廣東省四校2023屆高三上學期第一次聯考數學（考試時間：90分鐘，滿分：100分）一、選擇題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若復數$z=3+4i$，則$z^2$的值為（）A.$7+24i$B.$724i$C.$7+24i$D.$724i$2.已知函數$f(x)=ax^2+bx+c$，若$f(1)=2$，$f(1)=6$，則$f(0)$的值為（）A.2B.3C.4D.53.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_4=9$，則公差$d$的值為（）A.1B.2C.3D.44.若向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec=(1,2)$，則$\vec{a}\cdot\vec$的值為（）A.1B.0C.1D.25.若函數$y=\ln(x^21)$的定義域為（）A.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$B.$(1,1)$C.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$D.$(\infty,1)\cup(1,+\infty)$二、填空題（共5小題，每小題4分，滿分20分）1.若$\sin\theta=\frac{3}{5}$，則$\cos(2\theta)$的值為________。2.已知函數$y=2x^23x+2$，則其頂點坐標為________。3.在等比數列$\{b_n\}$中，若$b_1=2$，$b_3=16$，則公比$q$的值為________。4.若矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，則$A^2$的值為________。5.若函數$y=e^x+e^{x}$，則$y'$的值為________。三、解答題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知函數$f(x)=x^33x^2+2$，求$f(x)$的單調區間和極值。2.已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec=(3,1)$，$\vec{c}=2\vec{a}3\vec$，求$\vec{c}$的模長。四、計算題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知函數$y=\frac{x^21}{x^2+1}$，求$y$的值域。2.解不等式$\frac{x1}{x+2}>0$。五、證明題（共1小題，滿分20分）1.證明：在直角坐標系中，若點$P(a,b)$到原點的距離等于點$Q(c,d)$到原點的距離，則線段$PQ$垂直于直線$y=x$。六、應用題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.某工廠生產一種產品，每件產品的成本為100元，售價為150元。若該工廠每月生產x件產品，則每月的總成本為100x元，總收入為150x元。已知該工廠每月的固定成本為10000元，求該工廠每月的利潤函數，并求出每月生產多少件產品時，利潤最大。2.已知某商品的需求函數為p=1002q，其中p為價格，q為需求量。求該商品的收益函數，并求出收益最大時的價格和需求量。七、探究題（共1小題，滿分20分）1.已知函數f(x)=x^33x^2+2，求證：對于任意的實數x，都有f(x)+f(2x)=4。八、函數與方程題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知函數f(x)=ax^2+bx+c，若f(1)=2，f(1)=6，f(2)=11，求a、b、c的值。2.解方程組：2x+3y=10，3x2y=5。九、數列與極限題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知等差數列an的前n項和為Sn，若a1=1，d=2，求Sn的表達式。2.已知數列bn的通項公式為bn=n^2，求bn的前n項和。十、向量與立體幾何題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知向量veca=(2,3)，vecb=(1,2)，求veca與vecb的夾角。2.已知點A(1,2,3)，點B(2,1,4)，點C(3,1,2)，求三角形ABC的面積。十一、概率與統計題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知某班級有50名學生，其中男生30名，女生20名。