3/3專題04二元一次方程組（考點清單，4考點梳理+10題型解讀）清單01二元一次方程組的概念1、二元一次方程含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程的識別方法①“二元”，即含有兩個未知數；②“一次”，即含未知數的次數是1；③“整式方程”，即未知數不能出現在分母中。2、二元一次方程組共含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫作二元一次方程組．注意：①含有兩個整式方程；②方程中共含有兩個未知數；③含未知數的項的次數都是1．3、二元一次方程的解適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解．注意：①二元一次方程的每一個解都是一對數值，而不是一個數；②一般情況下，一個二元一次方程有無窮多個解，但如果對其未知數的取值附加某些限制條件，那么也可能只有有限個特殊的解。4、二元一次方程組的解我們把二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解．注意：①方程組的解同時滿足方程組中的每一個方程；②由于方程組需用“｛”括起來，所以方程組的解也要用“｛”括起來．5、二元一次方程組解的情況（1）唯一解；（2）無數解；（3）無解．清單02二元一次方程組的解法1、代入消元法將方程組中一個方程的某個未知數用含有另一個未知數的代數式表示出來，并代入另一個方程中，從而消去一個未知數，化二元一次方程組為一元一次方程。這種解方程組的方法稱為代入消元法，簡稱代入法。注意：①找準消元對象。消元對象一般選取系數簡單的（如系數的絕對值較小的，系數是±1的）未知數，使變性后的方程比較簡單或代入后比較容易化簡；②在用代入法解二元一次方程組的一般步驟的第（2）步中，必須理解“另一個”的含義，否則，若把y=ax+b代入變形的原方程，必然得到一個恒等式；③用代入法求出一個未知數的值后，再求另一個未知數時，一般代入變形后得到的方程比較簡單．2、加減消元法把方程組的兩個方程（或先作適當變形）相加或相減，消去其中一個未知數，從而把解二元一次方程組轉化為解一元一次方程。這種解方程組的方法叫做加減消元法，簡稱加減法。注意：①化為標準形式。用加減消元法解二元一次方程組時，一般先把方程組整理成的標準形式，再設法加減消元，這樣不易出錯；②選準消元對象。當某個未知數的系數相等或互為相反數或有倍數關系時，選擇消去該未知數較簡單。3.同解問題方法技巧：理解方程組的解的實質，由方程組消去未知系數，構造只含兩個未知數的二元一次方程，再根據其他條件求出兩個未知數的值，最后回代求出未知數的值。題型：1、一個二元一次方程組和一個二元一次方程的同解，可以理解為三個方程有相同的解，可以選擇其中兩個構成二元一次方程組求解，再代入另一個方程求參數的值；或理解為三個方程構成一個三元一次方程組求解；2、兩個方程組有相同的解可以理解成四個方程具有相同的解，先將不含參數的方程聯立成方程組，求出未知數的值，然后代入含有參數的方程即可求出參數的值。清單03二元一次方程組的應用1.列二元一次方程組解決實際問題的一般步驟：（1）審題：找出問題中的已知條件和未知量及它們之間的關系．（2）設元：找出題中的兩個關鍵的未知量，并用字母表示出來．（3）列方程組：挖掘題目中的關系，找出兩個等量關系，列出方程組．（4）求解．（5）檢驗作答：檢驗所求解是否符合實際意義，并作答．2.設元的方法：直接設元與間接設元．當問題較復雜時，有時設與要求的未知量相關的另一些量為未知數，即為間接設元．無論怎樣設元，設幾個未知數，就要列幾個方程．清單04三元一次方程組及其解法1、三元一次方程組的概念1）三元一次方程組：方程中有三個未知數，且未知數的項的次數都是一的方程組。2、解三元一次方程組的方法和步驟1）步驟：三元一次方程二元一次方程一元一次消元【考點題型一】二元一次方程（組）的概念（）【例1-1】（23-24七年級下·廣西桂林·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特點：含有2個未知數，未知數的項的次數是1的整式方程．二元一次方程滿足的條件：含有2個未知數，未知數的項的次數是1的整式方程．【詳解】解：A、是二元二次方程，不是二元一次方程，故A不符合題意；B、是二元一次方程，故B符合題意；C、是一元一次方程，不是二元一次方程，故C不符合題意；D、是二元二次方程，不是二元一次方程，故D不符合題意；故選：B．【例1-2】（22-23七年級下·吉林四平·期末）下列各項中，屬于二元一次方程組的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二元一次方程組的定義，根據二元一次方程組的定義求解即可．由兩個一次方程組成，并含有兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組．【詳解】解：A．不是一次方程，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；B．該方程組是二元一次方程組，故此選項符合題意；C．不是一次方程，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；D．該方程組含有三個未知數，故不是二元一次方程組，故此選項不符合題意；故選：B．【變式1-1】（23-24七年級下·福建泉州·期末）若是關于的二元一次方程，則（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】本題考查二元一次方程，根據二元一次方程的定義，得到且，進行求解即可．【詳解】解：由題意得：且，解得．故選C．【變式1-2】（22-23七年級下·江蘇徐州·期末）觀察所給的4個方程組：①；②；③；④，其中，符合二元一次方程組定義的是（寫出所有正確的序號）．【答案】①②④【分析】含有兩個未知數，且未知數的最高次數是1，這樣的整式方程組是二元一次方程組，根據定義逐一判斷即可．【詳解】解：①，符合二元一次方程組定義；②，符合二元一次方程組定義；③，未知數x的最高次數是2，不符合二元一次方程組定義；④，符合二元一次方程組定義；所以符合二元一次方程組定義的是①②④．故答案為：①②④．【點睛】本題考查的是二元一次方程組的定義，熟記定義是解本題的關鍵．【變式1-3】（23-24七年級下·吉林長春·期末）已知關于x、y的方程是二元一次方程，求的值．