練案［56］第三講成對數據的統計分析

6A組基礎鞏固9

一、單選題

1.（2024?廣西柳州模擬）依據如下樣本數據

X345678

—

y4.02.5-0.50.5-2.03.3

得到了閱歷回來方程y=^+a,則（C）

A.a>0,b>0B.水0,b>0

C.a>0,ZXOD.水0,ZKO

［解析］畫出散點圖，易知選C.

2.（2024?山西呂梁學院附中期中）如圖是相關變量x,y的散點圖，現對這兩個變量

進行線性相關分析，方案一：依據圖中全部數據，得到線性向來方程尸=4*+胡，相關系數

為r.：方案二：剔除點（10,21）,依據剩下數據得到線性|可來直線方程y=Z>“+在，相關系

數為四.則（D）

30

27

20

10

51015

A.0<r)<72<lB.0<72<21<1

C.-l<2*)<^<0D.—l<r><?'i<0

［解析］由題可知必y負相關，且剔除點（10,21）后相關性更強.故選D.

3.（2024?滄州七校聯考）通過隨機詢問200名性別不同的高校生是否愛好踢窗子運

動，計算得到統計量/的觀測值人心4.892,參照附表，得到的正確結論是（C）

P^X^Xa)0.100.050.025

Xa2.7063.8415.024

A.有97.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別有關”

B.有97.5%以上的把握認為“愛好該項運動與性別無關”

C.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別有關”

D.在犯錯誤的概率不超過5%的前提下，認為“愛好該項運動與性別無關”

4.（2024?課標I）某校一個課外學習小組為探討某作物種子的發芽率y和溫度雙單

位：℃）的關系，在20人不同的溫度條件下講行種子發芽試驗，由試驗數據（%,跖）（，

1,2,…，20）得到下面的散點圖:

由此散點圖，在10Z至40°C之間，下面四個回來方程類型中最相宜作為發芽率y和

溫度x的閱歷回來方程類型的是（D）

A.y=a-\-bxB.y=a+bf

C.y=a+戾'D.y=a+blnx

［解析］視察題中散點圖可知，散點圖用光滑曲線連接起來比較接近對數型函數的圖

象，故選D.

5.（2024?陜西榆林質檢）某公司為了確定下一年投入某種產品的宣揚費，需了解年宣

揚費爪單位：萬元）對年銷售量y（單位：千件）的影響.現收集了近5年的年宣揚費雙單

位：萬元）和年銷售量近單位：千件）的數據，其數據如下表所示，且y關于x的線性回來

方程為8.2,則下列結論錯誤的是（C）

X4681012

y1571418

A.x,y之間呈正相關關系

B.6=2.15

C.該回來直線肯定經過點（8,7）

D.當此公司該種產品的年宣揚費為20萬元時，預料該種產品的年銷售量為34800件

m—4+6+8+10+12—1+5+7+14+18”土心

［解析］因為、=-------5-------=8,y=-------5-------=%所以該回來直線

肯定經過點（8,9）,故9=86—8.2,解得。=2.15,即A,B正確，C不正確；將x=20代入y

=2.15%—8.2,得y=34.8,故當此公司該種產品的年宣揚費為20萬元時，預料該種產品

的年俏售量為34800件，D正確.

6.（2024-山東“學情空間”區域教研共同體聯考）已知變量x,y的關系可以用模型y

其中。為自然對數的底數）進行擬合，設z=ln八其變換后得到一組數據如下：

X46781()

z23456

由上表可得線性回來方程z=0.7x+a,則當*=12時;預料y的值為（D）

A.9.3B.e93

7.5

C.7.5Dn.e

rztn+rT,,-4+6+7+8+10—24-3+4+5+6

［解析］由表格數據計算可r知：X=-------3-------=7,z=-5—=4.

將x,z代入z=0.7x+a,解得a=-0.9.

所以z=0.7x-().9.

**4

所以尸ez=ea7i>所以當*=12時，

y=e°c79=e7.5.故逃D

二、多選題

7.(2024?山東師大附中期中)已知變量x,y之間的閱歷回來方程為y=7.6—0.4筋

且變量x,y的數據如表所示，則下列說法正確的是(BCD)

X681012

y6m32

A.變量刈，之間呈正相關關系

B.變量x,y之間呈負相關關系

C.勿的值等于5

D.該回來直線必過點⑼4)

［解析］由閱歷回來直線必過樣本點中心(9,旦產)即紅產=7.6—0.4X9,解得加

=5,故C正確；乂〃=一。.4<(),正確，A錯誤；該回來直線肯定過(9,4).故選BCD.

