河南省創(chuàng)新發(fā)展聯(lián)盟2025屆數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫(xiě)在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫(xiě)姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義在上的函數(shù)，單調(diào)遞增，，若對(duì)任意，存在，使得成立，則稱(chēng)是在上的“追逐函數(shù)”.若，則下列四個(gè)命題：①是在上的“追逐函數(shù)”；②若是在上的“追逐函數(shù)”，則；③是在上的“追逐函數(shù)”；④當(dāng)時(shí)，存在，使得是在上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個(gè)數(shù)為（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③2．若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．3．已知，，，則（）A． B． C． D．4．（）A．2 B．1 C．0 D．5．已知為虛數(shù)單位，，則復(fù)數(shù)的虛部為()A． B．1 C． D．6．已知離散型隨機(jī)變量的分布列為表格所示，則隨機(jī)變量的均值為（）0123A． B． C． D．7．若將函數(shù)f(x)＝x5表示為f(x)＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a5(1＋x)5，其中a0，a1，a2，…，a5為實(shí)數(shù)，則（）A． B． C． D．8．某市交通部門(mén)為了提高某個(gè)十字路口通行效率，在此路口增加禁止調(diào)頭標(biāo)識(shí)（即車(chē)輛只能左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)、直行），則該十字路口的行車(chē)路線共有（）A．24種 B．16種 C．12種 D．10種9．將曲線按照伸縮變換后得到的曲線方程為()A． B．C． D．10．隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則的最小值為（）A． B． C． D．11．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C．-4 D．412．把一枚質(zhì)地均勻、半徑為1的圓形硬幣拋擲在一個(gè)邊長(zhǎng)為8的正方形托盤(pán)上，已知硬幣平放在托盤(pán)上且沒(méi)有掉下去，則該硬幣完全落在托盤(pán)上（即沒(méi)有任何部分在托盤(pán)以外）的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球O的半徑為R，點(diǎn)A在東經(jīng)120°和北緯60°處，同經(jīng)度北緯15°處有一點(diǎn)B，球面上A，B兩點(diǎn)的球面距離為_(kāi)__________；14．已知函數(shù)，則_____15．若為上的奇函數(shù)，且滿足，對(duì)于下列命題：①；②是以4為周期的周期函數(shù)；③的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)；④.其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)________16．已知一組數(shù)據(jù)1，3，2，5，4，那么這組數(shù)據(jù)的方差為_(kāi)___．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知平行四邊形中，，，，是邊上的點(diǎn)，且，若與交于點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求.18．（12分）已知函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，且的圖像有一條對(duì)稱(chēng)軸為.（1）求的解析式及最小正周期；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.19．（12分）設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，解不等式；（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．（12分）設(shè)函數(shù)=[]．（1）若曲線在點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求；（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．21．（12分）（1）解不等式：.（2）己知均為正數(shù).求證：22．（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．再以原點(diǎn)為極點(diǎn)，以正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，并使得它與直角坐標(biāo)系有相同的長(zhǎng)度單位．在該極坐標(biāo)系中圓的方程為．（1）求圓的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)圓與直線交于點(diǎn)、，若點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意，分析每一個(gè)選項(xiàng)，首先判斷單調(diào)性，以及，再假設(shè)是“追逐函數(shù)”，利用題目已知的性質(zhì)，看是否滿足，然后確定答案.【詳解】對(duì)于①，可得，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，此時(shí)當(dāng)k=100時(shí)，不存在，故①錯(cuò)誤；對(duì)于②，若是在上的“追逐函數(shù)”，此時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，在是遞增函數(shù)，若是“追逐函數(shù)”則，即，設(shè)函數(shù)即，則存在，所以②正確；對(duì)于③，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，當(dāng)k=4時(shí)，就不存在，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，當(dāng)t=m=1時(shí)，就成立，驗(yàn)證如下：，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即此時(shí)取即，故存在存在，所以④正確；故選B本題主要考查了對(duì)新定義的理解、應(yīng)用，函數(shù)的性質(zhì)等，易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)新定義的理解不到位而不能將其轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的關(guān)系，實(shí)際上對(duì)新定義問(wèn)題的求解通常是將其與已經(jīng)學(xué)過(guò)的知識(shí)相結(jié)合或?qū)⑵浔硎鲞M(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，從而更加直觀，屬于難題.2、A【解析】

求出，（或）是否恒成立對(duì)分類(lèi)討論，若恒成立求出最小值（或不存在最小值），若不恒成立，求出極值最小值，建立的關(guān)系式，求解即可.【詳解】.（1）當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，（舍去）.（2）當(dāng)時(shí)，.①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減，，解得（舍去）；②當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，于是，解得.綜上，.故選：A本題考查函數(shù)的最值，利用導(dǎo)數(shù)是解題的關(guān)鍵，考查分類(lèi)討論思想，如何合理確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)是難點(diǎn)，屬于中檔題.3、D【解析】