【答案】【分析】此題考查了二元一次方程定義，解二元一次方程組，只含有兩個未知數，且含未知數的項的次數為1的整式方程叫做二元一次方程，根據二元一次方程的定義，可列方程組求解，再代入代數式求值．【詳解】解：∵關于x、y的方程是二元一次方程，∴，解得，∴．【考點題型二】二元一次方程（組）的解（）【例2-1】（23-24七年級下·浙江寧波·期末）下列各組數是二元一次方程的解的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了二元一次方程的解的定義．要求理解什么是二元一次方程的解，并會把x，y的值代入原方程驗證二元一次方程的解是本題的關鍵．二元一次方程的解有無數個，所以此題應該用排除法確定答案，分別代入方程組，使方程左右相等的解才是方程組的解．【詳解】解：A．將代入方程，左邊右邊，所以不是方程的解，故A不符合題意；B．將代入方程，左邊右邊，所以是方程的解，故B符合題意；C．將代入方程，左邊右邊，所以不是方程的解，故C不符合題意；D．將代入方程，左邊右邊，所以不是方程的解，故D不符合題意．故選：B．【例2-2】（22-23七年級下·北京昌平·期末）已知方程的三個解為方程的三個解為則方程組的解為．【答案】【分析】根據方程組的解的定義，能夠同時滿足方程組中的兩個方程的解是方程組的解觀察得出兩個方程的解中相同的解為方程組的解．【詳解】解：根據方程組的解的定義，能夠同時滿足方程組中的兩個方程的解是方程組的解，可知是這兩個方程中所有的解中能同時滿足兩個方程的解，∴方程組的解為，故答案為：．【點睛】此題主要是考查了方程組的解的定義，能夠熟練掌握同時滿足方程組中的兩個方程的解是方程組的解是解答此題的關鍵．【變式2-1】（23-24七年級下·全國·期末）已知方程組的解滿足x與y互為相反數，則k的值為（）A．1 B． C．2 D．【答案】D【分析】本題考查了相反數性質，即互為相反數的兩個數相加等于0；二元一次方程組的解，方程組的解即能使方程組中兩方程成立的未知數的值．將k看作已知數，表示出，利用列出方程，即可求出k的值．【詳解】解：∵∴得：，即，∵x，y互為相反數，∴，∴，解得：．故選：D．【變式2-2】（23-24七年級下·福建泉州·期末）已知是二元一次方程的一個解，那么的值是（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】本題考查了二元一次方程的解，熟練掌握使二元一次方程左右兩邊相等的未知數的值叫方程的解是解題的關鍵．根據方程的解的定義把代入二元一次方程中，再解關于a的方程，即可求出a的值．【詳解】解：代入二元一次方程，得，解得：，故選：C．【變式2-3】（23-24七年級下·云南大理·期末）已知是二元一次方程的一組解，那么的值為．【答案】【分析】本題考查了二元一次方程的解，能得出關于的方程是解此題的關鍵．把代入方程得出，再求出方程的解即可．【詳解】解：把代入方程得，解得：，故答案為：．【變式2-4】（23-24七年級下·山東煙臺·期末）請寫出一個關于，的二元一次方程，使其滿足的系數是大于的整數，的系數是小于的整數，且，是這個二元一次方程的解．這個方程可以是．【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查二元一次方程的知識，解題的關鍵是掌握二元一次方程的解，根據題意，寫出滿足題意的，的系數，再把代入，驗證的值，即可．【詳解】解：由題意得，的系數是大于的整數，的系數是小于的整數，∴滿足題意，∵，是這個二元一次方程的解，∴當時，，解得：，∴符合題意．故答案為：（答案不唯一）．【變式2-5】（23-24七年級下·遼寧大連·期末）我們規定，關于的二元一次方程，若滿足，則稱這個方程為“最佳”方程．例如：方程，其中，滿足，則方程是“最佳”方程，把兩個“最佳”方程合在一起叫“最佳”方程組．根據上述規定，回答下列問題：(1)判斷方程______“最佳”方程（填“是”或“不是”）；(2)若關于的二元一次方程是“最佳”方程，求的值．(3)若是關于的“最佳”方程組的解，求的值．【答案】(1)是(2)3(3)3【分析】本題考查二元一次方程的解，解二元一次方程組，掌握“最佳”方程的定義是解題的關鍵．（1）根據“最佳”方程的定義進行判斷即可；（2）根據“最佳”方程的定義，進行求解即可；（3）先根據“最佳”方程組的定義求出m，n的值，再根據方程組的解的定義，得到關于p，q的方程組，進行求解即可．【詳解】（1）中，∴方程是最佳方程；（2）關于的二元一次方程是“最佳”方程，，解得；（3）∵方程組是“最佳”方程組，∴，∴，∴原方程組為，∵是方程組的解，∴，解得，．【考點題型三】消元法解二元一次方程組（）【例3-1】（23-24七年級下·西藏林芝·期末）用代入法解方程組【答案】【分析】此題主要考查了解二元一次方程組的方法，注意代入消元法和加減消元法的應用是關鍵．應用代入消元法，求出方程組的解即可．【詳解】解：，將①代入②，可得：，解得，把代入①，可得，解得，原方程組的解是．【例3-2】（23-24七年級下·河南南陽·期末）解方程組：【答案】【分析】本題考查了利用加減消元法解二元一次方程組，直接利用加減消元法解二元一次方程組即可得．【詳解】解：，得，即，把代入①，得，解得，∴【例3-3】（23-24七年級下·全國·期末）解下列方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查的是解二元一次方程組，掌握加減消元法和代入消元法是解題關鍵．（1）利用代入消元法直接求解即可；（2）利用加減消元法直接求解即可．【詳解】（1）解：，把②代入①，得：，解得：，把代入②，得，∴方程組的解為；（2）解：，由，得：，由，得：，解得：，把代入②，得，解得：，∴方程組的解為．【變式3-1】（23-24七年級下·內蒙古呼倫貝爾·期末）已知二元一次方程組，則的值為【答案】【分析】本題考查的是二元一次方程組的解，根據題干分別解出的值，即可得出答案．【詳解】解：由題干：，解得：，∴，故答案為：．【變式3-2】（23-24七年級下·吉林長春·期末）已知，用含的代數式表示，則．【答案】【分析】將看作已知數求出即可，此題考查了，代入法解二元一次方程，解題的關鍵是將看作已知數求出．【詳解】解：故答案為：．【變式3-3】（23-24七年級下·四川廣元·期末）解方程組：．【答案】【分析】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握代入消元法是解題的關鍵．利用代入消元法求解即可．【詳解】解：原方程組可化為：由②得：把代入①得，解得：．