人教B版高一暑假作業7：數量積、三角恒等變換和正余弦定理一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.(2024·河南省·單元測試)已知向量a=(1,2)，b=(?2,0)，則a在b上的投影向量坐標為(

)A.(?255,0) B.(22.(2023·陜西省寶雞市·月考試卷)已知ΔABC各邊長為1，BC=a，CA=b，ABA.3 B.?3 C.32 D.3.(2023·全國·聯考題)已知向量a=(m,1)，b=(2,n?1)，m>0且n>0，若a⊥b，則1A.2 B.4 C.6 D.84.(2024·澳門特別行政區·月考試卷)sin77°cos43°+sin13°cos47°的值為(

)A.12 B.32 C.?5.(2024·湖北省·單元測試)若tanα=2tanπ5，則A.1 B.2 C.3 D.46.(2023·重慶市·模擬題)被譽為“中國現代數學之父”的著名數學家華羅庚先生于1946年9月應普林斯頓大學邀請去美國講學，之后又被美國伊利諾依大學聘為終身教授．新中國成立的消息使華羅庚興奮不已，他放棄在美國的優厚待遇，克服重重困難回到祖國，投身到新中國數學科學研究事業中，這種赤子情懷讓眾多年輕人受到感染和激勵．他倡導的“0.618優選法”在生產和科研實踐中得到了非常廣泛的應用，0.618就是分割比t=5?12的近似值，分割比還可以表示成2sin?18°，則tA.?4 B.4 C.?2 D.27.(2024·安徽省·模擬題)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b=2，cosBb=cosA+cosCa+cA.12 B.23 C.1 8.(2023·江蘇省·合格性考試)在ΔABC中，AB?BC5=BCA.9:7:8 B.3:7:22 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.(2024·陜西省·期末考試)下列選項中，與sin5π6的值相等的是(

)A.cos2π3 B.cos?18°cos?42°?sin10.(2024·重慶市·單元測試)已知a，b，c均為非零向量，下列命題錯誤的是(

)A.?λ∈R，λ(a+b)=a?b

B.(a?b)?c=a?(b?11.(2024·江蘇省無錫市·月考試卷)已知?ABC內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，以下結論中正確的是(

)A.若A>B，則sinA>sinB

B.若a=2，b=5，B=π3，則該三角形有兩解

C.若acosA=bcosB，則?ABC一定為等腰三角形三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.(2024·云南省楚雄彝族自治州·其他類型)a=(1,m),b=(3,?2)，若(a+b)//b，則實數m=

13.(2023·江蘇省蘇州市·期末考試)已知α，β為一個斜三角形的兩個內角，若cosα?sinαcosα+sinα14.(2023·湖北省·單元測試)定義非零向量之間的一種運算“⊕”，記a⊕b=acosθ+bsinθ，(其中θ是非零向量a，b的夾角)，若e1，e2

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(2023·黑龍江省佳木斯市·期末考試)(本小題13分)

已知f(α)=sin(3π?α)tan(π+α)sin(3π2?α)cos(α?π2)tan(3π?α)．

16.(2024·重慶市市轄區·其他類型)(本小題15分)

在①a+c=9；②b=210，兩個條件中選一個填在下面試題的橫線上，并完成試題(如果多選，以選①評分)．

在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知c=33asinB+bcosA．

(Ⅰ)求角B；

(Ⅱ)

17.(2024·全國·專項測試)(本小題15分)

高鐵是我國國家名片之一，高鐵的修建凝聚著中國人的智慧與汗水.如圖所示，B、E、F為山腳兩側共線的三點，在山頂A處測得這三點的俯角分別為30°、60°、45°，計劃沿直線BF開通穿山隧道，測得BC、DE、EF三段線段的長度分別為3km、1km、2km．

(1)求出線段AE的長度；

(2)求出隧道CD的長度．18.(2024·江蘇省·單元測試)(本小題17分)

已知向量m→=(sin?A,12)與n→=(3,sin?A+3cos?A)共線，其中A是△ABC的內角．

(1)求角A

19.(2023·安徽省合肥市·月考試卷)(本小題17分)已知點A(2,0)，B(0,2)，C(cosα,sinα)，O(0,0)，且0<α<π．(1)若|OA+OC|=(2)若AC⊥BC，求tanα的值．1.【答案】D

