福建師大附中2012－2013學年高一第二學期期中模塊測試（數學）一、選擇題要求：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)$的零點為：A.$x=1$B.$x=2$C.$x=1$或$x=2$D.$x=0$或$x=3$2.若等差數列$\{a_n\}$中，$a_1=1$，$a_4=7$，則$a_{10}$的值為：A.17B.18C.19D.203.已知函數$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(-x)$的圖像與$f(x)$的圖像關于：A.$x$軸對稱B.$y$軸對稱C.原點對稱D.直線$y=x$對稱4.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=3$，$a_5=13$，則公差$d$的值為：A.2B.3C.4D.55.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$處取得極值，則$f(1)$的值為：A.2B.3C.4D.5二、填空題要求：將正確答案填入空格中。6.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，則$f'(x)$的值為______。7.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$，$a_4=7$，則$a_{10}$的值為______。8.若函數$f(x)=x^2-2x+1$，則$f(-x)$的圖像與$f(x)$的圖像關于______對稱。三、解答題要求：寫出解答過程。9.已知函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$，求$f'(x)$。10.在等差數列$\{a_n\}$中，若$a_1=1$，$a_5=13$，求公差$d$。四、解答題要求：寫出解答過程。11.已知等差數列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=4n^2+5n$，求該數列的第10項$a_{10}$。12.若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在區間$[0,2]$上單調遞增，求$f(x)$在區間$[-1,1]$上的單調性。五、證明題要求：證明下列命題。13.證明：若數列$\{a_n\}$滿足$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，則數列$\{a_n\}$為等比數列。14.證明：若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$處取得極值，則該極值為極大值。六、應用題要求：結合實際，解決下列問題。15.已知一家工廠生產某種產品，每天的生產成本為1000元，每件產品的售價為200元。根據市場調查，如果每天生產x件產品，則每天的銷售收入為$R(x)=200x-0.1x^2$元。求該工廠每天生產多少件產品時，利潤最大，并求出最大利潤。本次試卷答案如下：一、選擇題1.B解析：求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=2$。2.A解析：由等差數列的性質，$a_4=a_1+3d$，代入$a_1=1$，$a_4=7$，解得$d=2$，再由$a_{10}=a_1+9d$，代入$d=2$，解得$a_{10}=17$。3.B解析：$f(-x)=(-x)^2-2(-x)+1=x^2+2x+1$，與$f(x)$的圖像關于$y$軸對稱。4.A解析：由等差數列的性質，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=3$，$a_5=13$，解得$d=2$。5.A解析：求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，代入$f(x)$得$f(1)=2$。二、填空題6.$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：對$f(x)=x^3-3x^2+4x$求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$。7.17解析：由等差數列的性質，$a_{10}=a_1+9d$，代入$a_1=1$，$d=2$，解得$a_{10}=17$。8.$y$軸解析：$f(-x)=(-x)^2-2(-x)+1=x^2+2x+1$，與$f(x)$的圖像關于$y$軸對稱。三、解答題9.$f'(x)=3x^2-6x+4$解析：對$f(x)=x^3-3x^2+4x$求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$。10.$d=2$解析：由等差數列的性質，$a_5=a_1+4d$，代入$a_1=1$，$a_5=13$，解得$d=2$。四、解答題11.$a_{10}=29$解析：由等差數列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$S_n=4n^2+5n$，$a_1=1$，解得$a_{10}=29$。12.在區間$[-1,1]$上單調遞減解析：求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，在區間$[-1,1]$上，$f'(x)<0$，所以$f(x)$在區間$[-1,1]$上單調遞減。五、證明題13.證明：若數列$\{a_n\}$滿足$a_{n+1}=2a_n+1$，且$a_1=1$，則數列$\{a_n\}$為等比數列。證明：由$a_{n+1}=2a_n+1$，得$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，因為$a_1=1$，所以$a_1+1=2$，所以數列$\{a_n+1\}$為等比數列，公比為2，首項為2，因此數列$\{a_n\}$為等比數列。14.證明：若函數$f(x)=x^3-3x^2+4x$在$x=1$處取得極值，則該極值為極大值。證明：求導得$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$，在$x=1$的左側，$f'(x)>0$，在$x=1$的右側，$f'(x)<0$，所以$x=1$為$f(x)$的極大值點，因此該極值為極大值。六、應用題15.每天生產100件產品時，利潤最大，最大利潤為$18000$元。解析：利潤$P(x)=R(x)-C(x)$，其中$C(x)=1000$，$R(x)=200x-0.1x^2