將代入中，得：，即方程組的解為：．【變式3-4】（24-25七年級下·全國·期末）解方程組：．【答案】【分析】本題主要考查利用加減消元法解二元一次方程組，熟練掌握求解方法是解題關鍵．利用加減消元法求解即可．【詳解】解：，得，解得，將代入②得，解得，∴方程組的解為．【變式3-5】（23-24七年級下·全國·期末）解方程組：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本題考查解二元一次方程組，正確計算是解題的關鍵：（1）利用加減消元法求解即可；（2）利用加減代入消元法求解即可．【詳解】（1）解：，得，解得將代入，得，解得故原方程組的解為（2）解：可得，將整體代入，可得，解得，將代入可得，解得，所以原方程組的解為【考點題型四】二元一次方程組的特殊解法（）【例4】（23-24七年級下·湖南株洲·期末）已知關于的二元一次方程組的解滿足，試求m的值．【答案】2021【知識點】二元一次方程組的特殊解法、加減消元法【分析】本題考查了根據解的情況求參數，熟練利用加減法整理代入是解題的關鍵．將方程組的兩個方程相減，可得到，代入，即可解答．【詳解】解：，得，，代入，可得，解得：，故答案為：2021．【變式4-1】（23-24七年級下·貴州遵義·期末）閱讀與思考【閱讀理解】我們把四個數a，b，c，d排成兩行兩列，記為，稱為二階行列式，規定它的運算法則為．小李同學在學習二元一次方程組的解法時，發現可以利用二階行列式求解．例如：求二元一次方程組的解．解：記，，，則原方程組的解為【類比應用】(1)若二階行列式，求x的值；(2)已知方程組利用二階行列式求得，請求，，并寫出該方程組的解．【答案】(1)(2)，，【知識點】其他問題(一元一次方程的應用)、二元一次方程組的特殊解法【分析】本題考查了新定義題型，涉及了一元一次方程、二元一次方程組的求解，注意正確理解題意即可．（1）由題意得：,即可求解；（2）根據定義即可求解；【詳解】（1）解：由題意得：,解得：（2）解：，，則原方程組的解為【變式4-2】（23-24七年級下·云南紅河·期末）學習完“代入消元法”解二元一次方程組后，老師在黑板上寫下一個方程組．讓同學們解答，愛動腦筋的小敏想到一種新的方法：解：將②變形為，③把①代入③，得，解得．把代入①，解得．方程組的解為．這種把某個式子看成一個整體，從而使問題得到簡化的方法叫做“整體代換”法，請你模仿小敏的“整體代換”法解方程組【答案】【知識點】二元一次方程組的特殊解法【分析】本題考查的是代入法解方程組，先把方程②化為，再利用代入法解方程組即可．【詳解】解：，由②得：③，把①代入③得：，解得：，把代入①得：，∴方程組的解為；【變式4-3】（23-24七年級下·廣東肇慶·期末）對、定義一種新運算，規定：（其中、均為非零常數），這里等式右邊是通常的四則運算．例如：，若，，則下列結論正確的有．（1），；（2）若，，則；（3）若，則、有且僅有2組正整數解；（4）若，，對任意有理數、都成立，則．【答案】（1）（2）/（2）（1）【知識點】加減消元法、二元一次方程組的特殊解法、二元一次方程的解【分析】本題主要考查了解二元一次方程組和二元一次方程組的解，由題意聯立方程組，求出、的值，即可確定（1）正確；由已知，得到，求出即可確定（2）正確；根據，，，可求、的值，從而確定（3）不正確；由題意列出方程，得到，由對任意有理數、都成立，則，即可確定（4）不正確．【詳解】解：∵，，∴，解得，故（1）正確；∵，∴，∵，∴，故（2）正確；∵，∴，當時，則不成立，∴，∴，∵m、n都是整數，∴或或，∴或或0或或或，∴滿足題意的m、n的值可以為，，，，，，故（3）錯誤；∵，∴，∴，∴，∵對任意有理數、都成立，∴，故（4）錯誤；故答案為：（1）（2）．【變式4-4】（23-24七年級下·廣東汕頭·期末）閱讀下列解方程組的方法，然后解答問題：解方程組時，愛思考的慧慧同學發現：如果用常規的代入消元法、加減消元法來解，計算量大，且易出現運算錯誤，她采用下面的解法則比較簡單：得：，即．③得：．④得：，代入③得．所以這個方程組的解是．(1)請你運用慧慧的方法解方程組(2)規律探究：猜想關于、的方程組的解是_______．【答案】(1)(2)【知識點】二元一次方程組的特殊解法【分析】本題主要考查二元一次方程組的求法，理解題意，熟練掌握運用二元一次方程組的解法是解題關鍵．（）根據題意，利用例題方法求解即可；（）根據題意，利用例題方法求解即可得．【詳解】（1）解：，得：，即，③得：，④得：，即，把代入③得，所以這個方程組的解是．（2）解：，得：，即，③得：，④得：，即，把代入③得，所以這個方程組的解是．故答案為：．【考點題型五】二元一次方程組的錯解復原問題（）【例5】（22-23七年級下·四川南充·期末）甲、乙兩人解方程組，甲正確地解得，乙因為把c看錯，誤認為d，解得，求、、、的值【答案】、、、的值是：4，5，，．【知識點】二元一次方程組的錯解復原問題【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解．本題需先根據二元一次方程組的解得方法和已知條件分別把與的值代入原方程組，即可求出、、、的值．【詳解】解：把代入得：，，再根據乙把看錯，誤認為，解得代入得：，，，、、、的值是：4，5，，．【變式5-1】（23-24七年級下·四川巴中·期末）已知關于x，y的二元一次方程組，甲由于看錯了方程組中的a，得到的方程組的解為，乙由于看錯了b，得到方程組的解為．則的值為．【答案】【知識點】二元一次方程組的錯解復原問題【分析】本題考查了二元一次方程組的解．把代入②得出，求出，把代入①得出，求出即可．【詳解】解：，把代入②，得，解得：，把代入①，得，解得：，所以．故答案為：．【變式5-2】（23-24七年級下·河南商丘·期末）甲、乙兩人同解方程組時，甲看錯了方程①中的a，解得，乙看錯②中的b，解得．(1)求正確的a，b的值；(2)求原方程組的正確解．【答案】(1)，(2)【知識點】二元一次方程組的錯解復原問題【分析】本題考查二元一次方程組的錯解復原問題：（1）把代入②，把代入①，可求出a和b的值；（2）把a和b的值代入原方程組，利用加減消元法求解即可．【詳解】（1）解：把代入②，得，解得，把代入①，得，解得；（2）解：將，代入原方程組，得，整理得，得：，解得：，將代入，得：，解得：，因此原方程組的正確解為．【變式5-3】（七年級下·吉林長春·期末）下面是馬小虎同學解二元一次方程組的過程，請認真閱讀并完成相應的任務．解方程組：解：①×2，得……③