8.為了解閱讀量多少與華蜜感強弱之間的關系，一個調查機構依據所得到的數據，繪

制了如下的2X2列聯表(個別數據暫用字母表示)：

華蜜感強華蜜感弱總計

閱讀量多m1872

閱讀量少36n78

總計9060150

計算得:*=12.981,參照下表:

a0.100.050.0250.0100.0050.001

X。2.7063.8415.0246.6357.87910.828

對于下面的選項，正確的為(BC)

A.依據小概率值。=0.()1()的獨立性檢驗，可以認為“閱讀量多少與華蜜感強弱無

關，，

B.勿=54

C.依據小概率值a=0.005的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下

認為“閱讀量多少與華蜜感強弱有關”

D.〃=52

［解析］VX2^12.981,〃（-26.635）=0.01,P{x^l.879）=0.005,

又12.981>6.635,12.981>7.879,

???依據小概率值。=0.010的獨立性檢驗，可以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下認

為“閱讀量多少與華蜜感強弱有關”，依據小概率值Q=0.005的獨立性檢驗，可以在犯

錯誤的概率不超過0.5%的前提下認為“閱讀量多少與華蜜感強弱有關"，???A錯，C對；???

/77+36=90,184-/7=60,.*m=54,〃=42,...B對，D錯.故選BC.

9.（2024?廣東珠海模擬）已知由樣本數據（笛，外）行=1,2,3,…，8）,組成的一個樣

本，得到回來直線方程為y=2x-0.4且；=2,去除兩個歧義點（一2,7）和（2,—7）后，得

到新的回來直線的斜率為3.則下列說法正確的是（ABD）

A.相關變量x,y具有正相關關系

B.去除歧義點后的回來直線方程為尸3x—3.2

C.去除歧義點后，隨x值增加相關變量y值增加速度變小

D.去除歧義點后，樣本（4,8.9）的殘差為0.1（附：殘差。,=匕一切）

［解析］由回來方程的斜率知變量心y具有正相關關系，故A正確；由}=2代入y=

——2X88—

2x—0.4得y=3.6,???去除兩個歧義點（一2,7）和（2,—7）后，得到新的才=二一=可，y

OC

?.?得到新的回來直線的斜率為3,

L--8

???由y—34=4.8—3><鼻=一3.2,

O

，去除歧義點后的回來直線方程為尸3x-3.2,故B正確；

由于斜率為3>1,故用關變量刈y具有正相關關系且去除歧義點后，由樣本估計總體

的y值增加的速度變大，故C錯誤：

由匕=38—3.2=3Xl-3.2=8.8得e,=%一%=8.9-8.8=0.1.故D正確.故選ABD.

10.（2024?山東煙臺期末）某高校為了解學生對學校食堂服務的滿足度，隨機調查了

50名男生和5（）名女生，每位學生對食堂的服務給出滿足或不滿足的評價，得到如圖所示的

列聯表.經計算?的觀測值箝比4.762,則下列結論正確的為（ACD）

滿足不滿足

男3020

女4010

0.1000.0500.010

Xa2.7063.8416.635

3

A.該學校男生對食堂眼務滿足的概率的估計值飆

B.調研結果顯示，該學校男生比女生對食堂服務更滿足

C.有95%的把握認為男、女生對該食堂服務的評價有差異

D.在犯錯概率不超過5%的前提下認為男、女生對該食堂服務的評價有差異

［解析］由表易知男生比女生對食堂服務滿足率低，故B錯；又

100X30X10-40X202十本從田

―70X30X50X50~乂?8>3.841,'ACD正確.故選ACD.

三、填空題

11.（2024?吉林市五地六校適應性考試）公司對2024年1?4月份的獲利狀況進行了數

據統計，如下表所示:

月份x1234

利潤〃萬元566.58

利用線性回來分析思想，預料出2024年8月份的利潤為11.6萬元，則y關于x的線性

回來方程為？=0.95x+4.

［解析］設線性回來方程為尸力x+a,

因為亍=號，

Zo

51

3b+a=不

由題意可得,解得b=0.95,<2=4,

186+5=11.6,

即y=0.95x+4.

12.（2024?黑龍江大慶試驗中學模擬）通過市場調查知某商品每件的市場價爪單位;

元）與上市時間近單位：天）的數據如下:

上市時間x天41036

市場價y元905190

依據上表數據，當aWO時，下列函數：

?y=ax-\rh②尸aV+bx+c；③尸alogd中能恰當的描述該商品的市場價y與上市

時間才的改變關系的是（只需寫出序號即可）

［解析］依據表格供應數據可知，y隨*先變小，后變大，即至少有遞減和遞增兩個過

程，而①③對應的函數為單調函數，不符合題意.②為二次函數，有遞減和遞增兩個區

間，a>0時，能恰當的描述該商品的市場價y與上市時間x的改變關系.故答案為②.

