湖南長沙市一中2025年高二下數學期末聯考試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．如果，則的解析式為（）A． B．C． D．2．中國古代儒家提出的“六藝”指:禮?樂?射?御?書?數.某校國學社團預在周六開展“六藝”課程講座活動,周六這天準備排課六節,每藝一節,排課有如下要求:“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰,則針對“六藝”課程講座活動的不同排課順序共有()A．18種 B．36種 C．72種 D．144種3．已知A（2，0），B（0，1）是橢圓的兩個頂點，直線與直線AB相交于點D，與橢圓相交于E，F兩點，若，則斜率k的值為（）A． B． C．或 D．或4．在等差數列{an}中，若a2=4，A．-1 B．0 C．1 D．65．六位同學排成一排，其中甲和乙兩位同學相鄰的排法有（）A．60種 B．120種 C．240種 D．480種6．下列導數運算正確的是（）A． B．C． D．7．一個三位數的百位，十位，個位上的數字依次是，當且僅當時稱為“凹數”，若，從這些三位數中任取一個，則它為“凹數”的概率是A． B． C． D．8．根據如圖所示的程序框圖，當輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．9．在中，內角，，所對的邊分別為，，.若，，則的面積為（）A．3 B． C． D．10．設是等差數列的前項和，已知，，則等于（）．A． B． C． D．11．設函數是奇函數的導函數，當時，，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．12．執行如圖所示的程序框圖，則輸出的S值為()A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若過拋物線的焦點，且傾斜角為的直線交拋物線于，，則__________．14．若是函數的極值點，則的極小值為______.15．已知函數若函數有3個零點，則實數a的取值范圍為____.16．已知復數，其中是虛數單位，則復數的實部為______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程是，直線的參數方程是（為參數，）(1)求曲線和直線的普通方程；

(2)設直線和曲線交于兩點，求的值.18．（12分）某公司為確定下一年度投入某種產品的宣傳費，需了解年宣傳費（單位：萬元）對年銷售量（單位：噸）和年利潤（單位：萬元）的影響。對近六年的年宣傳費和年銷售量的數據作了初步統計，得到如下數據：年份201320142015201620172018年宣傳費（萬元）384858687888年銷售量（噸）16.818.820.722.424.025.5經電腦擬，發現年宣傳費（萬元）與年銷售量（噸）之間近似滿足關系式即。對上述數據作了初步處理，得到相關的值如下表：75.324.618.3101.4（1）根據所給數據，求關于的回歸方程；（2）規定當產品的年銷售量（噸）與年宣傳費（萬元）的比值在區間內時認為該年效益良好。現從這6年中任選2年，記其中選到效益良好年的數量為，試求隨機變量的分布列和期望。（其中為自然對數的底數，）附：對于一組數據，其回歸直線中的斜率和截距的最小二乘估計分別為19．（12分）如圖，已知三棱柱，底面，，，為的中點.（I）證明：面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值.20．（12分）如圖，二面角的大小為，四邊形是邊長為的正方形，，為上的點，且平面.（1）求證：；（2）求二面角的大小；（3）求點到平面的距離.21．（12分）已知，橢圓C過點，兩個焦點為，，E，F是橢圓C上的兩個動點，如果直線AE的斜率與AF的斜率互為相反數，直線EF的斜率為，直線l與橢圓C相切于點A，斜率為．求橢圓C的方程；求的值．22．（10分）已知函數.（1）若，求的最小值，并指出此時的取值范圍；（2）若，求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據配湊法，即可求得的解析式，注意定義域的范圍即可．【詳解】因為，即令，則，即所以選C本題考查了配湊法在求函數解析式中的應用，注意定義域的范圍，屬于基礎題．2、D【解析】

由排列、組合及簡單的計數問題得：由題意可將“射”和“御”進行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”、“數”進行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，再相乘得解．【詳解】由題意“樂”與“書”不能相鄰,“射”和“御”要相鄰，可將“射”和“御”進行捆綁看成一個整體，共有種，然后與“禮”、“數”進行排序，共有種，最后將“樂”與“書”插入4個空即可，共有種，由于是分步進行，所以共有種，故選：D.本題考查排列、組合及簡單計數問題，根據問題選擇合適的方法是關鍵，此類問題常見的方法有元素優先法、捆綁法、插空法等，本題屬于中等題.3、C【解析】

