2025年高考數學模擬檢測卷（新高考題型專項）-三角函數與復數問題解析一、選擇題（本大題共10小題，每小題5分，共50分）1.已知函數f(x)=sin(2x-π/6)，若f(x)在區間[0,π]上單調遞增，則x的取值范圍是：A.[0,π/3]B.[π/3,2π/3]C.[2π/3,π]D.[π,4π/3]2.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，則復數z在復平面上的位置是：A.位于實軸上B.位于虛軸上C.位于直線y=x上D.位于直線y=-x上3.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3=12，S5=30，則a1的值為：A.2B.3C.4D.54.已知函數f(x)=2sin(x)+cos(x)，則f(x)的周期T為：A.2πB.πC.π/2D.2π/35.已知復數z滿足|z-1|=|z+1|，若z在復平面上的位置是第二象限，則z的實部為：A.-1B.0C.1D.無法確定6.已知等比數列{an}的公比為q，若a1=2，a4=16，則q的值為：A.2B.4C.8D.167.已知函數f(x)=sin(x)+cos(x)，若f(x)在區間[0,2π]上的最大值為√2，則x的取值范圍是：A.[0,π/4]B.[π/4,π/2]C.[π/2,3π/4]D.[3π/4,2π]8.已知復數z滿足|z-1|=|z+1|，若z在復平面上的位置是第四象限，則z的虛部為：A.-1B.0C.1D.無法確定9.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3=12，S5=30，則a3的值為：A.2B.3C.4D.510.已知函數f(x)=2sin(x)+cos(x)，則f(x)在區間[0,2π]上的最小值為：A.-√2B.-1C.0D.1二、填空題（本大題共5小題，每小題5分，共25分）11.若復數z滿足|z-1|=|z+1|，則z在復平面上的位置是_________。12.已知等差數列{an}的前n項和為Sn，若S3=12，S5=30，則a1+a5=________。13.已知函數f(x)=sin(x)+cos(x)，若f(x)在區間[0,2π]上的最大值為√2，則x的取值范圍是_________。14.已知復數z滿足|z-1|=|z+1|，若z在復平面上的位置是第四象限，則z的虛部為_________。15.已知函數f(x)=2sin(x)+cos(x)，則f(x)在區間[0,2π]上的最小值為_________。四、解答題（本大題共2小題，共30分）16.已知函數f(x)=3sin(x)-4cos(x)+5，求f(x)在區間[0,2π]上的最大值和最小值，并求出對應的x值。五、證明題（本大題共2小題，共30分）17.證明：對于任意實數x，都有sin^2(x)+cos^2(x)=1。六、應用題（本大題共2小題，共20分）18.一艘船從A地出發，以每小時5公里的速度向東航行，同時有一艘船從B地出發，以每小時4公里的速度向西航行。兩船同時出發，設兩船相距d公里，求d隨時間t（小時）的變化規律，并畫出d-t圖象。本次試卷答案如下：一、選擇題1.A解析：函數f(x)=sin(2x-π/6)的單調遞增區間為[0,π/3]。2.A解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，說明z到點1和點-1的距離相等，因此z位于實軸上。3.B解析：由等差數列的性質，S3=3a1+3d，S5=5a1+10d，聯立方程解得a1=3。4.A解析：函數f(x)=2sin(x)+cos(x)的周期為2π，因為sin(x)和cos(x)的周期都是2π。5.C解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，且位于第二象限，說明z的實部為1。6.B解析：由等比數列的性質，a4=a1*q^3，聯立方程解得q=2。7.C解析：函數f(x)=sin(x)+cos(x)在區間[0,2π]上的最大值為√2，對應x的取值范圍為[π/2,3π/4]。8.D解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，且位于第四象限，說明z的虛部為0。9.B解析：由等差數列的性質，S5-S3=2a4，聯立方程解得a3=3。10.A解析：函數f(x)=2sin(x)+cos(x)在區間[0,2π]上的最小值為-√2，對應x的取值范圍為[π,3π/2]。二、填空題11.位于實軸上解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，說明z到點1和點-1的距離相等，因此z位于實軸上。12.24解析：由等差數列的性質，S5=5a1+10d，S3=3a1+3d，聯立方程解得a1+a5=24。13.[π/2,3π/4]解析：函數f(x)=sin(x)+cos(x)在區間[0,2π]上的最大值為√2，對應x的取值范圍為[π/2,3π/4]。14.0解析：復數z滿足|z-1|=|z+1|，且位于第四象限，說明z的虛部為0。15.-√2解析：函數f(x)=2sin(x)+cos(x)在區間[0,2π]上的最小值為-√2，對應x的取值范圍為[π,3π/2]。四、解答題16.解析：函數f(x)=3sin(x)-4cos(x)+5可以寫成f(x)=√(3^2+4^2)sin(x-α)+5，其中tan(α)=4/3。因此，f(x)的最大值為√(3^2+4^2)+5=7，最小值為-√(3^2+4^2)+5=-1。對應的x值為x=α+π/2+2kπ，其中k為整數。五、證明題17.解析：證明：對于任意實數x，有sin^2(x)+cos^2(x)=(sin(x))^2+(cos(x))^2=(sin(x))^2+(1-(sin(x))^2)（因為cos^2(x)=1-sin^2(x)）=1-(sin(x))^2+(sin(x))^