13.某籃球聯賽期間，某一電視臺對年齡高于30歲和不高于30歲的人是否喜愛甲隊進

行調查，對高于30歲的調查了45人，不高于30歲的調查了55人，所得數據繪制成如下列

聯表：

年齡

是否喜愛中隊

不喜愛甲隊喜愛甲隊合計

高于30歲PQ45

不高于30歲154055

合計p+15什40100

3

若工作人員從調查的全部人中任取一人，取到喜愛甲隊的人的概率為『依據小概率值

4=0.005的獨立性檢驗，推斷年齡與是否喜愛甲隊（填“有”或“無”）關聯.

附-x=------------.

a+bc~\-曲+cb+(/

a0.0500.0100.0050.001

3.8416.6357.87910.828

g+40_3

［解析］由題知100一;解得g=2O,〃=25,

/+g=45，

g”10025X40—15X2（）22450°~…

所以*2=40X60X45X55=297249>7-879?

所以有99.5席的把握認為年齡與是否喜愛甲隊有關.

四、解答題

14.（2024?廣東四校聯考）每年的3月21日是世界睡眠日，保持身體健康的重要標記

之一就是有良好的睡眠，某機構為了調查參與體育熬煉對睡眠的影響，從轄區內同一年齡

層次的常參與體育熬煉和不常參與體育熬煉的人中，各抽取了100人，通過問詢的方式得

到他們在一周內的睡眠時間（單位：小時），并繪制出如下頻率分布直方圖.

若每周的睡眠時間不少于44小時的列為“睡眠足”，每周的睡眠時間在44小時以下的

列為“睡眠不足”，請依據已知條件完成下列2X2列聯表，并依據小概率值。=0.()1的獨

立性檢驗，分析“睡眠足”與“常參與體育熬煉”是否有關？

睡眠足睡眠不足總計

常參與體育熬煉人員

不常參與體育熬煉人員

總計

［解析］依據頻率分布直方圖可得：

常參與體育熬煉且睡眠足的人數為：

100X4X(0.04254-0.0625+0.0625+0.02)=75,

常參與體育熬煉且睡眠不足的人數為：100—75=25,

不常參與體育熬煉且睡眠足的人數為：

100X4X(0.0725+0.035+0.015+0.015)=55,

不常參與體育熬煉且睡眠不足的人數為：

100-55=45,

繪制列聯表如下:

睡眠足睡眠不足總計

常參與體育熬煉人員7525103

不常參與體育熬煉人員5545103

總計13070203

200X75X45-25X552

=100X100X130X70791>6.635,

因此有99%的把握認為“睡眠足”與“常參與體育熬煉”有關.

15.(2024?河北省階段測試)某新型智能家電在網上銷售，由于安裝和運用等緣由，

必需有售后服務人員上門安裝和現場教學示范操作，所以每個銷售地區需配備若干售后服

務店，月地區通過幾個月的網上銷售，發覺每月利潤(萬元)與該地區的售后服務店個數有

相關性，下表中才表示該地區的售后服務店個數，y表示在有x個售后服務店狀況下的月利

潤額.

x（個）23456

y（萬元）1934465769

（1）求y關于A■的線性回來方程；

（2）假設x個售后服務店每月需消耗資金2=3.8+0.51（單位：萬元），請結合（1）中的

線性回來方程，估算力地區開設多少個售后服務店時，才能使力地區每月所得利潤平均到每

個售后服務店最高.

附：回來直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：

參考數據：2>y=l023.

/-I

［解析］(1)依據題意，可得：~7=2+3+?+5+9=4,

□

—19+34+46+57+69什

y=---------------5--------------=45,

E(X-x)(修一y)=Z(X,y-xy-Xiy+xy)

/=!/=!

5__

=￡必必—5xy=1023—5X4X45=123,

￡(x—x/=10,

/=l

???6=12.3,a=45-12.3X4=-4.2,

回來直線方程為y=12.3>—4.2.

(2)每月的凈利潤為z=y-1=12.3x-4.2-(0.5x+3.8)=-0.5"12.3A—8,

其平均利潤為^=12.3一修+,卜12.3—4=8.3(萬元),

當且僅當x=4時，取等號.

所以估算力地區開設4個售后服務店時，才能使力地區每月所得利潤平均到每個售后服

務店最高.

6B組實力提升9

1.（多選題）下列說法正確的是（CD）

A.設有一個回來方程尸=3-5人變量x增加一個單位時，y平均增加5個單位

B.若兩個具有線性相關關系的變量的相關性越強，則線性相關系數r的值越接近于1

C.在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區域越窄，說明模型的擬合精度越高

D.在線性回來模型中，相關指數尸越接近于1,說明回來的效果越好

［解析］A選項，因為y=3-5才，所以變量x增加一個單位時，y平均削減5個單位，

故A錯：

B選項，線性相關性具有正負，相關性越強，則線性相關系數r的肯定值越接近于1,

故B錯；

C選項，在殘差圖中，殘差點分布的水平帶狀區域越窄，說明波動越小，即模型的擬

合精度越高，故C正確；

D選項，在線性回來模型中，相關指數"越接近于：，說明模型擬合的精度越高，即回

來的效果越好，故D正確.故選CD.

