咸寧市重點中學2024-2025學年數學高二第二學期期末統考模擬試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設函數，若實數分別是的零點，則（）A． B． C． D．2．小張從家出發去看望生病的同學，他需要先去水果店買水果，然后去花店買花，最后到達醫院.相關的地點都標在如圖所示的網格紙上，網格線是道路，則小張所走路程最短的走法的種數為（）A．72 B．56 C．48 D．403．已知函數f（x）＝（mx﹣1）ex﹣x2，若不等式f（x）＜0的解集中恰有兩個不同的正整數解，則實數m的取值范圍（）A． B．C． D．4．設函數fx=x3+a-1x2A．y=-2x B．y=-x C．y=2x D．y=x5．已知復數滿足，則（）A． B． C． D．6．已知函數，其中為自然對數的底數，則對任意，下列不等式一定成立的是（）A． B．C． D．7．已知，用數學歸納法證明時．假設當時命題成立，證明當時命題也成立，需要用到的與之間的關系式是（）A． B．C． D．8．如圖，某城市中，、兩地有整齊的道路網，若規定只能向東或向北兩個方向沿途中路線前進，則從到不同的走法共有（）A．10 B．13 C．15 D．259．在極坐標系中,點與之間的距離為(

)A．1 B．2 C．3 D．410．已知某幾何體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側視圖都由半圓及矩形組成，俯視圖由正方形及其內切圓組成，則該幾何體的表面積等于（）A． B． C． D．11．已知，是雙曲線的上、下兩個焦點，的直線與雙曲線的上下兩支分別交于點，，若為等邊三角形，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．12．已知復數，是共軛復數，若，其中為虛數單位，則（）A． B． C． D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．正三棱錐底面邊長為1，側面與底面所成二面角為45°，則它的全面積為________14．過拋物線的焦點作直線與該拋物線交于兩點，過其中一交點向準線作垂線，垂足為，若是面積為的等邊三角形，則__________．15．函數的定義域是________16．（題文）x-1x6三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設為實數，函數，（Ⅰ）若求的極小值.（Ⅱ）求證：當且時，.18．（12分）已知函數.(Ⅰ)證明：；(Ⅱ)若直線為函數的切線，求的最小值.19．（12分）已知函數.（1）若函數的圖象在點處的切線方程為，求，的值；（2）當時，在區間上至少存在一個，使得成立，求實數的取值范圍.20．（12分）設為虛數單位，為正整數，（1）證明：；（2），利用（1）的結論計算．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，，，且，，.（1）求證：；（2）在線段上,是否存在一點,使得二面角的大小為，如果存在,求與平面所成角的正弦值；如果不存在,請說明理由.22．（10分）如圖，已知點是橢圓上的任意一點，直線與橢圓交于，兩點，直線，的斜率都存在．（1）若直線過原點，求證：為定值；（2）若直線不過原點，且，試探究是否為定值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由題意得，函數在各自的定義域上分別為增函數，∵，又實數分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據所給的函數的解析式判斷單調性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據函數的單調性求得的取值范圍，其中借助0將與聯系在一起是關鍵．2、A【解析】

分別找出從家到水果店，水果店到花店，花店到醫院的最短路線，分步完成用累乘即可．【詳解】由題意可得從家到水果店有6種走法，水果店到花店有3種走法，花店到醫院有4種走法，因此一共有（種）本題考查了排列組合中的乘法原理．屬于基礎題．3、C【解析】

令，化簡得，構造函數，畫出兩個函數圖像，結合兩個函數圖像以及不等式解的情況列不等式組，解不等式組求得的的取值范圍.【詳解】有兩個正整數解即有兩個不同的正整數解，令，，故函數在區間和上遞減，在上遞增，畫出圖像如下圖所示，要使恰有兩個不同的正整數解等價于解得故，選C.本小題主要考查不等式解集問題，考查數形結合的數學思想方法，考查化歸與轉化的數學思想方法，屬于中檔題.4、D【解析】

分析：利用奇函數偶次項系數為零求得a=1，進而得到f(x)的解析式，再對f(x)求導得出切線的斜率k，進而求得切線方程.詳解：因為函數f(x)是奇函數，所以a-1=0，解得a=1，所以f(x)=x3+x所以f'(0)=1,f(0)=0，所以曲線y=f(x)在點(0,0)處的切線方程為y-f(0)=f'(0)x，化簡可得y=x，故選D.點睛：該題考查的是有關曲線y=f(x)在某個點(x0,f(x05、C【解析】

