正弦型函數的性質與圖像

知識梳理

一、正弦型函數的相關概念

1、定義：一般地，形如y=4in(gf。)的函數，在物理，工程等學科的研究中經常遇到，這

類型的函數稱為正弦型函數，其中4回。都是常數，且AwO,。。。.

2、對函數y=Asin(0x+0)圖像的影響

(1)A決定了函數的值域以及函數的最大值和最小值，通常稱A為振幅.

(2)8決定了戶()時的函數值，通常稱(p為初相，cox+9為相位.

(3)。決定了函數的周期7=」

co

3、A,的實際意義

(1)同的表示小球能偏離平衡位置的最大距離，稱為振幅；

(2)°在決定仁0時小球的位置中起關鍵性作用，稱為初相；

(3)周期r=M表示小球完成一次運動所需要的時間,

內能完成的運動次數，稱為頻率.

二、正弦型函數的性質

1、定義域：R

2、值域:[-⑷卻

3、周期：7=勺

4、奇偶性「定義域關于原點對稱”，是函數具有奇偶性的前提，在滿足這一前提的條件下,

對于y=Asin(4v+(p)(Aw0,H0)

當°=Z;r(%￡Z)時，函數y=Asin(5+0)(AWO,GWO)是奇函數；

當0=攵萬+](&€Z)時，函數y=Asin(<yx+0)(AwO,①。0)是偶函數；

當0=4(kwZ)時,函數)，=Asin(0x+e)(AwO,GwO)是非奇非偶函數；

5、單調性確定函數y=Asin(iyxI。)(八>0,69>0)的單調區間的思想是把cox\。看作一個整體。

由2左萬-14a￥+9《24不+5（女￡2）解出工的范圍，可得單調遞增區間；

由2版■+］工《"+°工2%乃+耳（ZEZ）解出x的范圍,可得單調遞減區間；

三、用五點法畫y=4sin（“x+0）一個周期內的簡圖時，要找五個關健點，如下表所示.

n-(P江史2TI-(p

X-義+工

coco2toco2cocoCD

3兀

COX+(/)0匹712兀

2T

y=Asin(cox+(p)0A0?A0

四、三角函數圖像變換

1、振幅變換

要得到函數》=Asinx（A>0,4=1）的圖像，只要將函數v=sinx的圖像上所有點的縱坐標伸長

（當A>1時）或縮短（當0<A<1時）到原來的A倍（橫坐標不變）即可得到.

2、平移變換

要得到函數戶sin*+8）的圖像，只要將函數），=sinx的圖像上所有點向左（當勿>0時）或向

右（當8<0時）平行移動3個單位長度即可得到.

3、周期變換

要得到函數ksins（xwR）（其中。>（）且gw1）的圖像，可以把函數>'=sin<上所有點的橫

坐標縮短（當。>1時）或伸長（當°°。時）到原來的5倍（縱坐標不變）即可得到?

4、函數y=sinR的圖像經變換得到），=Asin（sr+°）的圖像的兩種途徑

畫出尸疝》?的圖象畫出xsin”的圖象

1

橫坐標變為原來的1倍

向左（右）平移21個單位長度春

得到尸sin（a+q）的圖象得到y=sinsv的圖象

|￡|個單位長度

橫坐標變為原來的1倍I向左（6）平移

得到y=sin（*、：+（p）的圖象|

得到尸sin（s4+夕）的圖象

縱坐:標變為原來的A倍縱坐標變為原來的A倍

彳母到尸Asin（s4+0）的圖象|得到尸Asin（s；i+0）的圖象

5、三角函數圖像變換中的三個注意點

（1）變換前后，函數的名稱要一致，若不一致，應先利用誘導公式轉化為同名函數；

例如：sint=cos(^--)siccost=sin(z+—)

22

(2)要弄清變換的方向，即變換的是哪個函數圖像，得到的是哪個函數圖像，不可弄錯方向；

(3)要弄準變換量的大小，特別是平移變換中

函數y=Asinx至！J)，=Asin(x+°)的變換量是網個單位，

函數y=Asin5到y=Asin(<yx+0)時，變換量是—個單位.

co

'至常考題型

題型1五點法畫正弦型函數圖像題型5正弦型函數的奇偶性

題型2正弦型函數的周期性題型6求正弦型函數的最值或值域

正弦型函數的4

性質與圖像

題型3正弦型函數的對稱性題型7根據函數圖像求解析式

題型4正弦型函數的單調性題型8正弦型函數圖像變換

'孽題型精析

題型一五點法作正弦型函數圖像

【例I】用“五點法”作產2sin2A-的圖象,首先描出的五個點的橫坐標是()

A?吟萬與B,。，*號/C.0,L,4萬D'°'7，f,f，T

【答案】B

【解析】由“五點法”作圖知：令2r=(),9兀，*，2%

解得1=0,?,三，：兀，兀，即為五個關鍵點的橫坐標,故選：B.