2.（多選題）為了增加學生的身體素養，某校將冬天長跑作為一項制度固定卜來，每天

大課間例行跑操.為了調查學生喜愛跑步是否與性別有關，探討人員隨機調杳了相同人數

的男、女學生，發覺男生中有80%喜愛跑步，女生中有40%不喜愛跑步，且有95%的把握推

斷喜愛跑步與性別有關，但沒有99%的把握推斷喜愛跑步與性別有關，則被調查的男、女

學生的總人數可能為（AB）

0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

A.120B.130

C.240D.250

［解析］依題意，設男、女學生的人數均為5X（X￡N）,則被調查的男、女學生的總人

數為10尤建立如下2X2列聯表：

喜愛跑步不喜愛跑步總計

男4%X5x

女3x2x5x

總計7x3x10x

則”=5—義5xX3>X7>=可'又3,841〈萬-W6.635,

所以80.661<1OxW139.335.故選AB.

3.（2024?新高考I）為加強環境愛護，治理空氣污染，環境監測部門對某市空氣質量

進行調研，隨機抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度(單位：pg/m3),得下表:

S02

[0,50](50,150](150,475]

PM2.5

[0,35]32184

(35,75]6812

(75,115]3710

(1)估計事務”該市一天空氣中PM2.5濃度不超過7E,且S6濃度不超過150”的概率:

⑵依據所給數據，完成下面的2X2列聯表：

S02

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]

(75,115]

(3)依據(2)中的列聯表，推斷是否有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與S0?

濃度有關.

nad-bt

a+beA-曲+cb-\-cf

0.0500.0100.001

Xa3.8416.63510.828

［解析］(1)依據抽查數據，該市100天的空氣中FM2.5濃度不超過75,且S0?濃度不

超過15()的天數為32+18+6+8=64,因此，該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75,且SO?

64

濃度不超過150的概率的估計值為礪=0.64.

(2)依據抽查數據，可得2X2列聯表:

SO，

[0,150](150,475]

PM2.5

[0,75]6416

(75,115]1010

(3)依據(2)的列聯表得

2100X64X10-16X102

系=--------------------弋484

80X20X74X267°

由于7.484>6.635=為@。，故有99%的把握認為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO?濃度有

關.

4.(2024?山東師范高校附中模擬預料)某探討所為了探討某種昆蟲的產卵數y與溫度

x之間的關系，現將收集到的溫度％和一組昆蟲的產卵數2,…，6)的6組觀測數

據作J'初步處理，得到如圖的散點圖及一些統計數據.

/

§90

<80

70

60

50

40

30

20

10

2030

溫

35餒

經計算得到以下數據:

__]6_166____6__

x=己2必=26,y=-^y,=33,Z（%-x）（必-y）=557,￡（x—x）2=84,

/"I7-17—1/"I

6_6

￡（%—y）2=3930,￡（%—yM=236.64.

r-l7-1

（1）若用線性回來模型來擬合數據的改變關系，求y關于*的回來方程尸以+a（結果精

確到0.1）；

（2）若用非線性回來模型來擬合數據的改變關系，求得y關于x的回來方程;nO.OGe^30

3\且相關指數為"=0.9572.

①試與（1）中的回來模型相比，用下說明哪種模型的擬合效果更好；

②用擬合效果好的模型預料溫度為35℃時該組昆蟲的產卵數（結果四舍五入取整數）.

附參考公式：對于一組具有線性相關關系的數據（?小?）,（如㈤，…，（*“，G，

n__

EXLxy-y

--/-1八

其回來直線尸"+a截距和斜率的最小二乘法估計公式分別為：b=------------,a=

V〉,X—-X2

/=1

y-bx，

2y-yf

相關系數："=1-----------.參考數據：e&戢3~3167.

Zy/-72

/=1

6__

LXLxy-y

［解析］(D由題意可知力=----------------=吟七6.6,

ZXLX2

a=y~bx=33-6.6X26=-138.6,

???y關于x的線性回來方程是尸G.GA—138.G.

⑵①用指數回來模型擬合y與x的關系，相關指數〃比0.9672,

￡…2

線性回來模型擬合y與x的關系，相關指數〃=1一二-------=1一瓷算20.9398,

6Jy15U

2修一丁

2=!

且0.9398<0.9672,

.??用y=0.06/2303'比y=6.6*—138.6擬合效果更好.

②/=0.06/加3'中，令x=35,

則尸0.O6e02303x35=0.06e80M3^0.06X3167比190,

故預料溫度為35