第一步②－③，得

第二步．

第三步將代入①，得．

第四步所以，原方程組的解為

第五步(1)這種求解二元一次方程組的方法叫做法，以上求解步驟中，馬小虎同學第步開始出現錯誤．(2)請寫出此題正確的解答過程．【答案】(1)加減消元法，第四步(2)見解析【知識點】加減消元法、二元一次方程組的錯解復原問題【分析】（1）根據解方程組的特點判斷，注意系數化為1時的計算．（2）按照解方程組的步驟求解即可【詳解】（1）根據解題步驟分析，這種求解方程組的方法是加減消元法，在第四步系數化為1時，出錯，故答案為：加減消元法，第四步．（2）方程組：解：①×2，得……③

，②－③，得，解得．

將代入①，得3．解得x=．所以，原方程組的解為．【點睛】本題考查了二元一次方程組的解法，熟練掌握方程組的解法是解題的關鍵．【考點題型六】構造二元一次方程組求解（）【例6】（23-24七年級下·河北保定·期末）定義一種新運算“※”，規定，其中a，b為常數，且，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【知識點】構造二元一次方程組求解【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，正確理解新運算法則是解題關鍵．根據已知等式列方程組，求出、的值，再計算求值即可．【詳解】解：，且，，解得：，，，故選：B【變式6-1】（23-24七年級下·四川德陽·期末）若關于、的二元一次方程無論實數取何值，此二元一次方程都有一組相同的解，則這個解是．【答案】【知識點】二元一次方程的解、構造二元一次方程組求解、加減消元法【分析】本題考查了二元一次方程的解以及解二元一次方程組，根據題意得出關于x，y的二元一次方程組是解題的關鍵．把方程整理成關于m的方程，根據無論m取何值時，此二元一次方程都有一個相同的解令m的系數為0，然后得出關于x，y的二元一次方程組，解方程組即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵無論取何值時，此二元一次方程都有一個相同的解，∴，解得：，∴這個相同的解是，故答案為：．【變式6-2】（23-24七年級上·安徽安慶·期末）對有理數x、y，定義新運算，其中a，b為常數，已知，．(1)求a，b的值；(2)如果，求y的值．【答案】(1)(2)【知識點】構造二元一次方程組求解【分析】此題考查了解列、解二元一次方程組，弄清題中的新定義運算規則列出方程組是解本題的關鍵，（1）根據題意得出關于a、b的方程組，求出的值即可；（2）根據得出關于y的方程，求出y的值即可．【詳解】（1）解：由題意得，解得；（2）由（1）知，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，解得．【考點題型七】已知二元一次方程組的解的情況求參數（）【例7】（24-25七年級下·四川宜賓·期末）已知關于，的二元一次方程組的解滿足，則的值為．【答案】【知識點】已知二元一次方程組的解的情況求參數【分析】本題考查了二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解的定義是解題的關鍵．將方程組兩個方程相加得到，整理得到，結合方程組的解滿足，得到關于的方程，解出的值即可．【詳解】解：，得，，整理得，，方程組的解滿足，，解得：．故答案為：．【變式7-1】（24-25七年級上·安徽合肥·期末）已知關于，的二元一次方程組有正整數解，其中為整數，則的值為（