【解析】【分析】本題考查投影向量(平面向量)，平面向量的坐標運算，屬于基礎題．

由a在b上的投影向量坐標運算公式可得．【解答】

解：∵向量a=(1,2)，b=(?2,0)，

∴a在b上的投影向量坐標為a·b2.【答案】D

【解析】【分析】本題考查了向量的數量積的概念及其運算，屬基礎題．【解答】

解：由題意可得，〈a，b〉=〈a，c〉=〈b3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查向量的垂直，基本不等式，屬于基礎題，

根據向量垂直求出2m+n=1，再利用基本不等式求出最值．【解答】

解：a?b=2m+(n?1)=0?2m+n=1，

1m+4.【答案】B

【解析】【分析】本題考查三角函數的化簡求值，熟練掌握兩角差的余弦公式，誘導公式是解題的關鍵，考查運算求解能力，屬于基礎題．

結合誘導公式與兩角差的余弦公式，即可得解．【解答】

解：sin77°cos43°+sin13°cos47°=cos13°cos43°+sin13°sin43°=cos(13°?43°)=cos(?30°)=5.【答案】C

【解析】【分析】本題考查三角函數的化簡求值和證明，涉及兩角和與差的正弦公式，同角三角函數的基本關系，誘導公式，屬于基礎題．

由題意，先對cos(α?3π10)【解答】

解：原式=sin又tanα=2tanπ5，所以原式=26.【答案】C

【解析】【分析】本題主要考查了同角三角函數基本關系，二倍角公式，誘導公式，屬于基礎題．

利用同角三角函數基本關系，二倍角公式，誘導公式化簡得到答案．【解答】解：t=?2故選C．7.【答案】C

【解析】【分析】本題考查余弦定理，利用正弦定理求三角形外接圓半徑，屬于中檔題．

由已知條件化簡得到b=2，B=π3，設△ABC的外接圓圓心為O，則動點B的軌跡為優弧AC(不包括點A、點C).設∠MOB=θ(0<θ≤π)，則BM是關于θ的函數，且是增函數，當θ=π，即B，O，M三點共線時，【解答】

解：已知b=2，

則a2+c2?b22acb=b2+c2?a22bc+a2+b2?c22aba+c，

即a2+c2?b22abc=ab2+c2?a2+ca2+b2?c22abca+c，

即a2+c2?b2a+c=ab2+c2?a2+ca2+b2?故選：C．8.【答案】B

【解析】【分析】本題考查正弦定理、余弦定理及向量的數量積，屬于中檔題．

設AB?BC5=BC?CA4=【解答】

解：設AB?所以AB?BC=5t，BC?CA=4t，CA?AB=3t，

c2+a2?解得a=3?t，b=由正弦定理得，sinA:故選B．9.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查兩角和與差的三角函數公式，二倍角公式，誘導公式，屬于基礎題．

計算得到sin5π【解答】解：sin5π6=sinπcos?18°cos?42°?2sin15°tan30°+故選BC．10.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查向量的數量積，屬于基礎題．

利用數量積，結合特殊值法逐個判斷即可．【解答】

解：λ(a+b)仍是向量，a?b不是向量，故A錯誤．

若a?b=b?c=0，則(a?b)?c=a?(b?c)，故B正確．

若b=(1,0)，11.【答案】AD

【解析】【分析】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理判斷三角形的形狀，屬于基礎題．

對A，根據正弦定理判斷即可；

對B，根據正弦定理求解sinA判斷即可；

對C，根據正弦定理結合正弦函數的取值判斷即可；

對D，根據正弦定理角化邊，再根據余弦定理判斷即可．【解答】對A，由三角形的性質，當A>B時，a>b，即2Rsin?A>2Rsin?B，故sin?A>sin?B，故A正確；