【變式皿】用‘五點法哂—⑦+9在一個周期內的筒圖時所描的五個點分別是(一御)，

哈⑵，號。)，喑「2),

【答案】咨,0).

O

【解析】用“五點法”畫y=2sin（2x+§在一個周期內的簡圖時,

分別令2X+9=O,9學,2萬,當2x+g=2萬,可得尸耳,此時腐。=0,

3225oo

所以五個點分別為（-3。），哈，2）,除0）,點「2）,磨,0）.

O1231ZO

【變式1-2］作出下列國數在一個周期圖象的簡圖：

71(3)y=2sin(2%+?+1

(1)y=3s嗚;(2)y=2sinX+—

4

【答案】（1）函數圖象見解析；（2）函數圖象見解析；（3）函數圖象見解析

【解析】（1）因為y=3si吟，取值列表：

3不9乃

X0T34T6乃

X3n

0冗24

37~2

y030-30

描點連線，可得函數圖象如圖示:

(2)因為y=2sinx+—，取值列表：

4J

7T7C3兀5乃7%

XI~4T~4~T

71713元

x+-0不2/r

422

y020-20

點連線，可得函數圖象如圖示:

描點連線，可得函數圖象如圖示:

題型二正弦型函數的周期性

【例2】函數仆）=sin（2x+1）的最小正周期為（）

A.兀B.2nC.4兀D.6兀

【答案】A

【解析】由題意最小正周期是7=1=兀，故選：A.

【變式2-1］小）=2-3可消）的最小正周期為,

【答案】■

_2幾

【解析】由題意可知，函數/"）的最小正周期為T=.

2

【變式2-2］已知函數/*)==5(3>0)的最小正周期16,則八2)=.

【答案】專

【解析】由周期公式可得7=￡=16?>0),所以”,

所以.”嶗工，所以〃2)=si吟x2=si哈咚

【變式2?3】已知/(%)=sin&+J則/⑴+〃2)+〃3)++/(2022)=.

【答案】。

_2￡_,

71萬、T

【解析】函數faxsin—X+—的最小正周期為￡

36JI

冗兀

當&eZ時，/(6^)=sin^=l,/(6A+I)=sin—+—=1

o236J

2萬JI1

/(6^+2)=sin三+——,/(6火+3)=sin7T+—|=

\3626j2，

4乃7T]1

f(6k+4)=sin——+—=-l/(6k+5)=sin

36JI362，

所以，/@)+/(67)+/(6n2)+/(6&+3)+/附+4)+/(6八5)=0,

?.2022=337x6,因此，〃l)+/(2)+/(3)+…+/(2022)=0x337=0.

【變式2-4】已知/(〃)=sin￡,(〃wN')，/⑴+/⑵+/(3)+L+/(2019)=;

【答案】。

【解析】依題意小)=神保，

所以/(l)=si吟=1,〃2)=sin;r=0,/(3)=仔,=-1,〃4)=sin2乃=0,

/(5)=siny=sin^2^-+|^=sin|=l,……，以此類推，

/(〃)是周期為4的周期函數,且/⑴+/(2)+〃3期"4)=0,

所以/(D+/(2)+/⑶+L+/(20I9)=

0+/(2017)+/(2018)-b/(20I9)=/(l)+/(2)+/(3)=l+0+(-l)=0.

題型三正弦型函數的對稱性

【例3】函數），=sin（2x+.）的圖象的一個對稱軸方程是（）

、乃n乃c兀八九

A?X“WB--v=-7C,A-=-D,x=-

【答案】c

【解析】對于函數丁=$皿2"?）,令2x+[=g+A肛％wZ,解得工=尚+乎,壯2,

44ZoZ

故函數的對稱軸方程為xW+?kZ,

oZ

令攵=（）,可知函數的一條對稱軸為x故選：C

O

【變式3-1]下列關于函數/（”）=2sin,+總的圖象，說法正確的是（）

A.關于點件。卜寸稱B.關于直線戶域對稱

C.關于直線A十寸稱D.關于點仁可對稱

【答案】C

【解析】A：/圖=2si臂+總。2,即/⑴關于I=？對稱，故錯誤；

B:/（—吉卜2可4+￡|=0,即/⑴關于卜方可對稱，故錯誤；

C：/e）=2"畀￡|=2,即，⑶關于x君對稱,故正確；

D：佃=2sin（2喂卜0,故錯誤.故選：C.

