試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考模擬考試九年級數學試卷注意事項：1．本試卷滿分為150分，考試時間為120分鐘．2．本試卷包括“試題卷”和“答題卷”部分．試題卷”共4頁，“答題卷”共6頁．3．請務必在“答題卷”上答題，在試題卷”上答題是無效的．4．考試結束后，請將試題卷”和“答題卷”一并交回．一、選擇題（本大題共10小題，每小題4分，滿分40分）1．在，，0，這四個數中，最小的數是（

）A． B． C．0 D．2．的計算結果正確的是（

）A． B． C． D．3．如圖所示的幾何體的三視圖是（

）A． B． C． D．4．年前兩個月，安徽省“新三樣”（電動汽車、鋰離子蓄電池、光伏產品）合計出口億元，同比增長．其中數據“億”用科學記數法表示為（

）A． B． C． D．5．銳角內接于，連接，已知，，則劣弧的長為（

）A． B． C． D．6．6的因數有1，2，3，6，這幾個因數之間的關系是，像6這樣的數叫作完全數．從6，10，18，28這四個數中任選兩個數，至少有一個數是完全數的概率是（

）A． B． C． D．7．如圖，在菱形中，于點E．下列結論正確的是（

）A． B．C． D．8．已知實數a，b滿足，且，，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．9．如圖，為線段上一點，，，，，，記和的面積分別為，．設，，則關于的函數圖象為（

）A． B． C． D．10．如圖，在中，，P是邊上一點，且，過點P作，，分別交，于點D，E，連接，Q是外部一點，垂直平分，連接，，，則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分）11．要使二次根式在實數范圍內有意義，則x的取值范圍是．12．一元二次方程的正實數根是．13．在平面直角坐標系中，一次函數與反比例函數交于A，B兩點，A點在第一象限，與x軸交于點C，已知的面積為2，則k的值為．14．如圖，現有正方形紙片，為的中點，連接，，沿對角線折疊正方形紙片，與重合，然后還原．連接分別交于點，于點，連接．（）若，則．（用含的式子表示）（）若，則的長為．三、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）15．計算：．16．某超市開展端午節促銷活動，將某品牌粽子降價出售，用元購買該品牌粽子，比促銷前多買了盒．求促銷前該品牌粽子每盒的價格．四、（本大題共2小題，每小題8分，滿分16分）17．如圖，在由邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，的頂點均為格點（網格線的交點）．(1)將先向下平移2個單位長度，再向右平移4個單位長度，得到，畫出．(2)將繞點順時針旋轉，得到，畫出．(3)在所給的網格圖中畫圖說明（可作簡要說明）．18．數學興趣小組發現在實數范圍內不能因式分解，接著他們研究的因式分解問題，過程如下．(1)當x為正整數時：；；；；……按照以上規律，回答下列問題：（ⅰ）__________=____________；（ⅱ）_________=___________．(2)在（1）的研究基礎上，請你猜想：當x為任意實數時，因式分解所得的結果．并證明該因式分解結果的正確性．五、（本大題共2小題，每小題10分，滿分20分）19．九年級光學探究社團進行一次光的反射實驗，如圖，一束光線先后經平面鏡，反射后，反射光線與平行，已知．求的長．（參考數據：．）20．如圖，內接于，于點D，于點E，交于點F，交于點G，連接．(1)求證：．(2)若于點H，求的值．六、（本題滿分12分）21．綜合與實踐【項目背景】為支持鄉村振興，班級同學在老師的帶領下前往青山鄉開展綜合實踐活動，其中一個項目是調查該鄉每戶農民的年收入（以下稱為戶年收入），為鄉村振興工作提供參考．【數據收集與整理】班級同學從該鄉隨機調查了120個家庭的戶年收入x（單位：萬元）作為樣本，收集整理后進行如下分組：組別ABCDEx5<x≤1010<x≤1515<x≤2020<x≤2525<x≤30整理樣本數據并繪制兩幅統計圖，部分信息如下：任務1

