第一章三角形的證明2022年新課標要求內容要求學業要求1.證明定理:兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等.2.探索并證明等腰三角形的性質定理:等腰三角形的兩個底角相等;底邊上的高線、中線及頂角平分線重合;探索并掌握等腰三角形的判定定理:有兩個角相等的三角形是等腰三角形.探索等邊三角形的性質定理:等邊三角形的各角都等于60°.探索等邊三角形的判定定理:三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形.在直觀理解和掌握圖形與幾何基本事實的基礎上,經歷得到和驗證數學結論的過程,感悟具有傳遞性的數學邏輯,形成幾何直觀和推理能力;經歷尺規作圖的過程,增強動手能力,能想象出通過尺規作圖的操作所形成的圖形,理解尺規作圖的基本原理和方法,發展空間觀念和空間想象力.3.探索并掌握直角三角形的性質定理:直角三角形的兩個銳角互余.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形.4.探索并掌握判定直角三角形全等的“斜邊、直角邊”定理.5.探索并證明線段垂直平分線性質定理:線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等;反之,到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.6.探索并證明角平分線的性質定理:角平分線上的點到角兩邊的距離相等;反之,角的內部到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.7.能利用尺規作圖:已知底邊及底邊上的高線作等腰三角形;已知一直角邊和斜邊作直角三角形.8.了解原命題及其逆命題的概念.會識別兩個互逆的命題,知道原命題成立,其逆命題不一定成立.9.通過實例體會反證法的含義.1等腰三角形第1課時全等三角形和等腰三角形的性質全等三角形的判定和性質(1)兩角分別

且其中一組等角的對邊

的兩個三角形全等,簡稱AAS;

(2)全等三角形的對應邊相等、對應角相等;(3)三角形全等的判定方法有:SSS,SAS,ASA和AAS.相等相等[例1]如圖所示,已知點B,E,C,F在同一條直線上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.求證:BE=CF.證明:∵AC∥DF,∴∠ACB=∠F.在△ABC和△DEF中,∵∠A=∠D,∠ACB=∠F,AB=DE,∴△ABC≌△DEF(AAS).∴BC=EF.∴BC-CE=EF-CE,即BE=CF.新知應用D1.如圖所示,△EFG≌△NMH,∠E=60°,∠F=40°,EF=4,EH=1,則下列結論正確的是()A.∠M=60° B.∠MHN=50°C.MH=4 D.GN=12.如圖所示,在△ABC中,點E是BC邊上的點,BM∥CN,BM=CN.求證:E是線段BC的中點.證明:∵BM∥CN,∴∠M=∠CNE.在△BME和△CNE中,∵∠BEM=∠CEN,∠M=∠CNE,BM=CN,∴△BME≌△CNE(AAS).∴BE=CE.∴E是線段BC的中點.等腰三角形的性質(1)等腰三角形的兩底角

,簡述為

;

(2)等腰三角形頂角的

、底邊上的

及底邊上的

互相重合.

[例2-1]如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,點D在AC上,BD=BC,則∠ABD的度數為

.

相等等邊對等角平分線中線高線30°[例2-2](教材P4習題T3變式)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC邊上的中點.(1)若∠B=20°,則∠DAC的大小為

;

(2)若AB=13,AD=5,則BC的長為

.

70°24新知應用1.已知等腰三角形的兩內角分別是40°和70°,則等腰三角形的底角的度數是()A.40° B.70°C.70°或40° D.55°2.(2023達州渠縣月考)如圖所示,△ABC是等腰三角形,AB=AC,AD是底邊BC上的高,下面結論不一定成立的是()A.BD=CD B.BD=ADC.AD平分∠BAC D.∠B=∠CBB3.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD是BC邊上的中線,E是線段AC上一點,且AE=AD,∠BAD=50°,則∠CDE的度數為

.

25°D1.若等腰三角形的頂角為50°,則它的底角度數為()A.40° B.50° C.60° D.65°2.(2023成都簡陽期中)若等腰三角形的一邊為4,另一邊為9,則這個三角形的周長為()A.17 B.22 C.13 D.17或22B3.(2023眉山)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,則∠ACD的度數為()A.70° B.100° C.110° D.140°4.(2023長清期末)如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足為D.若S△ABC=12,則圖中陰影部分的面積為

.

C6第2課時等腰三角形中有關線段的性質和等邊三角形的性質等腰三角形中的相等線段(1)等腰三角形兩底角的平分線

;

(2)等腰三角形兩腰上的中線

;

(3)等腰三角形兩腰上的高

.

相等相等相等[例1]如圖所示,在△ABC中,AB=AC,D,E分別是AB,AC的中點.求證:CD=BE.新知應用A1.(易錯題)下列說法:①等腰三角形的兩條高線長相等;②等腰三角形的兩條角平分線長相等;③等腰三角形兩條中線長相等;④等腰三角形兩腰上的高相等.正確的有()A.1個 B.2個

C.3個 D.4個2.求證:等腰三角形兩腰上的高相等.

