南昌縣蓮塘第一中學2025屆高二數學第二學期期末考試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若，則復數在復平面上對應的點在A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．復數（為虛數單位），則的共軛復數的虛部是（）A． B． C． D．3．（）A． B． C．2 D．14．已知命題，總有，則為（）A．使得 B．使得C．總有 D．,總有5．下圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．6．設函數,（）A．3 B．6 C．9 D．127．經過橢圓的一個焦點作傾斜角為的直線l，交橢圓于M，N兩點，設O為坐標原點，則等于A． B． C． D．8．等比數列的前項和為，已知，，則（）A．270 B．150 C．80 D．709．設奇函數的最小正周期為，則（）A．在上單調遞減 B．在上單調遞減C．在上單調遞增 D．在上單調遞增10．已知向量與向量的模均為2，若，則它們的夾角是（）A． B． C． D．11．設是一個三次函數，為其導函數.圖中所示的是的圖像的一部分.則的極大值與極小值分別是（）.A．與 B．與 C．與 D．與12．已知的展開式中各項系數和為2，則其展開式中含項的系數是（）A．-40 B．-20 C．20 D．40二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若，，，則_____.14．一個高為1的正三棱錐的底面正三角形的邊長為6，則此三棱錐的側面積為______．15．直線為曲線，的一條切線，若直線與拋物線相切于點，且，，則的值為________.16．若函數為奇函數，則___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，圓C的參數方程（為參數），以O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.（1）求圓C的極坐標方程；（2）直線l的極坐標方程是，射線與圓C的交點為O、P，與直線l的交點為Q，求線段的長.18．（12分）參與舒城中學數學選修課的同學對某公司的一種產品銷量與價格進行了統計,得到如下數據和散點圖.定價x(元/千克)102030405060年銷量y(千克)115064342426216586z=2lny14.112.912.111.110.28.9參考數據:，.(1)根據散點圖判斷y與x,z與x哪一對具有較強的線性相關性(給出判斷即可,不必說明理由)?(2)根據(1)的判斷結果及數據,建立y關于x的回歸方程(方程中的系數均保留兩位有效數字).(3)當定價為150元/千克時,試估計年銷量.附:對于一組數據(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3),…,(xn,yn),其回歸直線x+的斜率和截距的最小二乘估計分別為19．（12分）現從某高中隨機抽取部分高二學生,調査其到校所需的時間(單位:分鐘),并將所得數據繪制成頻率分布直方圖(如圖),其中到校所需時間的范圍是,樣本數據分組為.(1)求直方圖中的值；(2)如果學生到校所需時間不少于1小時,則可申請在學校住宿.若該校錄取1200名新生,請估計高二新生中有多少人可以申請住宿；(3)以直方圖中的頻率作為概率,現從該學校的高二新生中任選4名學生,用表示所選4名學生中“到校所需時間少于40分鐘”的人數,求的分布列和數學期望．20．（12分）已知函數，．（1）當時，求在上的最大值和最小值：（2）若，恒成立，求a的取值范圍．21．（12分）唐代餅茶的制作一直延續至今，它的制作由“炙”、“碾”、“羅”三道工序組成：根據分析甲、乙、丙三位學徒通過“炙”這道工序的概率分別是，，；能通過“碾”這道工序的概率分別是，，；由于他們平時學徒刻苦，都能通過“羅”這道工序；若這三道工序之間通過與否沒有影響，（Ⅰ）求甲、乙、丙三位同學中恰好有一人通過“炙”這道工序的概率，（Ⅱ）設只要通過三道工序就可以制成餅茶，求甲、乙、丙三位同學中制成餅茶人數的分布列.22．（10分）設函數f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).(1)求函數f(x)的單調區間；(2)若不等式f(x)＞－x2(k∈N*)在(0，＋∞)上恒成立，求k的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分析：利用二次函數的性質可判定復數的實部大于零，虛部小于零，從而可得結果.詳解：因為，，所以復數在復平面上對應的點在第四象限，故選D.點睛：復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.2、C【解析】分析：求出復數，得到，即可得到答案.詳解：故的共軛復數的虛部是3.故選C.點睛：本題考查復數的乘法運算，復數的共軛復數等，屬基礎題.3、A【解析】

根據定積分表示直線與曲線圍成的圖像面積，即可求出結果.【詳解】因為定積分表示直線與曲線圍成的圖像面積，又表示圓的一半，其中；因此定積分表示圓的，其中，故.故選A本題主要考查定積分的幾何意義，熟記定積分幾何意義即可，屬于基礎題型.4、B【解析】