【變式3-2】已知函數小卜如（2嶗），.若方程小）號的兩個解為"，則

sin（x1+x2）=（）

A.—4B.且C.1D.

2222

【答案】B

【解析】由題意可得則2嶗嗚也,

令2嗚，即函數小"心Y）,■叫關于直線Y對稱,

則/（"在（詞上單調遞增,在信）上單調遞減，所以—X瀉,

故sina+X2）=sin《=”,故選：B

【變式3-3】如果直線、=葭是函數.y=2sin（3x+p）圖像的一條對稱軸，則。的最小正值為

1o

【答案】T

【解析】由已知3乂卷+。=彳+版■，丘Z，解得e=+

IOZ3

當E。取最小正值，且為用故答案為：y.

【變式3-4]已知函數/O）=sin（2x+0）的圖象關于點信0）中心對稱,則同的最小值為（）

A'B-C—D—

A-6B-3C-3U-3

【答案】B

【解析】因為函數/（x）=sin（2.2的圖象關于點后,。）中心對稱,

所以sin/2X￡+°]=0,貝[]2x^+9=A兀,AeZ,即一四+EMwZ,

k6/63

故⑷的最小值為弓.故選：B

題型四正弦型函數的單調性

【例4】函數丁=%（2.一日的單調增區間是（）

jrjr

A.2k7r-^,2k7r+^(keZ)B.k九一二，k冗中三伏￡Z）

63

C.k;r+—,k7r+^-(k.€Z)D.一k兀一三、一k幾+?（kGZ）

【答案】B

【解析】因為丁=sinf2x--1,

6)

所以因數的單調遞增區間為Y產…;故選：B

【變式4-1])，=sin(-2”的單調增區間是()

A.—+2k^,—+2k^(AcZ)B,[乃+2日,3萬+2k司(keZ)

22

c「萬，34，

乃，—(keZ)D.一?+k乃，:+女乃(kwZ)

C..44r+Z"

【答案】c

【解析】由)，=疝(-2司,

rr371

令一+2%乃工-+4,4eZ,

37T7C

解彳導—-；—k7t＜x＜一■＜一k冗,kGZ,

44

艮|]-與+*江＜丫＜一?+4"/(=7,艮|]?+〃萬＜丫＜,+上萬,〃(=7,故選：C.

【變式4.2】函數小）=4表2）在[0,句上的增區間是（）

—「萬萬]'「乃

A.匕71刁"|_B,\匕T1C.[-，5y]D.仁"

【答案】C

【解析】由題知〃”『巾-高，又皿0,句，所以2.品-今野：，

TC—T[37c>r—?兀/5/Z"

<2^--<—,解彳導,

2o236

所以函數/（”）=s喉—2%）在[0,句上的增區間是樣用.故選：C.

【變式4-3】設。〉0,若函數/*）=2sins在卜孑q上單調遞增，則”的取值范圍是（)

（11（31「3一

A.0,-B.1,；C.0,-D.（0,1］

【答案】D

冗兀c_CO7TCO7T

【解析】由xc-了］,①>。,可得①xw,

根據正弦函數的單調性，可得：共2,又0>0,

---?—

22

所以0<3<1,即3€（。/］.故選：D.

【變式4.4】已知函數/（x）=sg+a）在xjq昌上單調遞增，則。的值可以是（

)

【答案】B

［解析】當xe（一時，x+ae（_?+Y+\

11、兀…

-----+a>——+2女乃

則42，&wZ,解彳導一工+2女尸4。《生+2Z;r,%eZ,

—+a<—+lk7r

32

當2=0時，-2，結合選項可知，只有B選項符合,故選：B.

題型五正弦型函數的奇偶性

［例5］已知函數f*）=sin*+0）為偶函數，貝」。I的取值可以為（）

A.-yBJC.gD.0

NJ

【答案】A

【解析】因函數/（?=sin。+8）為偶函數，貝1|。=而+］入Z,

顯然a=-1時/=￡，即A滿足，B,C,D都不滿足.故選：A

【變式5-1］若函數〃x）=2sin（2x-?是奇函數，則。的值可以是（）

AA-—6nB-—2cC-3D-2

【答案】C

【解析】若函數"x）=2sin（2Aq+,是奇函數，

則一.+0=也k/Z，得9=5+%乃,丘2=＞左=-1，9=-用故選：C

【變式5-2】設函數〃x）=sin2x戶cR，若，40,乃），函數/（1+。）是偶函數，則。的值為（）

A?五或歷B?%或7C.1或彳D?§或彳

【答案】C

【解析】因為〃x+S=sin（2x+2夕）是偶函數，

rrjr

所以2夕=彳+4乃,keZ+尿、kwZ,

又同。㈤，所以。=5或.故選：C.