隨機抽取5名學生參加比賽，求至少有3名女生被選中的概率。2.已知某組數據的均值為50，標準差為10。若數據中的每個數都加上5，求新數據的均值和標準差。十二、解析幾何題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知點P(a,b)在直線y=2x+1上，求點P到原點的距離。2.已知圓C的方程為x^2+y^24x6y+9=0，求圓C的圓心和半徑。十三、導數與積分題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知函數f(x)=x^33x^2+2，求f(x)的導數f'(x)。2.計算定積分int_0^1(3x^22x)dx。十四、復數與方程題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知復數z=3+4i，求z的模長和輻角。2.解復數方程z^2+(34i)z+67i=0。十五、線性代數題（共2小題，每小題10分，滿分20分）1.已知矩陣A=beginpmatrix1&23&4endpmatrix，求矩陣A的逆矩陣。2.已知矩陣B=beginpmatrix2&14&3endpmatrix，求矩陣B的特征值和特征向量。一、選擇題1.A2.C3.B4.D5.B二、填空題1.32.frac123.54.25.1三、解答題1.極大值點為x0，極小值點為x1。2.向量vecc(1,3)。四、計算題1.值域為y(infty,1]。2.不等式的解集為(infty,1)U(0,1)。五、證明題1.證明：線段PQ垂直于直線yx。六、應用題1.利潤函數為P(x)=50x10000，每月生產200件產品時，利潤最大。2.收益函數為R(q)=100q2q^2，收益最大時的價格為50元，需求量為25件。七、探究題1.證明：對于任意的實數x，都有f(x)f(2x)4。八、函數與方程題1.a=1，b=3，c=4。2.方程組的解為x=2，y=1。九、數列與極限題1.Sn=n^2+5n。2.bn的前n項和為Snn^3。十、向量與立體幾何題1.夾角為arccos(frac13)。2.三角形ABC的面積為frac12。十一、概率與統計題1.概率為frac721。2.新數據的均值為55，標準差為10。十二、解析幾何題1.點P到原點的距離為sqrt(a^2+b^2)。2.圓C的圓心為(2,3)，半徑為5。十三、導數與積分題1.f'(x)=6x^26x。2.定積分的值為1。十四、復數與方程題1.模長為sqrt(3^2+4^2)=5，輻角為arctan(frac43)。2.復數方程的解為z=frac32(1+i)。十五、線性代數題1.矩陣A的逆矩陣為A^(1)=frac14beginpmatrix4&23&1endpmatrix。2.矩陣B的特征值為lambda1=1，lambda2=5，對應的特征向量為v1=(1,1)，v2=(1,2)。1.函數與方程：涉及函數的定義域、值域、單調性、極值、方程的解法等。2.數列與極限：涉及等差數列、等比數列的通項公式、前n項和、數列的極限等。3.向量與立體幾何：涉及向量的加減、數乘、點積、夾角、立體幾何中的體積等。4.概率與統計：涉及排列組合、概率的計算、數據的均值、方差、標準差等。5.解析幾何：涉及直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線的方程及其性質等。6.導數與積分：涉及導數的計算、導數的應用（如極值、單調性）、定積分的計算等。7.復數與方程：涉及復數的表示、復數的運算、復數方程的解法等。8.線性代數：涉及矩陣的運算、逆矩陣、特征值、特征向量等。各題型所考察學生的知識點詳解及示例：1.選擇題：考察學生對基礎知識的掌握程度，如函數的性質、數列的通項公式等。2.填空題：考察學生對基礎知識的掌握程度，如方程的解法、向量的運算等。3.解答題：考察學生的計算能力、推理能力和解決問題的能力，如函數的單調區間和極值、向量與立體幾何中的體積等。4.計算題：考察學生的計算能力和解決問題的能力，如函數的值域、不等式的解集等。5.證明題：考察學生的推理能力和解決問題的能力，如證明線段PQ垂直于直線yx。6.應用題：考察學生將理論知識應用于實際問題的能力，如利潤最大化、收益最大化等。7.探究題：考察學生的探究能力和解決問題的能力，如證明對于任意的實數x，都有f(x)f(2x)4。8.函數與方程題：考察學生對函數與方程的掌握程度，如函數的解析式、方程組的解法等。9.數列與極限題：考察學生對數列與極限的掌握程度，如數列的通項公式、前n項和、數列的極限等。10.向量與立體幾何題：考察學生對向量與立體幾何的掌握程度，如向量的運算、立體幾何中的體積等。11.概率與統計題：考察學生對概率與統計的掌握程度，如排列組合、概率的計算、數據的均值、方差、標準差等。12.