）A． B．3 C．或4 D．3或15【答案】D【知識點】加減消元法、已知二元一次方程組的解的情況求參數【分析】本題考查了解二元一次方程組，利用二元一次方程組有正整數解求參數的值，熟練掌握以上知識點是解題的關鍵．先利用加減消元法解方程組求得，，再根據方程組有正整數解，其中為整數，求得值，再代入進行計算即可．【詳解】解：，得：，把代入②得：，關于，的二元一次方程組有正整數解，其中為整數，既能被7整除也能被21整除，即的值可以為1或者7，或4，當時，；當時，，的值為3或15．故選：D．【變式7-2】（24-25七年級上·安徽亳州·期末）已知關于x，y的方程組且，則k的值為．【答案】【知識點】加減消元法、已知二元一次方程組的解的情況求參數【分析】本題考查了二元一次方程組的特殊解法，解一元一次方程，熟練掌握方程組的解法是解題關鍵．先利用方程組中的第二個方程減去第一個方程得，再根據得到的一元一次方程，解方程即可．【詳解】解：由得，，即解得：故答案為：．【變式7-3】（23-24七年級下·甘肅武威·期末）已知滿足的方程，且，求的值．【答案】【知識點】加減消元法、已知二元一次方程組的解的情況求參數【分析】根據加減消元法可得，再根據已知條件可得即可．本題考查了二元一次方程的解法，熟練運用二元一次方程的解法是解題的關鍵．【詳解】解：，得：，∵，∴，∴，解得：．【變式7-4】（23-24七年級下·北京順義·期末）對于關于x，y的二元一次方程組（其中，，，，，是常數），給出如下定義：若該方程組的解滿足，則稱這個方程組為“美好”方程組．(1)下列方程組是“美好”方程組的是______（只填寫序號）；①；②；③；④．(2)若關于x，y的方程組是“美好”方程組，求a的值；(3)若對于任意的有理數m，關于x，y的方程組都是“美好”方程組，求的值．【答案】(1)②③(2)(3)或【知識點】加減消元法、已知二元一次方程組的解的情況求參數【分析】本題主要考查了解二元一次方程組：（1）根據“美好”方程組的定義，逐項判斷即可求解；（2）先求出原方程組的解，再代入，即可求解；（3）先聯立得：，可得或，再代入，可求出a，b的值，即可求解．【詳解】（1）解：①，解得：，此時；②，解得：，此時；③，解得：，此時；④，解得：，此時；故答案為：②③；（2）解：，由得：，解得：，把代入①得：，解得：，∵關于x，y的方程組是“美好”方程組，∴，∴，解得：；（3）解：∵關于x，y的方程組都是“美好”方程組，∴，聯立得：，解得：或，把代入得：，∴，∵m為任意有理數，∴，解得：，∴；把代入得：，∴，∵m為任意有理數，∴，解得：，∴；綜上所述，得值為或．【考點題型八】方程組相同解問題（）【例8】（24-25七年級下·四川宜賓·期末）如關于，的方程組和有相同的解，則的值是（

）A． B．0 C．1 D．2024【答案】B【知識點】方程組相同解問題【分析】本題考查了方程組相同解問題，理解方程組有相同解的意義并熟練掌握二元一次方程組的解法是解題的關鍵．將方程組中不含、的兩個方程聯立，求得、的值，聯立含有、的兩個方程，把、的值代入，求得、的值，即可求得答案．【詳解】解：方程組和有相同的解，則有，，得，解得，把代入①，解得，把，，代入，得，，得，解得，把代入④，解得，當，時，．故選：B．【變式8-1】（24-25七年級下·全國·期末）關于的方程組與有相同的解，則的值為（

）A． B．4 C． D．8【答案】C【知識點】加減消元法、方程組相同解問題、已知二元一次方程組的解求參數【分析】這道題主要考查了解二元一次方程組，二元一次方程組解的概念，解題的關鍵是通過重新聯立方程組求出兩個方程組的公共解．將兩個方程組中的方程與重新聯立方程組成方程組，求出相同解，然后將這個解代入到方程和方程中，得到關于和的方程組，最后解這個方程組，得到和的值，然后計算即可．【詳解】解：解方程組，解得，將代入方程組，得，解這個方程組得，，，故選：C．【變式8-2】（24-25七年級上·湖南邵陽·期末）如果方程組與有相同的解，求a，b的值．【答案】【知識點】方程組相同解問題【分析】本題考查了二元一次方程組的解，根據二元一次方程組同解聯立新的二元一次方程組是解題的關鍵．利用二元一次方程組同解可得，解得，再將代入原兩個方程組即可求解．【詳解】解：∵方程組與有相同的解，∴x，y滿足，由①得③，將③代入②得，∴，將代入方程組與可得到，由得，∴，∴．【變式8-3】．（23-24七年級下·江西南昌·期末）已知關于x，y的方程組和有相同的解．(1)求出它們的相同解；(2)求的值．【答案】(1)(2)1【知識點】方程組相同解問題、已知字母的值，求代數式的值、加減消元法【分析】本題考查解二元一次方程組，代數式求值．（1）將和聯立方程組求得的值即可；（2）將（1）中求得的值代入和中計算出的值，代入中即可．【詳解】（1）解：∵關于x，y的方程組和有相同的解，∴，得：，解得：，將代入中得：，∴該方程組的解為，∴相同解為；（2）解：由（1）得：，∴將代入和中得：，得：，即：，將代入①中得：，即：，∴．【變式8-4】（七年級下·江西贛州·期末）閱讀下列文字，請仔細體會其中的數學思想：(1)解方程組，我們利用加減消元法，很快可以求得此方程組的解為；(2)如何解方程組呢，我們可以把m+5，n+3分別看成一個整體，設m+5＝x，n+3＝y，很快可以求出原方程組的解為；由此請你解決下列問題：(3)若關于m，n的方程組與有相同的解，求a，b的值．【答案】(1)(2)(3)【知識點】加減消元法、方程組相同解問題、二元一次方程組的特殊解法【分析】（1）利用加減消元法解二元一次方程組即可得；（2）直接根據（1）的結論可得，由此即可得；（3）根據兩個方程組有相同的解求出的值，繼而求出的值即可得．【詳解】（1）解：，由①②得：，解得，由②①得：，解得，則方程組的解為，故答案為：．（2）解：由（1）得：，解得，即原方程組的解為，故答案為：．（3）解：關于的方程組與有相同的解，，解得，將代入方程得：，解得，將代入方程得：，解得，則，解得．【點睛】本題考查了解二元一次方程組，熟練掌握二元一次方程組的解法，理解同解方程組的意義，并利用整體思想解題是關鍵．【考點題型九】實際問題與二元一次方程組（）【例9-1】（數學文化）（23-24七年級下·重慶酉陽·期末）《算法統宗》是一本通俗實用的數學書，也是將數字入詩的代表作，這本書由明代程大位花了近20年完成，程大位還有一首飲酒數學詩：“肆中飲客亂紛紛，薄酒名腦厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同飲了一十九，三十三客醉顏生，試問高明能算士，幾多醨酒幾多醇？”這首詩是說，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他們總共飲下19瓶酒，試問：其中好酒、薄酒分別是多少瓶？設有好酒瓶，薄酒瓶，依題意，可列方程組為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】古代問題(二元一次方程組的應用)【分析】此題主要考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，正確得出等量關系是解題關鍵．直接利用“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，33位客人醉倒了，他們總共飲下19瓶酒”，列出二元一次方程組即可．【詳解】解：根據題意，可列方程組為：，故選：D．【例9-2】（年齡問題）（22-23七年級下·江蘇宿遷·期末）爸爸、媽媽、我、妹妹，四人今年的年齡之和是101歲，爸爸比媽媽大1歲，我比妹妹大6歲，十年前，我們一家的年齡之和是63歲，今年爸爸的年齡是（

