安徽省蚌埠市2025屆高三下學期適應性考試數學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知全集，集合，則（

）A． B．{2} C．{3} D．{2，3}2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知i是虛數單位，復數，則z的共軛復數是（

）A． B． C． D．4．已知三棱錐的體積為1，是邊長為2的正三角形，且，則直線PA與平面ABC所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．15．已知，，則（

）A． B． C． D．6．已知數列的前n項和為，且，則（

）A．數列是等比數列 B． C． D．數列是等比數列7．在四邊形ABCD中，，，，則該四邊形的面積為（

）A．4 B． C． D．8．已知拋物線（）的焦點為F，經過點F的直線l與拋物線相交于點P，Q（點P在第一象限），若，則直線l的斜率為（

）A．1 B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．進入3月份后，受冷暖空氣的共同影響，我市氣溫起伏較大．現記錄了3月上旬（1日-10日）我市的日最高氣溫如下（單位：℃）：24，23，3，4，7，12，12，16，15，19，則下列說法正確的是（

）A．3月上旬我市日最高氣溫的極差為20℃ B．3月上旬我市日最高氣溫的平均數為13.5℃C．3日-10日我市日最高氣溫持續上升 D．3月上旬我市日最高氣溫的60％分位數為15.5℃10．已知雙曲線C：（）的一條漸近線方程為，點，分別是C的左、右焦點，點，分別是C的左、右頂點，過點的直線l與C相交于P，Q點，其中點P在第一象限內，記直線的斜率為，直線的斜率為，則（

）A．雙曲線C的焦距為 B． C． D．11．已知函數其中a為實數，則下列說法正確的是（

）A．當時，有最小值B．當時，在R上單調遞增C．，的圖象上都存在關于y軸對稱的兩個點D．當時，記，若有5個零點，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知，，，則的最小值為．13．在中，，，點D在上且，則的取值范圍是．14．已知函數（，），若，，且在區間上單調，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知橢圓C：（）的離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點Q（0，6）的直線（非y軸）交橢圓于A，B兩點，以AB為直徑的圓經過原點O，求直線AB的方程．16．已知函數，其中．(1)當時，求函數的圖象在處的切線方程；(2)若恒成立，求a的取值范圍．17．如圖，在四棱錐中，平面，，，．

(1)求證：平面；(2)求平面與平面夾角的余弦值．18．某市舉行中學生排球比賽，甲、乙兩所學校代表隊爭奪比賽的冠軍，比賽采用三局兩勝制．根據以往對戰的經歷，甲、乙在一局比賽中獲勝的概率分別為0.6，0.4，且每局比賽的結果相互獨立．(1)求甲代表隊奪冠的概率；(2)比賽開始前，工作人員采購了5個新球作為比賽用球放在袋子中，新球一經使用就變成“舊球”，“舊球”可繼續使用．每局比賽前，裁判員從袋中的5個球中隨機取出一個球用于比賽，且局中不換球．每局比賽結束后，將本局使用的球放回袋中，與袋中原有的球混合．記甲、乙兩校代表隊決出冠軍后，袋中新球數量為X，求隨機變量X的分布列與數學期望．19．已知有窮數列A：，，…，（，），設，記S中元素的個數為．(1)若數列A：0，2，4，12，求集合S，并寫出的值；(2)若A是單調數列，求證：“”的充要條件是“A為等差數列”；(3)若，，數列A由1，2，3，4，…，n，2n這個數組成，且這個數在數列A中至少出現一次，求的取值個數．

參考答案1．【答案】D【詳解】由補集的定義可知，.故選D.2．【答案】A【詳解】因為，所以或，則可以推出，但不能推出．故“”是“”的充分不必要條件，故選A．3．【答案】B【詳解】因為，所以z的共軛復數為.故選B.4．【答案】C【詳解】是邊長為2的正三角形，其面積為：因為三棱錐的體積為1和底面積，得：解得：設直線與平面所成角為，所以故選C.5．【答案】A【詳解】因為，所以，又因為，所以，所以.故選A.6．【答案】B【詳解】對于A，由，可得，兩式相減得，所以，所以，所以，當時，，又，所以，所以，所以數列不是等比數列，故A錯誤；對于B，由A可知，數列去掉第一項，可構成以為首項，2為公比的等比數列，所以，故B正確；對于C，由A可得，所以，所以，故C錯誤；對于D，由C可得，所以，所以數列不是等比數列，故D錯誤.故選B.7．【答案】C【詳解】由，，可得，所以，所以，又，所以，所以，，所以.故選C.8．【答案】D【詳解】設是準線，過作于，過作于，過作于，如圖，則，又，所以，所以，所以，所以直線斜率為.故選D.

9．【答案】BD【詳解】對于A，3月上旬我市日最高氣溫的極差為℃，故A錯誤；對于B，3月上旬我市日最高氣溫的平均數為℃，故B正確；對于C，3日-10日我市日最高氣溫不是持續上升，8日到9日氣溫是下降的，故C錯誤；對于D，氣溫由低到高排列為3，4，7，12，12，15，16，19，23，24，又，故3月上旬我市日最高氣溫的60％分位數為℃，故D正確.故選BD.10．【答案】ABD【詳解】A選項，雙曲線C：（）的漸近線方程為，又一條漸近線方程為，故，解得，故，解得，故雙曲線C的焦距為，A正確；B選項，由A知，，由雙曲線定義得，B正確；C選項，，當直線l與軸垂直時，中，令時，，故，C錯誤；D選項，，