利用全稱命題的否定解答即得解.【詳解】根據全稱命題的否定為特稱命題可知，￢p為?x0＞0，使得（x0+1）≤1，故選：B．本題主要考查全稱命題的否定，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.5、B【解析】

根據三視圖得到原圖是，邊長為2的正方體，挖掉八分之一的球，以正方體其中一個頂點為球的球心。【詳解】根據三視圖得到原圖是，邊長為2的正方體，挖掉八分之一的球，以正方體其中一個頂點為球的球心，故剩余的體積為：故答案為：B.思考三視圖還原空間幾何體首先應深刻理解三視圖之間的關系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬.由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據俯視圖畫出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正視圖和側視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫出整體，然后再根據三視圖進行調整.6、C【解析】.故選C.7、C【解析】

橢圓化標準方程為，求得，設直線方程為，代入橢圓方程，求得交點坐標，由向量坐標運算求得．【詳解】橢圓方程為，，取一個焦點,則直線方程為，代入橢圓方程得，，所以，選C.本題綜合考查直線與橢圓相交問題，及向量坐標運算，由于本題坐標好求所以直接求坐標，代入向量坐標運算．一般如果不好求坐標點，都是用韋達定理設而不求．8、B【解析】

根據題意等比數列的公比，由等比數列的性質有，成等比數列，可得答案.【詳解】根據題意等比數列的公比.由等比數列的性質有，成等比數列所以有，則，所以，故選：B本題考查等比數列的前項和的性質的應用,屬于中檔題.9、B【解析】分析：利用輔助角公式將函數進行化簡，根號函數的周期和奇偶性即可得到結論．詳解：，

∵函數的周期是，，

∵）是奇函數，

即∴當時，即則在單調遞減，

故選：B．點睛：本題主要考查三角函數的解析式的求解以及三角函數的圖象和性質，利用輔助角公式是解決本題的關鍵．10、A【解析】

由題意結合數量積的運算法則可得，據此確定其夾角即可.【詳解】∵，∴，∴，故選A.本題主要考查向量夾角的計算，向量的運算法則等知識，意在考查學生的轉化能力和計算求解能力.11、C【解析】

易知，有三個零點因為為二次函數，所以，它有兩個零點由圖像易知，當時，；當時，，故是極小值類似地可知，是極大值.故答案為：C12、D【解析】

由題意先求得a＝﹣1，再把（2x+a）5按照二項式定理展開，即可得含x3項的系數．【詳解】令x＝1，可得（x+1）（2x+a）5的展開式中各項系數和為2?（2+a）5＝2，∴a＝﹣1．二項式（x+1）（2x+a）5＝（x+1）（2x﹣1）5＝（x+1）（32x5﹣80x4+80x3﹣40x2+10x﹣1），故展開式中含x3項的系數是﹣40+80＝40故選D．本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、0.15【解析】由題意可得：，則：，.點睛：關于正態曲線在某個區間內取值的概率求法①熟記P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值．②充分利用正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間面積為1.14、18【解析】

畫出滿足題意的三棱錐P-ABC圖形，根據題意，畫出高，利用直角三角形，求出此三棱錐的側面上的高，即可求出棱錐的側面積．【詳解】由題意畫出圖形，如圖所示：因為三棱錐P-ABC是正三棱錐，頂點在底面上的射影D是底面的中心，在三角形PDF中：因為三角形PDF三邊長PD=1，DF=3所以PF=2，則這個棱錐的側面積S=3×故答案為：18。本題考查棱柱、棱錐、棱臺的側面積和表面積和棱錐的結構特征，考查數形結合思想，還考查計算能力，是基礎題，棱錐的側面積是每一個側面的面積之和。15、1【解析】

分別根據兩曲線設出切線方程，消去其中一個變量，轉換為函數零點問題【詳解】設切線與曲線的切點為，則切線的方程為又直線是拋物線的切線，故切線的方程為且，消去得，即，設，則令，則，在上遞增，此時，上無零點；在上遞減，可得，時，有解，即時符合題意，故本題考察利用導數研究函數的單調性，利用導數求切線方程及零點存在性定理的應用。需注意直線是兩條曲線的共切線，但非公共點。16、【解析】