已知:如圖所示,在△ABC中,AB=AC,CE⊥AB于點E,BD⊥AC于點D.求證:CE=BD.證明:∵AB=AC,CE⊥AB于點E,BD⊥AC于點D,∴∠AEC=∠ADB=90°.∵∠AEC=∠ADB,∠A=∠A,AC=AB,∴△ACE≌△ABD(AAS).∴CE=BD.等邊三角形的性質(1)等邊三角形三邊

;

(2)等邊三角形的三個內角都

,并且每個角都等于

.[例2-1]如圖所示,△ABC是等邊三角形,點D,E分別在BC,CA的延長線上,且CD=AE.求證:∠D=∠E.相等相等60°證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC=BC,∠ABC=∠BCA=60°.即∠ABD=∠BCE.∵CD=AE,∴BC+CD=AC+AE,即BD=CE.在△ABD和△BCE中,∵AB=BC,∠ABD=∠BCE,BD=CE,∴△ABD≌△BCE(SAS).∴∠D=∠E.[例2-2]如圖所示,已知△ABC是等邊三角形,BD是中線,延長BC到點E,使CE=CD.(1)若AB=10,求BE的長;(2)求∠E的度數.解:(2)∵△ABC是等邊三角形,∴∠ACB=60°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠E.∵∠ACB=∠CDE+∠E,∴∠E+∠CDE=2∠E=60°.∴∠E=30°.新知應用1.(2023達州渠縣三匯中學月考)如圖所示,AD是等邊三角形ABC的中線,AE=AD,則∠EDC的度數為()A.30°

B.20°

C.25°

D.15°2.如圖所示,△ABC與△DEF均為等邊三角形,其邊長分別為a,b,則△AEF的周長為

.

Da+b3.(2022自貢)如圖所示,△ABC是等邊三角形,D,E在直線BC上,DB=EC.求證:∠D=∠E.證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=AC,∠ABC=∠ACB=60°.∴∠ABD=∠ACE.在△ADB和△AEC中,∵AB=AC,∠ABD=∠ACE,DB=EC,∴△ADB≌△AEC(SAS).∴∠D=∠E.1.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于點D,BE⊥AC于點E,AD與BE交于點F.下列結論不一定成立的是()A.∠BAD=∠CAD B.∠EBC=∠CADC.∠BAC=∠AFE D.∠AFE=∠CC2.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,AD,CE分別是△ABC的中線和角平分線.若∠CAD=20°,則∠ACE的度數是()A.35°B.40°C.55°D.70°A3.如圖所示,直線l1∥l2,△ABC是等邊三角形,∠1=50°,則∠2的大小為()A.60° B.80°C.70° D.100°4.若等腰三角形兩腰上的高線所在的直線相交所得的銳角為50°,則等腰三角形的頂角的度數為

.

C50°或130°5.如圖所示,△ABC是等邊三角形,點M是線段BC上的任意一點,點N是線段CA上任意一點,且BM=CN,BN與AM交于點Q.(1)求證:△BAN≌△ACM;(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,∴AB=BC=CA,∠BAN=∠ACM=60°.∵BM=CN,∴BC-BM=CA-CN.∴CM=AN.在△BAN和△ACM中,∵AB=CA,∠BAN=∠ACM,AN=CM,∴△BAN≌△ACM(SAS).(2)求∠BQM的大小.(2)解:∵△BAN≌△ACM,∴∠CAM=∠ABN.∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.第3課時等腰三角形的判定與反證法等腰三角形的判定有兩個角

的三角形是等腰三角形.簡述為

.[例1]如圖所示,在△ABC中,點D,E分別是AB,AC邊上的點,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE與CD相交于點F.求證:△ABC是等腰三角形.

相等等角對等邊證明:在△BDF與△CEF中,∵∠BFD=∠CFE,∠ABE=∠ACD,BD=CE,∴△BDF≌△CEF(AAS).∴BF=CF.∴∠FBC=∠FCB.∴∠ABE+∠FBC=∠ACD+∠FCB,即∠ABC=∠ACB.∴AB=AC.∴△ABC是等腰三角形.判定等腰三角形常見方法新知應用D1.△ABC的三邊分別是a,b,c,則下列條件不能判定△ABC是等腰三角形的是()A.∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶3B.a∶b∶c=2∶2∶3C.∠B=50°,∠C=80°D.2∠A=∠B+∠C2.如圖所示,在△ABC中,AD⊥BC于點D.下列條件:①BD=CD,②∠B=∠DAC,③∠B=∠C,其中能使△ABC是等腰三角形的是

.(填序號)

①③3.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,點D是BA延長線上一點,DE⊥BC于點E,交AC于點F.求證:△ADF是等腰三角形.證明:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵DE⊥BC,∴∠DEB=∠DEC=90°.∴∠B+∠D=90°,∠C+∠EFC=90°.∴∠D=∠EFC.∵∠EFC=∠AFD,∴∠D=∠AFD.∴AD=AF.∴△ADF是等腰三角形.反證法在證明命題時,先假設命題的結論

,然后推導出與定義、基本事實、已有定理或已知條件相

的結果,從而證明命題的結論一定成立.這種證明方法稱為反證法.