對B，由正弦定理asin?A=bsin?B，故2sin?A=532，故sinA=155，因為a<b，故A<π3，故該三角形只有1解，故B錯誤；

對C，由正弦定理，sinAcosA=sinBcosB，故sin?2A=sin?2B，

又0<A<π，0<B<π，所以A=B或12.【答案】?2【解析】【分析】本題考查向量數量積的坐標計算，關鍵是掌握向量平行或垂直與向量數量積的關系．

根據題意，由向量的坐標計算公式可得a+b=(4,m?2)【解答】

解：根據題意，向量a=(1,m)，b=(3,?2)，則a+b=(4,m?2)，

若(a+b)//b，則?8=3(m?2)，解得：m=?23；

若13.【答案】?1【解析】【分析】本題考查正余弦齊次式的化簡、二倍角余弦公式，屬于較難題．

化簡得1?tanα1+tanα【解答】

解：因為α，β為一個斜三角形的兩個內角，所以cosα與cosβ均不為0，

因為cosα?sinαcosα+sinα=cos2β，所以1?tanα1+tanα=cos2β?sin2β=cos2β?sin2βcos2β+sin2β=1?tan2β14.【答案】?195【解析】【分析】

本題考查向量的新定義問題，也考查了向量的數量積運算的靈活應用，屬于基礎題．

由平面向量夾角公式可計算cose1,e2的值，進而可得sin【解答】解：因為a⊕b=acosθ+bsinθ(e1，e2均為單位向量，且所以cose1,e所以sine因為e所以cose1所以e1⊕e2所以cos<e==?故答案為：?195197．15.【答案】解：(1)f(α)=sin(3π?α)tan(π+α)sin(3π2?α)cos(α?π2)tan(3π?α)

=sinα?tanα?(?cosα)sinα?(?tanα)=cosα，

因為α∈(0,2π)，且f(α)=cosα=?12，【解析】本題主要考查了誘導公式，同角三角函數基本關系式，二倍角公式在三角函數求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．

(1)利用誘導公式可求f(α)=cosα=?12，結合范圍即可求解α的值．

(2)利用誘導公式，同角三角函數基本關系式可求16.【答案】解：(Ⅰ)∵c=33asinB+bcosA，

∴sinC=33sinAsinB+sinBcosA，

∴sin(A+B)=33sinAsinB+sinBcosA，

即sinAcosB+cosAsinB=33sinAsinB+sinBcosA，

∴sinAcosB=33sinAsinB，

又因為sinA>0，所以3cosB=sinB，即tanB=3，

∵0<B<π，

∴B=π3；

(Ⅱ)選①∵BA?BC=10，

∴|BA||BC|cosπ3=10【解析】本題主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，還考查了向量數量積的定義及性質的應用．

(I)由已知結合正弦定理及和差角公式進行化簡可求tanB，進而可求B；

(II)若選①結合向量數量積的定義及性質可求ac，然后結合余弦定理可求b，進而可求三角形周長；

若選②結合向量數量積的定義及性質可求ac，然后結合余弦定理可求a+c，進而可求三角形周長．17.【答案】解：(1)由已知可得EF=2，∠F=45°，∠EAF=60°?45°=15°，

在△AEF中，由正弦定理得：AEsin∠F=EFsin∠EAF，

即AEsin45°=2sin15°，解得AE=2(3+1)；

(2)由已知可得∠BAE=180°?30°?60°=90°，【解析】本題考查三角形的解法，考查正弦定理的應用，是基礎題．

(1)由已知直接利用正弦定理列式求得AE；

(2)在△ABE中，求出∠BAE=90°，可得∠ABE=30°，再由AE可得BE，減去BC、DE的長度得答案．18.【答案】解：(1)∵向量m→=(sin?A,12)與n→=(3,sin?A+3cos?A)共線，

∴sinA(sinA+3cosA)?32=0，

∴32sin2A?12cos2A=1，

∴sin(2A?π6)=1．

∵A∈(0,π)，【解析】本題考查向量知識的運用，考查三角函數的化簡，考查余弦定理的而運用，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是正確化簡函數．

(1)利用向量m=(sinA,12)與n=(3,sinA+3cosA)共線，可得sinA(sinA+319.【答案】解：(1)由OA+OC=(2+cosα,sinα)，|OA+OC|=7，

∴(2+cosα)2+s