，，故選C.6、A【解析】

，可得在上是偶函數.函數，利用導數研究函數的單調性即可得出結果.【詳解】解：，在上是偶函數.函數，，令，則，函數在上單調遞增，，函數在上單調遞增.，，.故選：A.本題考查利用導數研究函數的單調性、函數的奇偶性，不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.7、C【解析】

分別根據已知列出和，即可得兩者之間的關系式.【詳解】由題得，當時，，當時，，則有，故選C.本題考查數學歸納法的步驟表示，屬于基礎題.8、C【解析】

向北走的路有5條，向東走的路有3條，走路時向北走的路有5種結果，向東走的路有3種結果，根據分步計數原理計算得出答案【詳解】因為只能向東或向北兩個方向向北走的路有5條，向東走的路有3條走路時向北走的路有5種結果，向東走的路有3種結果根據分步計數原理知共有種結果，選C本題考查分步計數原理，本題的關鍵是把實際問題轉化成數學問題，看出完成一件事共有兩個環節，每一步各有幾種方法，屬于基礎題．9、B【解析】

可先求出判斷為等邊三角形即可得到答案.【詳解】解析：由與,知,所以為等邊三角形,因此本題主要考查極坐標點間的距離，意在考查學生的轉化能力及計算能力，難度不大.10、D【解析】

由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個大圓與四棱柱的底面相切的半球，據此可以計算出結果.【詳解】解：由三視圖可知，該幾何體由上下兩部分組成，下面是一個底面邊長為的正方形，高為的直四棱柱，上面是一個大圓與四棱柱的底面相切的半球.表面積.故選：D.本題考查三視圖求解幾何體的表面積，屬于基礎題.11、D【解析】根據雙曲線的定義，可得是等邊三角形，即∴即

即又

0°即解得由此可得雙曲線的漸近線方程為.故選D．【點睛】本題主要考查雙曲線的定義和簡單幾何性質等知識，根據條件求出a，b的關系是解決本題的關鍵．12、B【解析】

原等式兩邊同乘以，可求得，從而可得，利用復數模的公式可得結果.【詳解】因為，所以，即，，可得，所以，，故選B.復數是高考中的必考知識，主要考查復數的概念及復數的運算．要注意對實部、虛部的理解，掌握純虛數、共軛復數、復數的模這些重要概念，復數的運算主要考查除法運算，通過分母實數化轉化為復數的乘法，運算時特別要注意多項式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯，造成不必要的失分.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、.【解析】分析：設正三棱錐P-ABC的側棱長為2a,PO為三棱錐的高，做PD垂直于AB，連OD，則PD為側面的高，OD為底面的高的三分之一，在三角形POD中構造勾股定理，列出方程，得到斜高即可．詳解：設正三棱錐P-ABC的側棱長為2a,PO為三棱錐的高，做PD垂直于AB，連OD，則PD為側面的高，OD為底面的高的三分之一，在三角形POD中故全面積為：故答案為.點睛：這個題目考查了正三棱錐的表面積的求法，其中涉及到體高，斜高和底面的高的三分之一構成的常見的模型；正三棱錐還有一特殊性即對棱垂直，這一性質在處理相關小題時經常用到.14、2.【解析】分析：根據是面積為的等邊三角形，算出邊長，及∠，得出p與邊長的關系詳解：是面積為的等邊三角形即∠即p=2點晴：本題主要考察拋物線的定義及性質，在拋物線類的題目中，做題的過程中要抓住拋物線上一點到焦點的距離和到準線的距離相等的條件是做題的關鍵15、【解析】

將函數的指數形式轉化為根式形式,即可求得其定義域.【詳解】函數即根據二次根式有意義條件可知定義域為故答案為:本題考查了具體函數定義域的求法,將函數解析式進行適當變形,更方便求解,屬于基礎題.16、15【解析】試題分析：展開式的通項公式為Tr+1=(-1)r考點：二項式定理三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.【解析】