設，則，即，，D正確.故選ABD11．【答案】ACD【詳解】對于A，當時，當時，，函數單調遞增，值域為，當時，，對稱軸為，最小值為，所以有最小值；對于B，當時，當時，，函數單調遞增，當時，，對稱軸為，函數單調遞增，其中，所以在R上不單調遞增，故B錯誤；對于C，設點關于軸對稱的點為，需滿足，，，即，設，則.解法一：因為在的圖像是連續不斷的，當時，，所以，函數在開區間內總有零點，故C正確；解法二：設，當時，，當時，，所以當時，，所以對于任意的，函數在開區間內有零點，故C正確；對于D，當時，，圖象如圖所示：解得，解得.的零點就是關于的方程（記作①）的實數解的個數.令，，則方程①的解集為對于關于的方程（記作②）的每一個的值，所得到的關于的方程（記作③）的所有的不同的解的集合,換言之函數的零點的集合，根據題意.方程②的解是函數和的交點的橫坐標，可以參照的圖象與直線的交點的橫坐標估計個數和范圍；方程③的解是函數的圖象與直線的交點的橫坐標，其中是方程②的每一個解.方程③有解時，必有，方程②有解，必有，因此下面可以只考慮的情況和方程②中的非負實數解.（1）當時，方程②有一個非負實數解，方程③有且只有2解，故方程①只有2解，不合題意；（2）當時，②只有2個非負實數解且，對于方程③有三個解，對于方程③有兩個解，這5個解是直線和函數的圖象的5個不同交點的橫坐標，由圖可知顯然是不同的，所以這時方程①共五個解，即函數有且只有5個零點，符合題意；（3）當時，②只有1個非負實數解，此時方程③有兩個解，所以方程①有2解，即只有2個零點，不合題意；

（4）當，方程②只有1個非負解且，此時③只有1個解，不合題意；（5）當時，方程②有兩個解，或，對于，方程③有1個解；對于，此時方程③有1個解，故方程①只有2個解，不合題意；（6）當，方程②只有一個解且，此時方程③只有1個解，故方程①只有1個解，不合題意.綜上所述，若有5個零點，則，故D正確，故選ACD.12．【答案】/【詳解】由題意得，當且僅當時，即時取等號.13．【答案】【詳解】

由題意，以A為坐標原點，方向為軸建立平面直角坐標系，設，因為在中，，，則，又點D在上且，設，則，又，則，解得，所以，所以，因為，所以，則，所以的取值范圍是.14．【答案】【詳解】設函數的周期為，由，，結合正弦函數圖象的特征可知，，.故.又因為在區間上單調，所以，，故，所以.由，得，即且，所以，當時，，，或，舍.當時，，，，符合條件.當時，，，或，舍.所以，.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由，得，則，所以，將點代入橢圓方程得，解得，所以橢圓的標準方程為．（2）依題意直線AB斜率存在，設直線AB的方程為，并設點A，B的坐標分別為，．（方法一）聯立方程消去y得，依題意，，∴，且，，依題意，即，整理得，從而，∴，解得，，滿足．從而直線AB的方程為．（方法二）將即代入，得，整理得，，依題意，，∴，依題意，，解得，滿足，所以AB的方程為．16．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當時，，則所以，又，則所求切線方程為．（2），其中，所以問題轉化為（）恒成立，記，則，令，得；令，得，所以在上單調遞增，在上單調遞減，的最大值為，所以．17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因為，，所以是線段的中垂線，即，又平面，平面，則，由，，平面，所以平面．（2）設與相交于點，取的中點，連接．因為是線段的中垂線，所以是的中點，則，且．由平面，，平面，得，，所以，．由條件，可求得，，以，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系，易得，，，，．

設平面PAB的法向量為，，，由，取，則，，所以平面的一個法向量為．設平面PCD的法向量為，，，由，取，則，，所以平面的一個法向量為．．所以平面與平面夾角的余弦值為18．【答案】(1)0.648(2)分布列見解析；期望為【詳解】（1）記甲代表隊奪冠為事件A，甲代表隊以比分奪冠為事件，比分奪冠為事件，，，，所以甲代表隊奪冠的概率為0.648．（2）比賽2局結束的概率為，比賽3局結束的概率為，隨機變量X的可能取值為2，3，4，，，，故隨機變量X的分布列為X234P0.23040.64640.1232．19．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)2n【詳解】（1）因為，，，，則的可能情況有：，，，，，，所以，．（2）“充分性”：A為等差數列：，，，…，（）．則（），能取從1到的每個整數，故，因此．“必要性”：不妨設A為遞增數列：，，…，，作運算并比較如下：，共個互不相等的數，同理，共個互不相等的數．，共個互不相等的數．……，共個互不相等的數，由及A的有窮性，知．即A為等差數列．（3）因為數列A由1，2，3，4，…，n，2n這個數組成且項數為，所以數列A中必有相等的項，則任意兩項的差值可能為0，，，，…，，，，…，，其中，必有，對于，2，3，…，，t和至少有一個屬于S，所以．（方法一）①當數列A為：1，2，3，4，…，，n，2n，n，，…，4，3，2，1時，，值最大，其值為．②當數列A為：1，2，3，4，…，，2n，n，n，，…，4，3，2，1時，即在①中的數列第一個出現的n與2n對調，，此時；③把②中第一個出現的與2n對調，即A：1，2，3，4，…，，2n，，n，n，，…，4，3，2，1，，此時；以此類推，可得④當數列A為：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4，3，2，1，即2n為首項，此時．⑤當④中最后一項1變成2，其余不變，A：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4，3，2，2，此時值變為；⑥當⑤中最后兩項2都變成3，其余不變，A：2n，1，2，3，4，…，，，n，n，，…，4