依題可得橢圓的方程，設直線AB，EF的方程分別為，，，且滿足方程，進而求得的表達式，根據，求得的表達式，由D在AB上知，進而求得的另一個表達式，兩個表達式相等即可求得k．【詳解】依題設得橢圓的方程為，直線AB，EF的方程分別為，．設，其中，且滿足方程，故，由，知，得，由D在AB上知，得．所以，化簡得，解得或．故選C．本題考查橢圓的方程和性質，同時考查直線和橢圓聯立，求交點，以及向量共線的坐標表示，考查運算能力，屬于中檔題．4、B【解析】在等差數列an中，若a2=4,a4=2，則5、C【解析】分析：直接利用捆綁法求解.詳解：把甲和乙捆綁在一起，有種方法，再把六個同學看成5個整體進行排列，有種方法，由乘法分步原理得甲和乙兩位同學相鄰的排法有種.故答案為：C.點睛：（1）本題主要考查排列組合的應用，意在考查學生對該知識的掌握水平和分析推理能力.(2)遇到相鄰問題，常用捆綁法，先把相鄰元素捆綁在一起，再進行排列.6、B【解析】

由判斷；由判斷；由判斷判斷；由判斷.【詳解】根據題意，依次分析選項，對于，，錯誤；對于，，正確；對于，，錯誤；對于，，錯誤；故選B．本題主要考查指數函數、對數函數與冪函數的求導公式以及導數乘法的運算法則，意在考查對基本公式與基本運算掌握的熟練程度，屬于中檔題．7、C【解析】

先分類討論求出所有的三位數，再求其中的凹數的個數，最后利用古典概型的概率公式求解.【詳解】先求所有的三位數，個位有4種排法，十位有4種排法，百位有4種排法，所以共有個三位數.再求其中的凹數，第一類：凹數中有三個不同的數，把最小的放在中間，共有種，第二類，凹數中有兩個不同的數，將小的放在中間即可，共有種方法，所以共有凹數8+6=14個，由古典概型的概率公式得P=.故答案為：C本題主要考查排列組合的運用，考查古典概型的概率，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.8、C【解析】

根據程序圖，當x<0時結束對x的計算，可得y值．【詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續運行，x=1-2=-1<0，程序運行結束，得，故選C．本題考查程序框圖，是基礎題．9、C【解析】

通過余弦定理可得C角，再通過面積公式即得答案.【詳解】根據余弦定理，對比，可知，于是，根據面積公式得，故答案為C.本題主要考查余弦定理和面積公式的運用，比較基礎.10、C【解析】試題分析：依題意有，解得，所以.考點：等差數列的基本概念.【易錯點晴】本題主要考查等差數列的基本概念.在解有關等差數列的問題時可以考慮化歸為和等基本量，通過建立方程(組)獲得解．即等差數列的通項公式及前項和公式，共涉及五個量，知其中三個就能求另外兩個,即知三求二，多利用方程組的思想，體現了用方程的思想解決問題,注意要弄準它們的值.運用方程的思想解等差數列是常見題型，解決此類問題需要抓住基本量、，掌握好設未知數、列出方程、解方程三個環節，常通過“設而不求，整體代入”來簡化運算．11、D【解析】分析：根據題意，設，對求導，利用導數與函數單調性的關系分析可得在上為減函數，分析的特殊值，結合函數的單調性分析可得在區間和上都有，結合函數的奇偶性可得在區間和上都有，進而將不等式變形轉化可得或，解可得x的取值范圍，即可得答案.詳解：根據題意，設，其導數，又當時，，則有，即函數在上為減函數，又，則在區間上，，又由，則，在區間上，，又由，則，則在區間和上都有，又由為奇函數，則在區間和上都有，或，解可得：或.則x的取值范圍是.故選：D.點睛：本題考查函數的導數與函數的單調性的關系，以及不等式的解法，關鍵是分析與的解集.12、D【解析】

執行循環，根據判斷條件確定結束循環，輸出結果.【詳解】第1步：a＝7-2n＝5，a＞0成立，S＝S＋a＝5，n＝2；第2步：a＝7-2n＝3，a＞0成立，S＝S＋a＝8，n＝3；第3步：a＝7-2n＝1，a＞0成立，S＝S＋a＝1，n＝4；第4步：a＝7-2n＝－1，a＞0不成立，退出循環，輸出S＝1．選D.本題考查循環結構流程圖，考查基本分析判斷能力，屬基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先求直線AB的方程，再利用弦長公式求.【詳解】由題得拋物線的焦點為，所以直線AB的方程為，即.把代入得，所以=.故答案為：本題主要考查拋物線的弦長的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14、【解析】

