）A． B． C． D．12．已知某批零件的長度誤差(單位:毫米)服從正態分布，從中隨機取一件.其長度誤差落在區間內的概率為（）(附:若隨機變量服從正態分布N，則，)A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓，雙曲線.若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的四個交點及橢圓的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓與雙曲線的離心率之積為__________．14．某次測試共有100名考生參加，測試成績的頻率分布直方圖如下圖所示，則成績在80分以上的人數為__________．15．已知命題任意，恒成立，命題方程表示雙曲線，若“”為真命題，則實數的取值范圍為_______.16．復數滿足，則的最小值是___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知且，（1）求的解析式；（2）判斷的奇偶性，并判斷當時的單調性；（3）若是上的增函數且，求m的取值范圍.18．（12分）已知函數.（Ⅰ）求函數的最小正周期和單調遞減區間；（Ⅱ）已知，且，求的值.19．（12分）已知命題p：函數的定義域為R；命題q：雙曲線的離心率，若“”是真命題，“”是假命題，求實數a的取值范圍．20．（12分）已知函數.（1）證明：；（2）若對任意的均成立，求實數的最小值.21．（12分）某企業為了解下屬某部門對本企業職工的服務情況，隨機訪問50名職工，根據這50名職工對該部門的評分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數據分組區間為（1）求頻率分布直方圖中的值；（2）估計該企業的職工對該部門評分不低于80的概率；（3）從評分在的受訪職工中，隨機抽取2人，求此2人評分都在的概率.22．（10分）在一次考試中某班級50名學生的成績統計如表，規定75分以下為一般，大于等于75分小于85分為良好，85分及以上為優秀.經計算樣本的平均值，標準差.為評判該份試卷質量的好壞，從其中任取一人，記其成績為，并根據以下不等式進行評判①；②；③評判規則：若同時滿足上述三個不等式，則被評為優秀試卷；若僅滿足其中兩個不等式，則被評為合格試卷；其他情況，則被評為不合格試卷.（1）試判斷該份試卷被評為哪種等級；（2）按分層抽樣的方式從3個層次的學生中抽出10名學生，再從抽出的10名學生中隨機抽出4人進行學習方法交流，用隨機變量表示4人中成績優秀的人數，求隨機變量的分布列和數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關系．【詳解】,,根據對數函數的單調性得到a>c,,又因為，，再由對數函數的單調性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．考查對數的運算性質，對數函數的單調性．比較兩數的大小常見方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構造函數利用函數的單調性得到結果.2、C【解析】

通過分段法，根據指數函數、對數函數和三角函數的性質，判斷出，由此選出正確結論.【詳解】解：∵，，，；∴.故選C.本小題主要考查利用對數函數、指數函數和三角函數的性質比較大小，考查分段法比較大小，屬于基礎題.3、C【解析】

將參數方程消參后，可得普通方程，結合三角函數值域即可判斷定義域.【詳解】參數方程（為參數），消參后可得，因為所以即故選：C.本題考查了參數方程與普通方程的轉化，注意自變量取值范圍，屬于基礎題.4、C【解析】∵三棱錐P-ABC的所有頂點都在球O的球面上，PA為球O的直徑且PA=4，∴球心O是PA的中點，球半徑R=OC=PA＝2，過O作OD⊥平面ABC，垂足是D，∵△ABC滿足AB＝2,∠ACB＝90°，∴D是AB中點，且AD=BD=CD=∴OD=∴點P到底面ABC的距離為d=2OD=2,故選C.點睛：本題考查點到平面的距離的求法，關鍵是分析出球心O到平面ABC的距離，找到的外接圓的圓心D即可有OD⊥平面ABC，求出OD即可求出點到底面的距離.5、A【解析】

根據平面向量加法及數乘的幾何意義，即可求解，得到答案．【詳解】根據平面向量加法及數乘的幾何意義，可得，故選A．本題主要考查了平面向量的加法法則的應用，其中解答中熟記平面向量的加法法則是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．6、A【解析】