根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可確定臨界值，從而得到大小關(guān)系.【詳解】；；且本題正確選項(xiàng)：本題考查利用指數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小的問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

用微積分基本定理計(jì)算．【詳解】．故選：C.本題考查微積分基本定理求定積分．解題時(shí)可求出原函數(shù)，再計(jì)算．5、A【解析】

給兩邊同乘以，化簡(jiǎn)求出，然后可得到其虛部【詳解】解：因?yàn)椋运裕蕴摬繛楣蔬x：A此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，屬于基礎(chǔ)題6、C【解析】分析：利用離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)求得到，進(jìn)而得到隨機(jī)變量的均值詳解：由已知得，解得：∴E（X）=故選：C點(diǎn)睛：本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，考查離散型隨機(jī)變量的基本性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.7、B【解析】分析：由題意可知，，然后利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行展開(kāi)，使之與進(jìn)行比較，可得結(jié)果詳解：由題可知：而則故選點(diǎn)睛：本題主要考查了二次項(xiàng)系數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題目意思，將轉(zhuǎn)化為是本題關(guān)鍵，然后運(yùn)用二項(xiàng)式定理展開(kāi)求出結(jié)果8、C【解析】

根據(jù)每個(gè)路口有種行車(chē)路線，一個(gè)十字路口有個(gè)路口，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【詳解】每個(gè)路口有種行車(chē)路線，一個(gè)十字路口有個(gè)路口，故該十字路口行車(chē)路線共有（種）故選：C本題考查了分布乘法計(jì)數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

利用代入法，即可得到伸縮變換的曲線方程．【詳解】∵伸縮變換，∴xx′，yy′，代入曲線y＝sin2x可得y′＝3sinx′故選：A．本題考查代入法求軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．10、D【解析】

利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性得出，再將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)后可利用基本不等式求出的最小值．【詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性可知，，所以，，即，，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選D.本題考查正態(tài)密度概率以及利用基本不等式求最值，解題關(guān)鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱(chēng)性得出定值，以及對(duì)所求代數(shù)式進(jìn)行配湊，以便利用基本不等式求最值，考查計(jì)算能力，屬于中等題．11、A【解析】

利用復(fù)數(shù)運(yùn)算法則及虛部定義求解即可【詳解】由，得，所以虛部為.故選A本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，復(fù)數(shù)的虛部，考查運(yùn)算求解能力.12、B【解析】分析：求出硬幣完全落在托盤(pán)上硬幣圓心所在區(qū)域的面積，求出托盤(pán)面積，由測(cè)度比是面積比得答案.詳解：如圖：要使硬幣完全落在托盤(pán)上，則硬幣圓心在托盤(pán)內(nèi)以6為邊長(zhǎng)的正方形內(nèi)，硬幣在托盤(pán)上且沒(méi)有掉下去，則硬幣圓心在托盤(pán)內(nèi)，由測(cè)度比為面積比可得，硬幣完全落在托盤(pán)上的概率為.故選B.點(diǎn)睛：本題考查幾何概型概率的求法，正確理解題意是關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、；【解析】

根據(jù)緯度差可確定，根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式可求得所求距離.【詳解】在北緯，在北緯，且均位于東經(jīng)兩點(diǎn)的球面距離為：本題正確結(jié)果：本題考查球面距離的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是能夠通過(guò)緯度確定扇形圓心角的大小，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】分析：求出f′（1）=﹣1，再根據(jù)定積分法則計(jì)算即可．詳解：∵f（x）=f'（1）x2+x+1，∴f′（x）=2f'（1）x+1，∴f′（1）=2f'（1）+1，∴f′（1）=﹣1，∴f（x）=﹣x2+x+1，∴=（﹣x3+x2+x）=.故答案為.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查了積分的應(yīng)用，注意積分并不等于面積，解決積分問(wèn)題的常見(jiàn)方法有：面積法，當(dāng)被積函數(shù)為正時(shí)積分和面積相等，當(dāng)被積函數(shù)為負(fù)時(shí)積分等于面積的相反數(shù)；應(yīng)用公式直接找原函數(shù)的方法；利用被積函數(shù)的奇偶性得結(jié)果.15、①②④【解析】