[例2]已知:△ABC是等腰三角形,AB=AC.求證:∠B,∠C是銳角.不成立矛盾證明:假設∠B,∠C不是銳角.∵AB=AC,∴∠B=∠C≥90°.∴∠B+∠C≥180°.∴∠A+∠B+∠C>180°.這與三角形內角和定理矛盾,因此“∠B,∠C不是銳角”的假設不成立.∴∠B,∠C是銳角.利用反證法證明的“三步法”新知應用1.(2023成都簡陽期中)用反證法證明“四邊形中至少有一個內角大于或等于90°”時,應先假設()A.有一個內角小于90°B.每一個內角都大于90°C.有一個內角小于或等于90°D.每一個內角都小于90°2.用反證法證明“在△ABC中,∠A,∠B所對的邊分別是a,b,若∠A<∠B,則a<b.”第一步應該假設()A.a>b B.a=bC.a≤b D.a≥bDD1.用反證法證明:在△ABC中,∠A,∠B,∠C中不能有兩個角是鈍角時,假設∠A,∠B,∠C中有兩個角是鈍角,令∠A>90°,∠B>90°,則所得結論與下列四個選項相矛盾的是()A.已知B.三角形內角和等于180°C.鈍角三角形的定義D.以上結論都不對B2.如圖所示,一艘船從A處出發向正北航行50nmile到達B處,分別從A,B望燈塔C,測得∠NAC=42°,∠NBC=84°,則B處到燈塔C的距離是

.

50nmile3.如圖所示,在△ABC中,∠BAC的外角平分線與BC的延長線交于點E.求證:AB≠AC.證明:假設AB=AC.∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.∴∠DAC=∠B+∠ACB=2∠ACB,∵AE平分∠DAC,∴∠DAC=2∠DAE=2∠CAE.∴∠ACB=∠CAE.∴AE∥BC.這與∠BAC的外角平分線與BC的延長線交于點E相矛盾.因此“AB=AC”的假設不成立.∴AB≠AC.4.如圖所示,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中點,F是CA的延長線上一點,過點F作FG⊥BC于點G并交AB于點E,求證:(1)AD∥FG;(2)△AEF為等腰三角形.證明:(1)∵AB=AC,D是BC的中點∴AD⊥BC.∵FG⊥BC,∴AD∥FG.(2)∵AB=AC,D是BC的中點,∴∠BAD=∠CAD.∵AD∥FG,∴∠F=∠CAD,∠AEF=∠BAD.∴∠F=∠AEF.∴AF=AE,∴△AEF是等腰三角形.第4課時等邊三角形的判定與含30°角的直角三角形等邊三角形的判定(1)三邊

的三角形是等邊三角形;

(2)三個角都

的三角形是等邊三角形;

(3)有一個角等于

的

三角形是等邊三角形.

相等相等60°等腰[例1-1](2023達州通川區月考)如圖所示,E是等邊三角形ABC中AC邊上的點,∠1=∠2,BE=CD,則△ADE是()A.等腰三角形 B.等邊三角形C.不等邊三角形 D.無法確定B[例1-2]如圖所示,在△ABC中,D是AB邊上一點,DF⊥BC于點F,延長FD,CA交于點E.若∠E=30°,AD=AE.求證:△ABC是等邊三角形.證明:∵AD=AE,∴∠ADE=∠E=30°.∴∠CAB=∠E+∠ADE=30°+30°=60°.∵DF⊥BC,∴∠EFC=90°.∴∠C=90°-∠E=60°.∴∠B=180°-∠C-∠CAB=180°-60°-60°=60°.∴∠C=∠B=∠CAB.∴△ABC是等邊三角形.新知應用B2.如圖所示,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥AB,AE⊥AC.求證:△ADE是等邊三角形.證明:∵AB=AC,∠BAC=120°,∴∠B=∠C=30°.∵AD⊥AB,AE⊥AC,∴∠BAD=∠CAE=90°.∴∠ADB=∠AEC=60°.∴∠ADE=∠AED=∠EAD=60°.∴△ADE是等邊三角形.含30°角的直角三角形的性質在直角三角形中,如果一個銳角等于30°,那么它所對的直角邊等于斜邊的

.[例2]如圖所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,D