根據函數奇偶性的定義和性質建立方程求出a的值，再將1代入即可求解【詳解】∵函數為奇函數，∴f（﹣x）＝﹣f（x），即f（﹣x），∴（2x﹣1）（x+a）＝（2x+1）（x﹣a），即2x2+（2a﹣1）x﹣a＝2x2﹣（2a﹣1）x﹣a，∴2a﹣1＝0，解得a．故故答案為本題主要考查函數奇偶性的定義和性質的應用，利用函數奇偶性的定義建立方程是解決本題的關鍵．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）2【解析】

（1）首先利用對圓C的參數方程（φ為參數）進行消參數運算，化為普通方程，再根據普通方程化極坐標方程的公式得到圓C的極坐標方程．（2）設，聯立直線與圓的極坐標方程，解得；設，聯立直線與直線的極坐標方程，解得，可得．【詳解】（1）圓C的普通方程為，又，所以圓C的極坐標方程為.（2）設，則由解得，，得；設，則由解得，，得；所以本題考查圓的參數方程與普通方程的互化，考查圓的極坐標方程，考查極坐標方程的求解運算，考查了學生的計算能力以及轉化能力，屬于基礎題.18、(1)z與x具有較強的線性相關性(2)（3）估計年銷量為=1千克【解析】

由散點圖可知z與x對應的散點圖基本都在一條直線附近，線性相關性更強根據公式計算出回歸方程的系數，即可寫出回歸方程代入回歸方程求出年銷量【詳解】(1)由散點圖知,z與x具有較強的線性相關性.(2)∵≈-0.10,∴≈15,∴x+=15-0.10x.又∵z=2lny,∴y關于x的回歸方程為.(3)當定價為150元/千克時,估計年銷量為=1千克.本題考查了線性回歸方程及其應用，只需理清題目中的數據，代入公式即可求出線性回歸方程，然后求出年銷量，較為基礎19、（1）；（2）180；（3）.【解析】分析：（1）根據頻率分布直方圖的矩形面積之和為1求出x的值；（2）根據上學時間不少于1小時的頻率估計住校人數；（3）根據二項分布的概率計算公式得出分布列，再計算數學期望.詳解：(1)由直方圖可得,∴.(2)新生上學所需時間不少于1小時的頻率為:,,∴估計1200名新生中有180名學生可以申請住.(3)的可能取值為,有直方圖可知，每位學生上學所需時間少于40分鐘的概率為,,,,,,則的分布列為01234的數學期望.點睛：本題考查了頻率分布直方圖，離散型隨機變量的分布列與數學期望，屬于中檔題.20、（1）最大值是，最小值為1．（2）【解析】

（1）記的導函數的導數為，分析可得，結合，可得在R上是增函數，再，可得在上是增函數，即得解；（2）分，，三種情況分析的單調性，繼而分析的最小值，即得解.【詳解】（1）為表述簡單起見，記的導函數的導數為．當時，，則．，所以在R上是增函數．又，所以當時，，所以在上是增函數．故在上的最大值是，最小值為．（2），．①若，即時，，所以在R上是增函數．又，所以當時，，所以在上是增函數．所以當時，．可見，當，．又是偶函數，所以恒成立．所以符合題意．②若，即時，，所以在R上是減函數．所以當時，，所以在上是減函數．所以當時，．這與恒成立矛盾，所以不符合題意．③當時，．由，得．由的圖象，知存在唯一的，使得．當時，．所以在上是減函數．所以當時，，所以在上是減函數．所以當時，．這與恒成立矛盾，所以不符合題意．綜上，a的取值范圍是．本題考查了函數與導數綜合，考查了二次求導，含參函數的最值，不等式恒成立問題，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，分類討論，數學運算的能力，屬于較難題.21、（Ⅰ）0.35；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）甲、乙、丙中恰好有一人通過,可分為：甲過，乙、丙不過；乙過，甲、丙不過；丙過，乙、甲不過。（Ⅱ）先求出甲、乙、丙制成餅茶的概率，，.隨機變量的可能取值為，，，，分別求出其概率，寫出分布列即可。【詳解】解：（I）設，，分別表示事件“甲、乙、丙通過“炙”這道工序”，則所求概率（II）甲制成餅茶的概率為，同理，.隨機變量的可能取值為，，，，故的分布列為本題主要考查簡單隨機變量的分布列，屬于基礎題。22、(1)見解析(2)1【解析】

（1）首先求出f（x）的定義域，函數f（x）的導數，分別令它大于0，小于0，解不等式，必須注意定義域