寧夏銀川市金鳳區六盤山高中2025年高二下數學期末調研試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知數列的前項和為，且滿足，則下列結論中（）①數列是等差數列；②；③A．僅有①②正確 B．僅有①③正確 C．僅有②③正確 D．①②③均正確2．在中，分別為內角的對邊，若，，且，則（）A．2 B．3 C．4 D．53．已知集合，,則（）A． B． C． D．4．設集合，則（）A． B． C． D．5．在復平面內與復數所對應的點關于虛軸對稱的點為，則對應的復數為（）A． B． C． D．6．如圖是函數的導函數的圖象，則下面說法正確的是()A．在上是增函數B．在上是減函數C．當時，取極大值D．當時，取極大值7．設函數（其中為自然對數的底數），若函數至少存在一個零點，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．8．已知雙曲線的一條漸近線恰好是圓的切線，且雙曲線的一個焦點到漸近線的距離為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．9．已知函數y＝f(x)的定義域為R，當x<0時，f(x)>1，且對任意的實數x，y，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若數列滿足＝f(0)，且f()＝()，則的值為()A．2209 B．3029 C．4033 D．224910．已知有相同兩焦點F1、F2的橢圓+y2=1和雙曲線-y2=1，P是它們的一個交點，則ΔF1PF2的形狀是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍有三角形 D．等腰三角形11．已知數列滿足（，且是遞減數列，是遞增數列，則A．B．C．D．12．干支紀年法是中國歷法上自古以來就一直使用的紀年方法，主要方式是由十天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、廢、辛、壬、朵）和十二地支（子、丑、卯、辰、已、午、未、中、百、戊、）按順序配對，周而復始，循環記錄．如：1984年是甲子年，1985年是乙丑年，1994年是甲戌年，則數學王子高斯出生的1777年是干支紀年法中的（）A．丁申年 B．丙寅年 C．丁酉年 D．戊辰年二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量與互相垂直，則________．14．若復數（為虛數單位），則______.15．已知，若展開式的常數項的值不大于15，則a取值范圍為________.16．已知球的體積為，則該球大圓的面積等于______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.猜想的表達式并用數學歸納法證明你的結論.18．（12分）已知函數，.（1）當時，求函數的單調區間；（2）當時，若存在，使不等式成立，求的最小值.19．（12分）已知是拋物線上一點，為的焦點．（1）若，是上的兩點，證明：，，依次成等比數列．（2）若直線與交于，兩點，且，求線段的垂直平分線在軸上的截距．20．（12分）在平面直角坐標系xoy中，直線l的參數方程為（為參數），曲線.以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）若點在曲線上，求的取值范圍；（2）設直線l與曲線交于M、N兩點，點Q的直角坐標為，求的值.21．（12分）如圖，在棱長為的正方體中，，，分別是棱、和所在直線上的動點：（1）求的取值范圍：（2）若為面內的一點，且，，求的余弦值：（3）若、分別是所在正方形棱的中點，試問在棱上能否找到一點，使平面?若能，試確定點的位置，若不能，請說明理由.22．（10分）為了實現綠色發展，避免能源浪費，某市計劃對居民用電實行階梯收費.階梯電價原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用電量為基準定價，具體劃分標準如表：階梯級別第一階梯電量第二階梯電量第三階梯電量月用電量范圍（單位：kW?h）(0,200](200,400](400,+∞]從本市隨機抽取了100戶，統計了今年6月份的用電量，這100戶中用電量為第一階梯的有20戶，第二階梯的有60戶，第三階梯的有20戶.（1）現從這100戶中任意選取2戶，求至少1戶用電量為第二階梯的概率；（2）以這100戶作為樣本估計全市居民的用電情況，從全市隨機抽取3戶，X表示用電量為第二階梯的戶數，求X的概率分布列和數學期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

由條件求得，可判斷①，由①得，可判斷②；由判斷③，可知①②③均正確，可選出結果．【詳解】①由條件知，對任意正整數n，有1＝an（2Sn﹣an）＝（Sn﹣Sn﹣1）（Sn+Sn﹣1），又所以{}是等差數列．②由①知或顯然，當．，<0顯然成立，故②正確③僅需考慮an，an+1同號的情況，不失一般性，可設an，an+1均為正（否則將數列各項同時變為相反數，仍滿足條件），由②故有，，此時，，從而（）1．故選：D．本題考查數列遞推式，不等式的證明，屬于一般綜合題．2、C【解析】利用正弦定理可得:，①由余弦定理可得：，②由，得，③由①②③得，，故選C.3、A【解析】

