第6講函數的綜合應用

一、知識梳理

二、方法歸納

i.函數綜合應用的重點

函數的綜合應用重點解決好四個問題:

①準確深刻地理解函數的有關概念;

②揭示函數與其他數學知識的內在聯系；

③把握數形結合的思想和方法；

④認識函數思想的實質，強化應用意識.準確、深刻理解函數的有關概念

概念是數學的基礎，函數概念是數學中最主要的概念之一，函數概念貫穿在中

學代數的始終.數、式、方程、不等式、初等函數等都是以函數為中心的代數.

揭示函數與其他數學知識的內在聯系

函數是研究變量及相互聯系的數學概念，是變量數學的基礎，利用函數觀點可

以從較高的角度處理數、式、方程、不等式、直線與圓的方程等內容.所謂函數觀

點，實質是將問題放到動態背景上去加以考慮.在利用函數和方程的思想進行思維中，動與靜、變量與常

量生動的辯證統一，揭示了函數思維實際上是辯證思維的一種特殊表現形式.

把握數形結合的思想和方法

函數圖象的幾何特征與函數性質的數量特征緊密結合，有效地揭示了各類函數的定義域、值域、單調

性、奇偶性、周期性等基本屬性，體現了數形結合的思想與方法.因此，既要從定形、定性、定理、定位

等方面精確地觀察圖形、繪制簡圖，又要熟練地掌握函數圖象的常規變換，體現了“數”變換與“形”變

換的辯證統一.

認識函數思想的實質，強化應用意識

函數思想的實質就是應用聯系與變化的觀點提出數學對象，抽象數量特征，建立函數模型，求得問題

的解決.函數思想方法的應用不但重要，而且廣泛，必須強化函數建模思想的應用，學會運用函數建模的

思想方法解決實際問題.

2.函數的應用

(1)函數圖象、性質與最值的綜合應用；

(2)函數與方程、不等式的綜合應用；

(3)函數模型的綜合實際應用.

三、典型例題精講

【例1】已知定義在R上的奇函數/(%)和偶函數gO)滿足/(x)+g(x)=ax-a~x+2,(a>Q,a豐1),

若g(2)=a，則/(2)=()

1517

A.2B.—C.—D.ci~

44

又例：設函數/(x)和g(x)分別是R上的偶函數和奇函數，則下列結論恒成立的是()

A./(x)+|g(x)|是偶函數B.7(x)-|g(x)是奇函數

C.|/(x)|+g(x)是偶函數D.|f(x)I-g(x)是奇函數

2

x>2

【例2】已知函數/(x)=〈/,若關于x的方程/(幻=上有兩個不同的實根，則實數上的

(X-1)3,X<2

取值范圍是.

2x,x>0

又例：已知函數/(%)=《，若/⑷+/(1)=0,則實數〃的值等于()

x+l,x<0

A.13B.-1C.1D.3

—x%<0

再例:設函數/(x)=1,，若/(a)=4,則實數a=()

[x,x>0

A.—4或一2B.—4或2C.—2或4D.—2或2

【例3】函數y=J16-4'的值域是()

A.[0,+oo)B.[0,4]C.[0,4)D.(0,4)

21rr<1

又例：設函數/(x)=’—'則滿足了(x)W2的x的取值范圍是()

l-log2X,X>1,

A.[-1,2]B.[0,2]C.[1,+oo)D.[0,+oo)

再例:若/(%)=,1,則/(x)定義域為()

Jlog^(2x+1)

A.(-1,0)B.(-1,0]C.(-1,+oo)D.(0,+oo)

[例4]函數f(x)=^/(1-a2)x2+3(l-a)x+6,

(1)若/(x)的定義域為H,求實數a的取值范圍.

(2)若/(x)的定義域為[—2,1],求實數a的值.

又例：設函數/(X)=2AIMT,求使/(x)22&成立的x的取值范圍.

「2

再例：(2010天津理科16)設函數=,對任意xe+oo

X

-4/n2/(x)</(x—l)+4/(加)恒成立，則實數小的取值范圍是.

m

1

【例5】已知/(x)=bg〃一^r(a>0,且awl).

1-x

(1)求/(X)的定義域；

(2)證明/(X)為奇函數；

(3)求使/(x)>0成立的x的取值范圍.

又例：已知函數二I,(a>0,且awl),

(1)求函數/(X)的定義域；(2)求使/(x)〉0的x的取值范圍.

【例6】設函數/(x)在(―00,+00)上滿足了(2—%)=/(2+%),/(7—x)=/(7+x),且在閉區間[0,7]

上，只有y(i)=/(3)=o.

(I)試判斷函數y=/(x)的奇偶性；

(II)試求方程/(x)=O在閉區間［—2005,2005］上的根的個數，并證明你的結論.

又例：偶函數y=/(x)的定義域為R,且對于任意xeR,都有/(%)=/(4—%),又當xw［0,2］時,

f(x)=-x2+1,則當XG［2010,2012］時，/(X)=

【例7】如圖所示，有一塊半徑為R的半圓形鋼板，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是

00的直徑，上底CD的端點在圓周上，寫出這個梯形周長y和腰長x間的函數式，并求出它的定義域.

又例：用長為機的鐵絲彎成下部為矩形，上部為半圓形的框架(如

圖)，若矩形底邊長為2x,求此框架的面積丁與x的函數式，并寫

出它的定義域.

四、課后訓練

1.函數/&)=--+lg(x+l)的定義域是()

1-X

A.(-00,-1)B.(l,-wo)C.(-Ll)UQm)D.(-00,400)

2.設奇函數/(x)在(0,+oo)上為增函數，且/(1)=0,則不等式/(X)―/(—X)<0的解集為()

X

A.(—1,0)(L+℃)B.(-QO,-1)(0,1)

C.(—00,—1)t(1,+8)D.(—1,0)1(0,1)

3.設/(%),g(x)M(x)是R上的任意實值函數，如下定義兩個函數(/g)(%)和(/?g)(x)：對任意

xeR,(/g)(%)=/(g(%))；(/”)(%)=/(%)g(%).則下列等式恒成立的是()

A.((/g)?/?)(%)=((/?〃)(g?7?))(%)

B.((7?g)//)(%)=((/〃)?(g〃))(％)

c((/g)/?)(%)=((/〃)(g〃))(無)

D。((/?g)?〃)(%)=((/?//)?(g?//))(尤)

bx+11

4.已知/(刈=二一，(a/是常數，ab^2),且/(x)/(—)=入

2x+ax

(1)求左；

⑵若〃加))=?求3

5.已知/(x)是定義在[—1,1]上的奇函數，且/⑴=1,若當a,be[-1,1],且a+6W0時，有

/(4)+/S)、0

a+b

(1)判斷函數/(X)在［―1,1］上是增函數，還是減函數，并證明你的結論;

⑵解不等式“卜一

]+X

6.已知函數/(%)=log--.

12-x

A+%2

(1)求證：/(XJ+/(%2)=/(')；

1+冗1冗2

(2)若/(產，=1,/(")=:，求/(。)的值.

1+ab2

7.已知二次函數/(x)=ax~+bx(a、b為常數，且a豐0)滿足條件：/(-x+5)=/(x-3),且方程/(x)

=%有等根.

⑴求/(x)的解析式；

⑵函數/