（Ⅰ）將代入，求導，得出極小值點，代入即可求出答案。（Ⅱ）令，則，即只需說明當，在內單調遞增即可。【詳解】解：（I）由，，知，，令，得，則當時，，當時，，故在處取得極小值.極小值為.（II）證明：設，，于是，，由（I）知，對于，都有，故在內單調遞增.于是，當時，對任意的，都有，而，從而對，都有，即故本題考查利用函數單調性證明不等式，屬于中檔題。18、(1)見解析.(2).【解析】

（1）由即為，令，利用導數求得函數的單調性與最值，即可得到結論；（2）求得函數的導數，設出切點，可得的值和切線方程，令，求得，令，利用導數求得函數的單調性與最小值，即可求解．【詳解】(Ⅰ)證明：整理得令，當，，所以在上單調遞增；當，，所以在上單調遞減，所以，不等式得證.(Ⅱ)，設切點為，則，函數在點處的切線方程為，令，解得，所以，令，因為，，所以，，當，，所以在上單調遞減；當，，所以在上單調遞增，因為，.本題主要考查導數在函數中的綜合應用，以及不等式的證明，著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式，從而求出參數的取值范圍；也可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題．19、(1)m=2，n=﹣1；(2).【解析】分析：（1）求出函數的導數，結合切點坐標求出，的值即可；（2）求出函數的導數，通過討論m的范圍，求出函數的單調區間，從而求出m的范圍即可.詳解：（1）∵f′（x）=﹣+n，故f′（0）=n﹣m，即n﹣m=﹣3，又∵f（0）=m，故切點坐標是（0，m），∵切點在直線y=﹣3x+2上，故m=2，n=﹣1；（2）∵f（x）=+x，∴f′（x）=，當m≤0時，f′（x）＞0，故函數f（x）在（﹣∞，1）遞增，令x0=a＜0，此時f（x）＜0，符合題意，當m＞0時，即0＜m＜e時，則函數f（x）在（﹣∞，lnm）遞減，在（lnm，+∞）遞增，①當lnm＜1即0＜m＜e時，則函數f（x）在（﹣∞，lnm）遞減，在（lnm，1]遞增，f（x）min=f（lnm）=lnm+1＜0，解得：0＜m＜，②當lnm＞1即m≥e時，函數f（x）在區間（﹣∞，1）遞減，則函數f（x）在區間（﹣∞，1）上的最小值是f（1）=+1＜0，解得：m＜﹣e，無解，綜上，m＜，即m的范圍是（﹣∞，）．點睛：本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想.20、(1)證明見解析.(2).【解析】分析：（1）利用數學歸納法先證明，先證明當時成立，假設當時，命題成立，只需證明當時，命題也成立，證明過程注意三角函數和差公式的應用；（2）由（1）結論得，結合誘導公式與特殊角的三角函數可得結果.詳解：（1）1°當時，左邊，右邊，所以命題成立2°假設當時，命題成立，即，則當時，所以，當時，命題也成立綜上所述，（為正整數）成立（2）由（1）結論得點睛：本題主要考查復數的運算、誘導公式、特殊角的三角函數、歸納推理的應用以及數學歸納法證明，屬于中檔題.利用數學歸納法證明結論的步驟是:(1)驗證時結論成立；（2）假設時結論正確，證明時結論正確（證明過程一定要用假設結論）；（3）得出結論.21、（1）見解析（2）在線段上,存在一點,使得二面角的大小為，且與平面所成角正弦值為【解析】

（1）利用勾股定理得出，由平面，得出，利用直線與平面垂直的判定定理證明平面，于此得出；（2）設，以點為坐標原點建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，由解出的值，得出的坐標，則即為與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）∵，，∴，∴∵平面，∴，∴平面，平面，∴；（2）以為原點，以過平行于的直線為軸，所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標系，則，，，，，設，，，，設平面的法向量，則，即則，又平面的法向量為，∴解得：或（舍），，平面的法向量為，設與平面所成角為，則.本題考查異面直線垂直的證明，考查二面角的動點問題以及直線與平面所成角的計算，解題時要建立合適的坐標系，利用空間向量法來計算，另外就是對于動點的處理，要引入合適的參數表示動向量的坐標，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中等題．22、（1）見解析（2），詳見解析【解析】

（1）設，，由橢圓對稱性