求頻數直方圖中a，b的值．【數據分析與運用】已知A組中的具體數據見下表：戶年收入/萬元678910戶數12452任務2

求A組數據的中位數和眾數；任務3

鄉政府準備對戶年收入為10萬元以下（含10萬元）的家庭進行精準幫扶，根據樣本估計全鄉3600戶中需要精準幫扶的戶數．七、（本題滿分12分）22．如圖1，的兩條角平分線，相交于點I，．(1)求證：．(2)若，，求的長．(3)如圖2，交于點F，求證：．八、（本題滿分14分）23．在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線（a，b，c為常數，且）與x軸交于，兩點，與y軸交于點．(1)求拋物線的函數表達式．(2)P，Q兩點均在拋物線上，軸于點D，軸于點E，與y軸交于點F．已知P，Q兩點的橫坐標分別為t和，且．（ⅰ）分別記和的面積為，，求的最小值．（ⅱ）分別記和的面積為，，若，求t的值．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．B【分析】本題考查了有理數比較大小，掌握其比較大小的方法是解題的關鍵．根據正數大于0，0大于負數，兩個負數，絕對值大的反而小，即可得到答案．【詳解】解：依題意得：，∴最小的數是；故選B．2．C【分析】本題考查的是積的乘方運算，根據積的乘方運算法則進行計算即可．【詳解】解：；故選：C3．C【分析】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖．熟練掌握三視圖的定義是解題的關鍵．當我們從某一方向觀察物體時，所看到的平面圖形，叫做物體的一個視圖．在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖叫做左視圖．根據三視圖定義逐一判斷，可得答案．【詳解】解：A.，不是該幾何體的三視圖，不合題意；B.，不是該幾何體的三視圖，不合題意；C.，是該幾何體的三視圖，符合題意；D.，不是該幾何體的三視圖，不合題意．故選：C．4．D【分析】本題考查科學記數法，熟練掌握科學記數法的表示方法是解題的關鍵，利用科學記數法表示即可得到答案．【詳解】解：∵億，∴，故選：D．5．A【分析】連接，作于點D，則，求出，，再根據弧長公式計算即可．【詳解】解：如圖，連接，作于點D，則，∴，，∵，∴，，∴，∴．故選：A．【點睛】本題考查了圓周角定理、三角形的外角性質和弧長公式等知識，屬于常考題型，熟練掌握以上基本知識是解題關鍵．6．D【分析】本題考查了列表法或者樹狀圖法求概率，先找到完全平方數，再用列表法求概率即可．【詳解】解：6的因數有1，2，3，6，這幾個因數之間的關系是，故是完全數，10的因數有1，2，5,10，而，故不是完全數；的因數有1，2，3，6，9，18，而，故不是完全數；的因數有1，2，4，7，14，28，而，故是完全數；列表如下：61066，106，6，1010，610，10，，6，10，28，6，10，共12種等可能的結果，至少有一個數是完全數的情況為10種，∴至少有一個數是完全數的概率是，故選D．7．A【分析】本題考查了菱形的性質，直角三角形兩銳角互余，掌握菱形對角線平分一組對角是解題關鍵．根據菱形的性質可得，再根據直角三角形兩銳角互余，得到，可判斷A選項；再根據A選項結論判斷其余選項即可．【詳解】解：四邊形是菱形，，，是菱形的對角線，，，，，，A選項正確；若，則，即，，題目中沒有說明，無法推出，B選項錯誤；若，則，即，題目中沒有說明，無法推出，C選項錯誤；若，則，即，，題目中沒有說明，無法推出，D選項錯誤；故選：A．8．B【分析】本題考查了二元一次方程組和不等式組的解法，設，解關于和的方程組，利用表示出和，然后根據，即可列不等式組求得的范圍．正確利用表示出和的值是解題的關鍵．【詳解】解：設，解關于和的方程組，解得：．根據題意得：，解得：，即，故選：B．9．B【分析】本題考查了二次函數與幾何的綜合應用、全等三角形的判定與性質，過點作，與的延長線交于點，可證，所以可知，因為，則，，根據三角形的面積公式可得：，根據二次函數的圖象與性質確定正確選項．【詳解】解：如下圖所示，過點作，與的延長線交于點，，，，，，，，又，在和中，，，，，，，，．觀察圖象可知選B．故選：B．10．D【分析】本題考查了圓周角定理、平行四邊形性質和三角形全等的判定與性質的知識，掌握以上知識是解答本題的關鍵；本題先連接，根據平行四邊形性質和外接圓圓心的知識可得B正確，根據三角形全等的知識證明，可得A正確，根據四邊形內角和的知識可得C正確，由于與不一定平行，故D錯誤；【詳解】解：連接，如圖：，∵，，∴四邊形為平行四邊形，∴，∵垂直平分，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即的外接圓圓心為D，∴，故B正確．∵垂直平分，∴，又∵，，∴．∴，∴，∴，∴，∴，故A正確．∵，∴，∴，∵在四邊形中，，∴，故C正確．∵，∴∵與不一定平行，∴不一定等于，∴不一定成立，故D錯誤，故選：D．11．【分析】根據二次根式有意義的條件：被開方數大于等于0即可解答．【詳解】根據被開方數大于等于0列式計算，1﹣2x≥0，解得x≤．故答案為x≤．【點睛】此題考查了二次根式有意義的條件，熟記二次根式有意義的條件是解題的關鍵．12．【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．利用配方法解一元二次方程即可．【詳解】解：∴∴，∴，∴∴或（舍去）∴正實數根是故答案為：．13．12【分析】此題考查了一次函數和反比例函數的交點問題．先求出點C的坐標，再根據的面積為2求出點A的坐標，把點A的坐標代入求出答案即可．【詳解】解：如圖，當，，解得，∴，∴，設點A的坐標為，∵的面積為2，∴，∴，當時，，解得，∴點A的坐標為，∵一次函數與反比例函數交于A，B兩點，∴，解得故答案為：14．【分析】（1）根據折疊的性質可知，，根據正方形的性質可知，，利用可證，根據全等三角形的性質可知，從而可證，所以可得；（2）過點作于，根據正方形的性質可證，根據，，可證，根據相似三角形對應邊成比例可知，利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性質可以求出．【詳解】（1）解：由折疊的性質知，，四邊形是正方形，，，在和中，，，，，，，，；故答案為：．（2）解：如下圖所示，過點作于，，，，，，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查了正方形的性質、折疊的性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質．解決本題的關鍵是作輔助線構造相似三角形，利用相似三角形對應邊成比例求解．15．【分析】本題考查了實數的混合運算，正確理解實數的運算法則和運算性質是解決本題的關鍵．先計算負整數指數冪、化簡絕對值、二次根式的乘法運算，再算加減法即可．【詳解】解：．16．促銷前該品牌粽子每盒的價格為元．【分析】本題考查了分式方程的應用，設促銷前該品牌粽子每盒的價格為元，由題意，然后解方程并檢驗即可，讀懂題意，找出等量關系，列出方程是解題的關鍵．【詳解】解：設促銷前該品牌粽子每盒的價格為元，由題意得，，解得，經檢驗，是原分式方程的解，答：促銷前該品牌粽子每盒的價格為元．17．(1)見解析(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了網絡作圖．熟練掌握平移性質，旋轉性質，等腰直角三角形性質，是解題的關鍵．（1）把A，B，C向下平移2個單位長度，再向右平移4個單位長度，得到，順次連接各點即得，（2）把A，B，C繞點順時針旋轉，得到，順次連接各點即得；（3）把點A繞點B逆時針旋轉，得到點D，連接，則．【詳解】（1）解：如圖，即所求．（2）如圖，即所求．（3）如圖把點A繞點B逆時針旋轉，得到點D，連接，則是等腰直角三角形，∴．∵，∴．（答案不唯一）18．(1)（ⅰ），；（ⅱ），(2)，證明見解析【分析】本題主要考查因式分解的規律問題．熟練使用因式分解方法是解答關鍵．（1）通過觀察已給出的等式，找出相應的規律求解即可．（2）利用（1）得出的規律來進行猜想，證明求解即可．【詳解】（1）解：（1）（ⅰ）；故答案為：，；（ⅱ）；故答案為：，；（2）猜想：因式分解的結果為．