【變式5-3］已知函數/（力=m的+。）（0＞0,。＜。＜乃），且小）與/（X+0均為偶函數，則。的

最小值是_______.

【答案】3

【解析】因函數〃x）=sin?+0）是偶函數，則方氏+多壯Z,

=sin(s+4=coss

又0<°<萬則A=()@g,f(x)

I2)

此時，f（x+g）=8s?x+等），而f（x+g）為偶函數，＜y＞0,

JJJ

因此，爭二版，,即0=3%,keW,于是得/n=3,

所以。的最小值是3.

題型六求正弦型函數的最值或值域

【例6】函數/3=sin（2x+￡）,xe0,y的最大值和最小值分別為（）

A.1,-1B.g-gC.\D.1,

【答案】D

【解析】由題設，2x+—e，故小『訪伍+?）引-；,1],

666V672

所以最大值和最小值分別為1,故選：D

【變式6-1】函數/（x）=2sin（9W）在區間[0H的值域為（）

A.,11B.[1f73]C.[1,2]D.[6,2]

【答案】C

【解析】當X€[。，劃時，+g片,sin（yX+-^）GJ』,｝閆1,2],故選：C

j—j.

【變式6-2]若函數〃x）=asin⑵1*）-2〃+1]|同＜5在行9處取得最小值3那么。的值為）

AA-—3aR?—4Q，-6Un?—12

【答案】C

【解析】當。=0時，8）=1,不合題意，

2

若。＞。,由已知得-"勿+1=3,解得。=-],與心。矛盾,舍去；

若“V。,由已知得4+1=3,解得〃=-2,=-（p=2k7T+系kw7」）,

JJ

解得W=￡-2壯（kwZ）,又罔＜9,所以°=￡,故選：C.

o2o

【變式6-3】若函數/3=2gY）在區間與。）內存在最小值，則。的值可以是（）

【答案】B

【解析】由神停。)，得2"%停2丐).

若在開區間管。)內存在最小值,

則2。+?用，解得"牛，故選B

4Zo

題型七根據函數圖像求解析式

管=(

。>0,1初后J的部分圖象如圖所示,貝V)

D-T

【答案】C

【解析】由圖象可知丁=44,從而/，

Asin(^+“

=0

在函數圖象上,

將停噴。,-1)3

Asin^>=-

2

1冗’2不)=3siC.

可彳導：e=-￡,A=3J(x)=3sin—X-----吟《故選：

6126廣

【變式7-1］如圖是函數"x)=Asin(s+*)心0.@>0,0<04的圖象的TB分，則函數/⑺的

71

A./(x)=2si?n2cx+—B./(x)=2sin2x+g

I6XJ

nD./(x)=2sin(2xj

C./(x)=sinx+—

3

【答案】B

【解析】由圖象可知：/(x)最小正周期r=4x^|-￡|=*/.◎=學=2;

又/傳卜Asin管+。)一，

，磊+。=?+2匕r(ZwZ),解得：。=?+2版■(ZwZ),

■n八幾兀.?./(x)=Asin12x+?,

又o<e<5,

/(O)=Asin^=^-A=\/3,3=2,??J(x)=2sin(2x+?)故選：B.

【變式7-2］函數/(x)=4sin(5+Q)的部分圖象如圖所示，則八制=()

C.msin(3x+?D.#sin

【答案】B

【解析】由圖象可得：7=2倍+目=乃,???吁4=2,

再根據五點法作圖可得2乂,哥+8=>2丘丘2,"="+2丘丘2,

f(x)=4sin(2x+,

又/(0)=Asin與=6,?\A=2,

,+印故選：B

/(x)=2sin

【變式7-3】函數/(x)=|Asin(?r+0)+l|(A＞OJ*|＜g的部分圖象如圖所示，則()

【答案】A

【解答】由圖可得：A+1=3且|-A+l|=lnA=2；

,函數f(x)=|Asin(x+*)+11(A>0,15的部分圖象過(0,2)；

/.2=2sin<9+1=>sinIl<-；:.(p=—.

226

【變式7-4】設偶函數啟)=加皿3+9)(40,口＞0,0＜夕＜兀)的部分圖象如圖所示,AKLM為等

腰直角三角形，NKML=90。，KL=1,則大＜)的值為.

【答案】乎

【解析】由題意知，點M到上軸的距離是:，根據題意可設/&)=如3,

又由題圖叫著二1,所以M=7l,所以,/W玲OSTLX,

故點玲os臺興

題型八正弦型函數圖像變換

【例8】已知函數/(x)=2sin)+S,則函數的圖象可以由)，=2sin\的圖象()

A.向左平移(得到B.向右平移;得到

C.向左平移g得到D.向右平移?得