由零點存在性定理得出“若，則函數在內有零點”舉反例即可得出正確答案.【詳解】由零點存在性定理可知，若，則函數在內有零點而若函數在內有零點，則不一定成立，比如在區間內有零點，但所以“”是“函數在內有零點”的充分而不必要條件故選：A本題主要考查了充分不必要條件的判斷，屬于中檔題.7、C【解析】

對原函數求導，通過導函數判斷函數的極值，于是得到答案.【詳解】根據題意，，故當時，；當時，；當時，.故在處取得極大值；在處取得極小值，故選C.本題主要考查利用導數求函數極值，難度不大.8、A【解析】由定積分可得，陰影部分的面積為：，由幾何概型公式可得：.本題選擇A選項.點睛：數形結合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形準確表示出試驗的全部結果所構成的區域，由題意將已知條件轉化為事件A滿足的不等式，在圖形中畫出事件A發生的區域，通用公式：P(A)=.9、B【解析】

分析可得，即函數是周期為4的周期函數，據此可得，即可求解，得到答案．【詳解】根據題意，函數對任意的實數均有，即，則有，即函數是周期為4的周期函數，則，故選B．本題主要考查了函數的周期的判定及其應用，其中解答中根據題設條件，求得函數的周期是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．10、D【解析】

令，則，根據題意得到時，函數單調遞增，求得，再由函數的奇偶性得到，即可作出比較，得到答案．【詳解】由題意，令，則，因為當時，，所以當時，，即當時，，函數單調遞增，因為，所以，又由函數為奇函數，所以，所以，所以，故選D．本題主要考查了利用導數研究函數的單調性及其應用，其中解答中根據題意，構造新函數，利用導數求得函數的單調性和奇偶性是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于難題．11、C【解析】

由題意結合正態分布的對稱性得到關于a的方程，解方程即可求得實數a的值.【詳解】隨機變量服從正態分布，則正態分布的圖象關于直線對稱，結合有，解得：.本題選擇C選項.關于正態曲線在某個區間內取值的概率求法：①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.12、B【解析】

利用原則，分別求出的值，再利用對稱性求出.【詳解】正態分布中，，所以，，所以，故選B.本題考查正態分布知識，考查利用正態分布曲線的對稱性求隨機變量在給定區間的概率.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用條件求出正六邊形的頂點坐標，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率，利用漸近線的夾角求雙曲線的離心率，從而得出答案。【詳解】如圖正六邊形中，，直線即雙曲線的漸近線方程為，由橢圓的定義可得，所以橢圓的離心率，雙曲線的漸近線方程為，則，雙曲線的離心率，所以橢圓與雙曲線的離心率之積為本題考查橢圓的定義和離心率，雙曲線的簡單性質，屬于一般題。14、25【解析】分析：先求成績在80分以上的概率，再根據頻數等于總數與對應概率乘積求結果.詳解：因為成績在80分以下的概率為，所以成績在80分以上的概率為，因此成績在80分以上的人數為點睛：頻率分布直方圖中小長方形面積等于對應區間的概率,所有小長方形面積之和為1;頻率分布直方圖中組中值與對應區間概率乘積的和為平均數;頻率分布直方圖中小長方形面積之比等于對應概率之比,也等于對應頻數之比.15、【解析】

根據題意求出命題P，Q的等價條件，結合復合命題真假關系進行轉化判斷即可.【詳解】當時，不等式即為，滿足條件，若，不等式恒成立，則滿足，解得，綜上，即；若方程表示雙曲線，則，得，即；若“”為真命題，則兩個命題都為真，則，解得；故答案是：.該題考查的是有關邏輯的問題，涉及到的知識點有復合命題的真值，根據復合命題的真假求參數的取值范圍，在解題的過程中，注意對各個命題為真時對應參數的取值范圍的正確求解是關鍵.16、【解析】