）A．38歲 B．39歲 C．40歲 D．41歲【答案】C【知識點】年齡問題(二元一次方程組的應用)【分析】由題意得：妹妹今年的年齡為8歲，我今年的年齡為14歲，設媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，再由題意：一家四口人的年齡加在一起是101歲，爸爸比媽媽大1歲，列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：現在一家四口人的年齡之和應該比十年前全家人年齡之和多40歲，但實際上（歲），說明十年前妹妹沒出生，則妹妹今年的年齡為（歲），我的年齡為（歲），設媽媽今年的年齡為x歲，爸爸今年的年齡為y歲，由題意得：，解得：，即爸爸今年的年齡為40歲，故選：C．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．【例9-3】（幾何問題）（22-23七年級下·河南駐馬店·期末）有四個完全相同的小長方形和兩個完全相同的大長方形按如圖所示的方式擺放，若小長方形的長為x，寬為y，則的值為．

【答案】5【知識點】根據幾何圖形列二元一次方程組【分析】根據圖中的數據列得，整理即可．【詳解】由題意得：，整理得：，故答案為：5．【點睛】此題考查了二元一次方程的應用，正確理解圖中邊長之間的關系是解題的關鍵．【例9-4】（行程問題）（22-23七年級下·浙江湖州·期末）同型號的甲、乙兩輛測試車加滿氣體燃料后均可行駛千米，即它們各自單獨行駛并返回的最遠距離是千米．現在它們都從地出發，行駛途中停下來從甲車的氣體燃料桶抽一些氣體燃料注入乙車的氣體燃料桶，然后甲車立即掉頭返回地，乙車繼續行駛，到地后立即掉頭返回地．最終兩車都到達地，則地最遠可距離地千米．【答案】【知識點】行程問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了二元一次方程組在行程問題中的應用，設甲行駛到地時返回，到達地燃料用完，乙行駛到地再返回地時燃料用完，根據題意得到關于和的二元一次方程組，解方程組即可求解，理清題中的數量關系，正確列出方程組是解題的關鍵.【詳解】解：設甲行駛到地時返回，到達地燃料用完，乙行駛到地再返回地時燃料用完，如圖，設，，根據題意得，，解得，∴最遠為千米，故答案為：．【例9-5】（和差倍分問題）（23-24七年級下·湖南永州·期末）5月31日至6月2日，2024年國家非遺道州龍船賽在瀟水河上隆重舉行．道州龍船船頭造型分龍、虎、鳳、麒麟四大類，按色彩又分“六龍五虎”和“金鳳銀麒”，代表著每個村落社區特有的宗族信仰、文化標識和審美意趣．據了解本次比賽共計條龍船參賽，創造了一項新的吉尼斯世界記錄，其中“六龍五虎”龍船數量比“金鳳銀麟”龍船數量的倍少條，則參賽的“金鳳銀麒”龍船為條．【答案】【知識點】和差倍分問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查二元一次方程組的應用，設參賽的“六龍五虎”龍船為條，參賽的“金鳳銀麒”龍船為條，根據：本次比賽共計條龍船參賽，其中“六龍五虎”龍船數量比“金鳳銀麟”龍船數量的倍少條，可列出方程組，求解即可．正確理解題意，找出等量關系是解題的關鍵．【詳解】解：設參賽的“六龍五虎”龍船為條，參賽的“金鳳銀麒”龍船為條，依題意，得：，解得：，∴參賽的“金鳳銀麒”龍船為條．故答案為：．【例9-6】（分配問題）（23-24七年級下·遼寧大連·期末）為了響應國家“脫貧致富”的號召，某煤炭銷售公司租用了甲、乙兩種類型的貨車若干輛為貧困地區運輸了880噸的煤炭，已知每輛甲類型貨車運輸煤炭40噸，每輛乙類型貨車運輸煤炭50噸，所有甲類型貨車運輸的煤炭比所有乙類型貨車運輸的煤炭多80噸，求煤炭銷售公司租用甲乙兩種類型貨車各多少輛？【答案】租用甲種類型貨車12輛，乙種類型貨車8輛【知識點】分配問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查的是二元一次方程組的應用，設租用甲種類型貨車輛，設租用乙種類型貨車輛，利用每輛甲類型貨車運輸煤炭40噸，每輛乙類型貨車運輸煤炭50噸，所有甲類型貨車運輸的煤炭比所有乙類型貨車運輸的煤炭多80噸，再建立方程求解即可；【詳解】解：設租用甲種類型貨車輛，設租用乙種類型貨車輛，則：解得：，答：租用甲種類型貨車12輛，乙種類型貨車8輛.【例9-7】（工程問題）（22-23七年級下·湖北十堰·期末）穿越青海境內的蘭新高速鐵路正在加緊施工．某工程隊承包了一段全長1957米的隧道工程，甲、乙兩個班組分別從南北兩端同時掘進，已知甲組比乙組每天多掘進米，經過6天施工，甲、乙兩組共掘進57米．(1)求甲乙兩班組平均每天各掘進多少米？(2)為加快工程進度，通過改進施工技術，在剩余的工程中，甲組平均每天比原來多掘進米，乙組平均每天比原來多掘進米．按此施工進度，還需要多少天完成任務？【答案】(1)甲乙兩個班組平均每天分別掘進5米、4.5米；(2)兩組還需要190天才能完成任務【知識點】有理數四則混合運算的實際應用、工程問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用—工程問題，本題關鍵在于設出兩個未知數，找出等量關系列方程組．（1）設甲、乙兩個班組平均每天分別掘進x米、y米，根據題意列方程組，解方程組即可；（2）用剩余的隧道工程長度除以兩組每天共掘進的長度數，即可求得結果．【詳解】（1）設甲、乙兩個班組平均每天分別掘進x米、y米，由題意得，解得答：甲、乙兩個班組平均每天分別掘進5米、米；（2）按此施工進度，還需要：（天），答：按此施工進度，兩組還需要190天完成任務．【例9-8】（數字問題）（22-23七年級下·江西南昌·期末）《最強大腦》節目中，有很多具有挑戰性的比賽項目，其中《幻圓》這個項目充分體現了數學的魅力．如圖是一個最簡單的二階幻圓的模型，要求：①內、外兩個圓周上的四個數字之和相等；②外圓兩直徑上的四個數字之和相等．求圖中從左到右兩空白圓圈內應填寫的數字．