求出函數的導數，利用極值點，求出a，然后判斷函數的單調性，求解函數的極小值即可．【詳解】，是的極值點，，即，解得，，，由，得或；由，得，在上單調遞增，在上單調遞減，在上單調遞增，

的極小值為．

故答案為：．本題考查了利用導數研究函數的極值，屬中檔題．15、【解析】

將函數有3個零點轉化為與有三個交點，在同一坐標系中作出兩函數的圖象，即可求得實數的取值范圍．【詳解】作出的函數圖象如圖所示：畫出函數的圖象，由圖象可知當時，有1零點，當時，有3個零點；當或時，有2個零點。故答案為.本題考查根的存在性及根的個數判斷，將函數有3個零點轉化為與有三個交點是關鍵，考查等價轉化思想與數形結合思想的綜合運用，屬于中檔題.16、【解析】

根據模長公式求出，即可求解.【詳解】，復數的實部為.故答案為：.本題考查復數的基本概念以及模長公式，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】【試題分析】（1）先利用直角坐標與極坐標之間的關系將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，運用消參法將直線的參數方程化為直角坐標方程；（2）由于曲線是圓心，半徑是，先求圓心到直線的距離是，再運用弦心距、半徑、弦長之間的關系求出．解：（1）曲線的極坐標方程可以化為：，所以曲線的普通方程是：即，直線的普通方程是，即；（2）圓心到直線的距離是，所以．18、(1)；(2)見解析.【解析】

分析：（1）由數據可得：,從而求可得公式中所需數據，求出，再結合樣本中心點的性質可得，進而可得回歸方程；（2），結合組合知識，利用古典概型概率公式求出各隨機變量對應的概率，從而可得分布列，進而利用期望公式可得的數學期望.詳解：（1）由令得，由數據可得：,,于是，得故所求回歸方程為（2）條件，于是求出，即6年中有3年是“效益良好年”，，由題得，012所以的分布列如表所示，且。點睛：本題主要考查非線性擬合及非線性回歸方程的求解與應用以及離散型隨機變量的分布列與期望，屬于難題.是源于課本的試題類型，解答非線性擬合問題，先作出散點圖，再根據散點圖選擇合適的函數類型，設出回歸方程，利用換元法將非線性回歸方程化為線性回歸方程，求出樣本數據換元后的值，然后根據線性回歸方程的計算方法計算變換后的線性回歸方程系數，即可求出非線性回歸方程.19、（I）證明見解析；（Ⅱ）.【解析】

（I）連接，交于，則為的中點，由中位線的性質得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明平面；（Ⅱ）以，，為，，軸建立空間直角坐標系，并設，計算出平面的一個法向量，記直線平面所成角為，于是得出可得出直線與平面所成角的正弦值。【詳解】（Ⅰ）證明：連接，交于，所以為的中點，又因為為的中點，所以，因為在面內，不在面內，所以面；（Ⅱ）以，，為，，軸建立空間直角坐標系（不妨設）.所以，，，，設面的法向量為，則，解得.因為，記直線平面所成角為.所以.本題考查直線與平面平行的證明，考查直線與平面所成角的計算，常見的有定義法和空間向量法，可根據題中的條件來選擇，考查邏輯推理能力與運算求解能力，屬于中等題。20、(1)見解析；（2）；（3）.【解析】試題分析：（1）由平面可證，由二面角為直二面角及是正方形可證，再由線面垂直判定定理得平面，即可得證；（2）取的中點，連接，，由四邊形為正方形可證，，即可得為二面角的平面角，根據題設條件求出及，即可得二面角的余弦值；（3）利用等體積法，由即可得點到平面的距離.試題解析：（1）∵平面，∴.又∵二面角為直二面角，且，∴平面，∴，∴平面，∴.（2）取的中點，連接，.∵四邊形為正方形，∴，∴，即為二面角的平面角，又，∴，由（1）知，且，∴，∴，由，解得，∴，即∴，即二面角的余弦值為.（3）取的中點，連接，∵，二面角為直二面角，∴平面，且.∵，，∴平面，∴，∴，又，由，得，∴.點睛：立體幾何的證明需要對證明的邏輯關系清楚，證明線線垂直，先由線面垂直得到線線垂直，再由線線垂直證明線面垂直；用普通法求二面角，講究“一作、二證、三求”，通過輔助線先把二面角的平面角及計算所需線段作出來，再證明所