由已知得，因為，所以，故選A．4、C【解析】

先求，再求【詳解】,故選C.本題考查了集合的并集和補集，屬于簡單題型.5、D【解析】

根據復數的運算法則求出，即可得到其對應點關于虛軸對稱點的坐標，寫出復數.【詳解】由題，在復平面對應的點為（1,1），關于虛軸對稱點為（-1,1），所以其對應的復數為.故選：D此題考查復數的幾何意義，關鍵在于根據復數的乘法除法運算準確求解，熟練掌握復數的幾何意義.6、D【解析】分析：先由圖象得出函數的單調性，再利用函數的單調性與導數的關系即可得出.詳解：由圖象可知上恒有，在上恒有，在上單調遞增，在上單調遞減則當時，取極大值故選：D.點睛：熟練掌握函數的單調性、極值與導數的關系是解題的關鍵，是一道基礎題.7、D【解析】令,則，設，令，，則，發現函數在上都是單調遞增，在上都是單調遞減，故函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，得，所以函數至少存在一個零點需滿足，即．應選答案D。點睛：解答本題時充分運用等價轉化與化歸的數學思想，先將函數解析式中的參數分離出來，得到，然后構造函數，分別研究函數，的單調性，從而確定函數在上單調遞增，在上單調遞減，故當時，得，所以函數至少存在一個零點等價于，即．使得問題獲解。8、D【解析】分析：根據題意，求出雙曲線的漸近線方程，再根據焦點到漸近線的距離為，求得雙曲線的參數，即可確定雙曲線方程.詳解：圓，圓心，原點在圓上，直線的斜率又雙曲線的一條漸近線恰好是圓切線，雙曲線的一條漸近線方程的斜率為，一條漸近線方程為，且，即由題可知，雙曲線的一個焦點到漸近線的距離，解得又有，可得，，雙曲線的方程為.故選D.點睛：本題考查雙曲線的簡單性質的應用，雙曲線方程的求法，直線與圓位置關系和點到直線距離的求法，考查計算能力.9、C【解析】

因為該題為選擇題，可采用特殊函數來研究，根據條件，底數小于1的指數函數滿足條件，可設函數為，從而求出，再利用題目中所給等式可證明數列為等差數列，最后利用等差數列定義求出結果。【詳解】根據題意，可設，則，因為，所以，所以，所以數列數以1為首項，2為公差的等差數列，所以，所以，故選C。本題考查選擇題中的特殊法解決問題，對于選擇題則可以找到滿足題意的特殊值或者特殊函數直接代入進行求解。10、B【解析】根據橢圓和雙曲線定義：又；故選B11、D【解析】試題分析：由可得：，又是遞減數列，是遞增數列，所以，即，由不等式的性質可得：，又因為，即，所以，即，同理可得：；當數列的項數為偶數時，令，可得：，將這個式子相加得：，所以，則，所以選D．考點：1．裂項相消法求和；2．等比數列求和；12、C【解析】

天干是以10為公差的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，按照這個規律進行推理，即可得到結果．【詳解】由題意，天干是以10為公差的等差數列，地支是以12為公差的等差數列，1994年是甲戌年，則1777的天干為丁，地支為酉，故選：C．本題主要考查了等差數列的定義及等差數列的性質的應用，其中解答中認真審題，合理利用等差數列的定義，以及等差數列的性質求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

兩向量垂直，其數量積的等于0.【詳解】本題考查兩向量垂直的數量積表示，屬于基礎題．14、【解析】

把復數z=1-2i及它的共軛復數代入，將其化簡為a+bi（a，b∈R）的形式，即可．【詳解】復數（為虛數單位），則，，故答案為：6?2i.本題考查復數的基本概念，復數基本運算，屬于基礎題.15、【解析】