【答案】外圓和內圓空白處數字依次為2和9【知識點】數字問題(二元一次方程組的應用)【分析】設圖中兩空白圓圈內左邊的數為x，右邊的數為y，由題意：①內、外兩個圓周上的四個數字之和相等；②外圓兩直徑上的四個數字之和相等，列出方程組，解方程組即可．【詳解】解：設外圓空白處的數字為x，內圓空白處的數字為y，則，整理得：

解得答：外圓和內圓空白處數字依次為2和9．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關系，列出二元一次方程組是解題的關鍵．【例9-9】（銷售、利潤、方案問題）（24-25七年級上·安徽六安·期末）某商店分兩次購進A，B型兩種臺燈進行銷售，兩次購進的數量及費用如下表所示，由于物價上漲，第二次購進A，B型兩種臺燈時，兩種臺燈每臺進價分別上漲，．購進的臺數購進所需要的費用（元）A型B型第一次10203000第二次15104500(1)求第一次購進A，B型兩種臺燈每臺進價分別是多少元？(2)A，B型兩種臺燈銷售單價不變，第一次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為2800元，第二次購進的臺燈全部售出后，獲得的利潤為1800元．①求A，B型兩種臺燈每臺售價分別是多少元？②若按照第二次購進A，B型兩種臺燈的價格再購進一次，將再次購進的臺燈全部售出后，要想使獲得的利潤為740元，求有哪幾種購進方案？【答案】(1)第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元(2)①A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；②有3種購進方案：購進A型臺燈1臺，B型臺燈11臺；購進A型臺燈4臺，B型臺燈7臺；購進A型臺燈7臺，B型臺燈3臺【知識點】方案問題(二元一次方程組的應用)、銷售、利潤問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用，找出等量關系式，正確列出方程（組）是解題的關鍵．（1）根據等量關系式：第一次購買臺A型臺燈的費用第一次購買臺B型臺燈的費用元，第二次購買臺A型臺燈的費用第二次購買臺B型臺燈的費用元，列出方程組，接可求解；（2）①根據等量關系式：第一次的臺A型臺燈的利潤第一次的臺B型臺燈的利潤元，第二次的臺A型臺燈的利潤第二次購買臺B型臺燈的利潤元，列出方程組，接可求解；②設再購進A型臺燈a臺，B型臺燈臺，由按第二次購買的價格購買，a臺A型臺燈售出獲得利潤臺B型臺燈售出獲得利潤元，列方程即可求解．【詳解】（1）解：設第一次購進A型臺燈每臺進價為x元，B型臺燈每臺進價為y元，由題意得：，解得：，答：第一次購進A型臺燈每臺進價為200元，B型臺燈每臺進價為50元．（2）解：①設A型臺燈每臺售價為m元，B型臺燈每臺售價為n元，由題意得：，解得，，答：A型臺燈每臺售價為340元，B型臺燈每臺售價為120元；

②第二次購進的A型臺燈的價格為：（元），B型臺燈的價格為：（元），設購進A型臺燈a臺，B型臺燈臺，由題意得：，整理得：，∴a、b為自然數，或或，有3種購進方案：購進A型臺燈1臺，B型臺燈11臺；購進A型臺燈4臺，B型臺燈7臺；購進A型臺燈7臺，B型臺燈3臺；【變式9-1】（23-24七年級下·廣東湛江·期末）用8塊相同的小長方形地磚拼成一個大長方形，則每塊小長方形地磚的面積是（