點對應的點在以為圓心，1為半徑的圓上，要求的最小值，只要找出圓上的點到原點距離最小的點即可，求出圓心到原點的距離，最短距離要減去半徑即可得解.【詳解】解：復數滿足，點對應的點在以為圓心，1為半徑的圓上，要求的最小值，只要找出圓上的點到原點距離最小的點即可，連接圓心與原點，長度是，最短距離要減去半徑故答案為：本題考查復數的幾何意義，本題解題的關鍵是看出復數對應的點在圓上，根據圓上到原點的最短距離得到要求的距離，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析；（3）【解析】

（1）利用對數函數的性質，結合換元法，令則，求出的表達式即可；（2）結合（1）中的解析式，利用函數奇偶性的定義判斷函數的定義域和與的關系；利用指數函數的單調性和簡單復合函數單調性的判斷法則即可求解；（3）利用函數在上的單調性和奇偶性得到關于m的不等式，解不等式即可.【詳解】（1）令，則，所以，即.（2）由（1）知，，其定義域為，關于原點對稱，因為，所以函數為奇函數，當時，因為是上的減函數，是上的增函數，所以函數為上的減函數，為上的減函數，又因為，∴為上的增函數.（3）∵，∴，又為上的奇函數，∴，因為函數在上是增函數，∴，解之得：，所以實數m的取值范圍為.本題考查換元法求函數解析式、函數奇偶性的判斷、指數函數的單調性和簡單復合函數單調性的判斷、利用函數在給定區間上的奇偶性和單調性解不等式；考查運算求解能力和知識的綜合運用能力；屬于綜合性試題、中檔題.18、(Ⅰ)，；(Ⅱ).【解析】分析：（1）根據兩角和差公式將表達式化一，進而得到周期和單調區間；（2），通過配湊角得到，展開求值即可.詳解：（Ⅰ），，令，，函數的單調遞減區間為.（Ⅱ），,，，則，.點睛：這個題目考查了三角函數的化一求值，兩角和差公式的化簡，配湊角的應用；三角函數的求值化簡，常用的還有三姐妹的應用，一般，，這三者我們成為三姐妹，結合，可以知一求三.19、或【解析】

分別求出p，q真時的a的范圍，再根據p真q假或p假q真得到a的范圍取并集即可．【詳解】解：若命題p真，則在上恒成立．則有，解得；若命題q真，則，解得．由“”是真命題，“”是假命題，知p與q必為一真一假，若p真q假，則，得；若p假q真，則，得．綜合得a的范圍為或．本題考查了復合命題的判斷，考查對數函數、雙曲線的性質，屬于基礎題．20、（1）證明見解析（2）【解析】

(1)由可得,再構造函數,分析函數單調性求最值證明即可.(2)根據題意構造函數,再根據的正負分析函數的單調性可知為最大值,進而求得實數的最小值即可.【詳解】（1）證明：由,得,.設,所以,函數在上單調遞增,在單調遞減,所以,.又因為（其中）,所以,,所以,成立.（2）解：設,.,,所以,.下面證明當時,成立.,因為,所以,所以.又因為當時,,所以,所以,所以,當時,.故,.所以,的最大值為,所以,的最小值為.本題主要考查了利用導數證明函數不等式的問題,同時也考查了數列中求最大值項的方法.需要構造數列求解的正負判斷,屬于難題.21、（Ⅰ）0.006；（Ⅱ）；（Ⅲ）【解析】

試題分析：（Ⅰ）在頻率分布直方圖中，由頻率總和即所有矩形面積之和為，可求；（Ⅱ）在頻率分布直方圖中先求出50名受訪職工評分不低于80的頻率為，由頻率與概率關系可得該部門評分不低于80的概率的估計值為;（Ⅲ）受訪職工評分在[50,60)的有3人，記為，受訪職工評分在[40,50)的有2人，記為，列出從這5人中選出兩人所有基本事件，即可求相應