證明：∵，∴是正確的．19．【分析】題目主要考查平行線的性質，解三角形的應用，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．根據題意得出，再由各角之間的關系得出．利用三角形內角和定理得出，然后利用正切函數求解即可．【詳解】解：由題意得，∴．∵，∴．∵，∴．∴．在中，，∵，∴．20．(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明，結合，可得，進一步可得結論；（2）如圖，作直徑，連接，，可得，證明．，．結合，可得，進一步可得結論．【詳解】（1）證明：∵于點D，于點E，∴，，∴，∵，∴，∴．（2）解：如圖，作直徑，連接，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又∵，∴，∴．【點睛】本題考查的是等腰三角形的判定與性質，弧，弦，圓心角之間的關系，圓周角定理的應用，平行線分線段成比例，作出合適的輔助線是解本題的關鍵．21．任務1：，；任務2：中位數和眾數分別為8.5萬元和9萬元；任務3：420戶【分析】此題考查了頻數分布直方圖，中位數、眾數，樣本估計總體等知識，讀懂題意是解題的關鍵．任務1：利用百分比和作差即可求出答案；任務2：求出中位數和眾數，即可得到答案；任務3：用樣本估計總體即可．【詳解】解：任務1

，即．，∴．

任務2

A組數據的中位數和眾數分別為8.5萬元和9萬元．

任務3

（戶）．答：估計全鄉3600戶中需要精準幫扶的戶數為420．22．(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】本題考查全等三角形的判定與性質，相