）A．600 B．500 C．300 D．200【答案】C【知識點】幾何問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查二元一次方程組在幾何問題中的應用，結合圖形找到兩組等量關系是關鍵．假設小長方形的長、寬分別為a，b，通過圖形中大長方形的邊長關系，可列出二元一次方程組，求得a、b的值，進而求得面積．【詳解】設小長方形的長、寬分別為a，b．由題意可列方程組：，解得：，∴每塊小長方形地磚的面積為．故選：C．【變式9-2】（23-24七年級下·河北承德·期末）我國民間流傳這樣一道數學名題：其大意是：聽見隔壁一些人在分銀兩，每人7兩還缺7兩，每人半斤則多半斤，問共有多少人？共有多少兩銀子？數學原題：只聞隔壁人分銀，不知多少銀和人，每人7兩還缺7兩，每人半斤多半斤，試問各位善算者，多少人分多少銀？（1斤等于10兩）設有x個人，共分y兩銀子，根據題意，可列方程組為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識點】根據實際問題列二元一次方程組【分析】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．根據“每人7兩還缺7兩，每人半斤多半斤”，即可列出關于，的二元一次方程組，此題得解．【詳解】解：每人7兩還缺7兩，；每人半斤則多半斤，，根據題意可列出方程組．故選：A.【變式9-3】（23-24七年級下·山東泰安·期末）《九章算術》中有一道闡述“盈不足術”的問題，原文如下：今有人共買物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．問物價幾何？譯文為：現有一些人共同買一個物品，每人出11元，還盈余8元；每人出9元，則還差12元．設共有x人，這個物品的價格是y元，根據題意，列出的二元一次方程組是．【答案】【知識點】根據實際問題列二元一次方程組【分析】本題主要考查了二元一次方程租的應用，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．根據每人出11元，還盈余8元；每人出9元，則還差12元，列出二元一次方程組，即可解題．【詳解】解：根據題意得，故答案為：．【變式9-4】（23-24七年級下·吉林四平·期末）“體育承載著國家強盛、民族振興的夢想，體育強則中國強，國運興則體育興”．為引導學生在體育鍛煉中享受樂趣、增強體質，某校開展了大課間活動，七年級一班擬組織學生參加跳繩活動，最初男生報名人數比女生多3人，后來又有15名女生報名參加了跳繩活動，這時女生人數恰好是男生人數的2倍，求最初報名時女生與男生各有多少人？【答案】最初報名時男生有12人，女生有9人．【知識點】和差倍分問題(二元一次方程組的應用)【分析】本題考查了二元一次方程組的應用．設最初報名時女生有x人，男生有y人，由題意：男生報名人數比女生多3人，后來又報了15名女生，這時女生人數恰好是男生人數的2倍，列出方程組，解之即可．【詳解】解：設最初報名時女生有x人，男生有y人，依題意，得：，解得：，答：最初報名時男生有12人，女生有9人．【變式9-5】（23-24七年級下·北京石景山·期末）2024年3月14日是第五個“國際數學日”，也叫“日”．為了營造良好的數學學習氛圍，弘揚數學文化，傳承數學精神．某校決定購買A，B兩種數學類圖書共50本．若購買9本A種圖書和6本B種圖書共需390元；若購買5本A種圖書和8本B種圖書共需310元．(1)A，B兩種圖書的單價分別為多少元？(2)若學校決定購買A種圖書比B種的數量至少多5本，又不超過B種的2倍，怎樣購買才能使花費最少？并求出最少花費．【答案】(1)A種圖書每本30元，B種圖書每本20元(2)購買A種圖書28本，購買B種圖書22本時，總花費最小，為1280元【知識點】和差倍分問題(二元一次方程組的應用)、一元一次不等式組的其他應用【分析】本題考查二元一次方程組和一元一次不等式組的實際應用：（1）設A種圖書每本x元，B種圖書每本y元，根據購買9本A種圖書和6本B種圖書共需390元；購買5本A種圖書和8本B種圖書共需310元，列出方程組進行求解即可；（2）設該校購買A種圖書m本，根據購買A種圖書比B種的數量至少多5本，又不超過B種的2倍，列出不等式組，進行求解即可．【詳解】（1）解：設A種圖書每本x元，B種圖書每本y元．根據題意，得解得答：A種圖書每本30元，B種圖書每本20元．（2）設該校購買A種圖書m本，則購買B種圖書本．根據題意，得，解得，且m為正整數．A種圖書單價高，購買A種圖書越少越省錢．m取最小值28時，總費用最少，最少費用為元．答：購買A種圖書28本，購買B種圖書22本時，總花費最小，為1280元．【考點題型十】三元一次方程組及其解法（）【例10-1】（23-24七年級下·全國·期末）已知三元一次方程組，則該方程組的解為．【答案】【分析】本題考查了三元一次方程組的求解，解題的過程中利用消元的思想把三元一次方程組轉化為二元一次方程組，再利用消元的思想把二元一次方程組轉化為一元一次方程再求解是解題關鍵．利用和得到二元一次方程組，求出的值，再求出的值，最后求出的值即可．【詳解】解：，由得：，由得：，由得：，將代入得：，解得：，將和代入得：，解得：，不等式組的解為，故答案為：．【例10-2】（23-24七年級下·全國·期末）已知，且，求的值．【答案】【分析】本題考查分式的值，解方程組等知識，把看成已知數，求出、，然后代入化簡即可，解題的關鍵是把看成已知數解方程組，屬于中考常考題型．【詳解】解：把z看作常數，解關于x、y的方程組，得所以原式．【例10-3】（23-24七年級下·浙江臺州·期末）小滿時節，日照增，氣溫升，降雨多，清熱利濕很重要，中醫記載：取茯苓、陳皮、白扁豆，可制成一包祛濕茶，可以寧神、健脾、化