由結(jié)合題中等式可判斷命題①的正誤；根據(jù)題中等式推出來(lái)判斷出命題②的正誤；由函數(shù)為奇函數(shù)來(lái)判斷命題③的正誤；在題中等式中用替換可判斷出命題④的正誤.【詳解】對(duì)于命題①，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，在等式中，令可得，得，命題①正確；對(duì)于命題②，，所以，是以為周期的周期函數(shù)，命題④正確；對(duì)于命題③，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，不關(guān)于直線（即軸）對(duì)稱(chēng)，命題③錯(cuò)誤；對(duì)于命題④，由，可得，即，由于函數(shù)是上的奇函數(shù)，則，命題④正確.故答案為：①②④.本題考查函數(shù)的奇偶性、對(duì)稱(chēng)性以及周期性的推導(dǎo)，求解時(shí)充分利用題中的等式以及奇偶性、對(duì)稱(chēng)性以及周期性的定義式，不斷進(jìn)行賦值進(jìn)行推導(dǎo)，考查推理能力，屬于中等題。16、2；【解析】

先求這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再代入方差公式，求方差.【詳解】因?yàn)椋讲?本題考查平均數(shù)與方差公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，考查基本的數(shù)據(jù)處理能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)題意寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用求得點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）根據(jù)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算、，求出數(shù)量積。【詳解】建立如圖所示的坐標(biāo)系，則，，，，由，所以，設(shè)，則,所以，解得，所以（2）根據(jù)題意可知，所以,所以，從而，。本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算以及數(shù)量積，屬于基礎(chǔ)題。18、（1），；（2）.【解析】

（1）由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)且f（x）的圖象有一條對(duì)稱(chēng)軸為直線，可得最大值A(chǔ)，且能得周期并求得ω，由五點(diǎn)法作圖求出的值，可得函數(shù)的解析式．（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【詳解】（1）函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+）（A＞0，ω＞0，）在一個(gè)周期內(nèi)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，且f（x）的圖象有一條對(duì)稱(chēng)軸為直線，故最大值A(chǔ)＝4，且,∴，∴ω＝1．所以.因?yàn)榈膱D象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以，所以，.因?yàn)椋裕?（2）因?yàn)椋裕裕吹膯握{(diào)遞增區(qū)間為.本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+）的性質(zhì)求解析式，通常由函數(shù)的最大值求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)法作圖求出的值，考查了正弦型函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）；（2）或【解析】

（1）根據(jù)題意得到，分，，三種情況討論，即可得出結(jié)果；（2）先由關(guān)于的不等式恒成立，得到恒成立，結(jié)合絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即為，當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，可得；當(dāng)時(shí)，，解得，綜上，原不等式的解集為；（2）關(guān)于的不等式恒成立，即為恒成立，由，可得，解得：或.本題主要考查含絕對(duì)值不等式，通常需要用到分類(lèi)討論的思想，靈活運(yùn)用分類(lèi)討論的思想處理，熟記絕對(duì)值不等式的性質(zhì)即可，屬于常考題型.20、(1)1(2)（，）【解析】分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)得a；（2）先求導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：，2；再分類(lèi)討論，根據(jù)是否滿足在x=2處取得極小值，進(jìn)行取舍，最后可得a的取值范圍．詳解：解：（Ⅰ）因?yàn)?[]，所以f′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）=［ax2–（2a+1）x+2］ex．f′(1)=(1–a)e．由題設(shè)知f′(1)=2，即(1–a)e=2，解得a=1．此時(shí)f(1)=3e≠2．所以a的值為1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．若a>，則當(dāng)x∈(，2)時(shí)，f′(x)<2；當(dāng)x∈(2，+∞)時(shí)，f′(x)>2．所以f(x)<2在x=2處取得極小值．若a≤，則當(dāng)x∈(2，2)時(shí)，x–2<2，ax–1≤x–1<2，所以f′(x)>2．所以2不是f(x)的極小值點(diǎn)．綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來(lái)求解.21、（1）；（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）分別在、、三個(gè)范圍內(nèi)去掉絕對(duì)值符號(hào)得到不等式，解不等式求得結(jié)果；（2）將所證結(jié)論變?yōu)樽C明，利用基本不等式可證得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，解得：當(dāng)時(shí)，，無(wú)解當(dāng)時(shí)，，解得：不等式的解集為：（2）均為正數(shù)要證，只需證：即證：，，三式相加可得：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）成立本題考查絕對(duì)值不等式的求解、利用基本不等式證明不等關(guān)系的問(wèn)題，考查分類(lèi)討論的思想、分析法證明不等式和基本不等式的應(yīng)用，屬于常考題型.22、（1）（2）【解析】試題分析:（1）由可將圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）先將直線的參數(shù)方程代入圓C方程，再根據(jù)參數(shù)