由二項式定理及展開式通項得：，又，所以，又時，展開式無常數項，即a取值范圍為，得解．【詳解】由二項式定理可得：展開式的常數項為，又展開式的常數項的值不大于15，則，又，所以，又時，展開式無常數項，即a取值范圍為，故答案為：．本題考查了二項式定理及展開式通項，屬中檔題．16、【解析】

由球的體積，得到球的半徑，進而可得出大圓的面積.【詳解】因為球的體積為，設球的半徑為，則，解得：，因為球的大圓即是過球心的截面圓，因此大圓的面積為.故答案為：.本題主要考查球的相關計算，熟記球的體積公式，以及圓的面積公式即可，屬于基礎題型.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、證明見解析【解析】

首先計算，猜想，再用數學歸納法證明.【詳解】猜想，下面用數學歸納法證明：①時，猜想成立；②假設時猜想成立，即則時，由及得又=,時猜想成立.由①②知.本題考查了數學歸納法，意在考查學生的歸納推理能力和計算能力.18、（1）見解析；（2）2【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）問題等價于，令，問題轉化為求出，利用導數研究函數的單調性，利用函數的單調性求出的最小值，從而求出的最小值即可.詳解：（1）解：∵∴∴當即時，對恒成立此時，的單調遞增區間為，無單調遞減區間當，即時，由，得，由，得此時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為綜上所述，當時，的單調遞增區間為,無單調遞減區間；當時，的單調遞減區間為，單調遞增區間為（2）解：由，得：當時，上式等價于令據題意，存在，使成立，則只需，令，顯然在上單調遞增而，∴存在，使，即又當時，，單調遞減，當時，，單調遞增∴當時，有極小值（也是最小值）∴∵，即，∴，∴又，且，∴的最小值為2.點睛：本題是以導數的運用為背景的函數綜合題，主要考查了函數思想，化歸思想，抽象概括能力，綜合分析問題和解決問題的能力，屬于較難題，近來高考在逐年加大對導數問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大，本部分的要求一定有三個層次：第一層次主要考查求導公式，求導法則與導數的幾何意義；第二層次是導數的簡單應用，包括求函數的單調區間、極值、最值等；第三層次是綜合考查，包括解決應用問題，將導數內容和傳統內容中有關不等式甚至數列及函數單調性有機結合，設計綜合題.19、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由在拋物線上，求出拋物線方程；根據拋物線焦半徑公式可得，，的長度，從而證得依次成等比數列；（2）將直線代入拋物線方程，消去，根據韋達定理求解出，從而可得中點坐標和垂直平分線斜率，從而求得垂直平分線所在直線方程，代入求得結果.【詳解】（1）是拋物線上一點根據題意可得：，，，，依次成等比數列（2）由，消可得，設的中點，線段的垂直平分線的斜率為故其直線方程為當時，本題考查拋物線的幾何性質、直線與拋物線綜合問題，關鍵在于能夠通過直線與拋物線方程聯立，得到韋達定理的形式，從而準確求解出斜率.20、（1）（2）【解析】

1根據條件可得，設，則然后求出范圍即可；（2）根據參數的幾何意義，利用一元二次方程根與系數關系式求出結果．【詳解】1，在曲線上，，，設，，，，，的取值范圍；2，，故曲線的直角坐標方程為：直線l的標準參數方程為為參數，代入得：設M，N兩點對應的參數分別為，，，故，異號，．本題考查了參數方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，一元二次方程根和系數關系式的應用，主要考察學生的運算能力和轉換能力，屬基礎題．21、（1）；（2）；（3）點M為的中點，理由見解析【解析】

（1）設，求出，利用余弦定理求解，然后求出的取值范圍．

（2）設在，三邊上的投影分別是，轉化求出，即可得到它的余弦值．

（3）設與的交點為，連接，說明平面，過作于K，延長后交所在的直線于點M，則BM⊥平面．通過，求解即可．【詳解】解：（1）設，則，

所以，

的取值范圍為；

（2）解：設在，三邊上的投影分別是，，，

則由于，．

，

，即，它的余弦值為

（3）解：設與的交點為．連接，則由以及，知平面，

于是面面，在面內過作于K，延長后交所在的直線于點M，則BM⊥平面，

在平面內，由，

知，又，∴．

這說明點M為的中點．本題考查空間點線面距離的求法，直線與平面垂直的判定定理的