第一節(jié)空間幾何體

考試要求：1.認識柱、錐、臺及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運用這些特征描述現(xiàn)實

生活中簡單物體的結(jié)構(gòu).

2.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓錐、棱柱及其簡易組合)的直觀

圖.

3.知道棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題.

—\必備知識-回顧教材重“四基

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.多面體的結(jié)構(gòu)特征

名稱棱柱棱錐棱臺

c,D'

AE^>C

圖形

AHAB

底面互相平行且全等多邊形互相平行

相交于一點但不一定

側(cè)棱平行且相等延長線交于二A

相等

側(cè)面形狀平行四邊形三角形梯形

2.旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

名稱圓柱圓誰圓臺球

圖形iA理*

相互平行且相等相交于

母線延長線交于二A

并垂直于底面

全等的等腰三角

軸截面全等的矩形全等的等腰梯形圓

側(cè)面

矩形扇形扇環(huán)

展開圖

3.空間幾何體的直觀圖

空間幾何體的直觀圖常用他測畫法來畫，其規(guī)則是:

(1)“斜”：在直觀圖中，X,軸、y'軸的夾角為45°或135°.

⑵“二測”：圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線,

在直觀圖中長度為原來的一半.

微提醒■■■

畫直觀圖要注意平行，還要注意長度及角度兩個要素.

4.圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式

圓柱圓錐圓臺

側(cè)面展開圖花

側(cè)面積公式Slai-m=2nrlSMOj=rlSm臺側(cè)=■5+及)1

5.空間幾何體的表面積與體積公式

名稱

表面積體積

兒何體

柱體(棱柱和圓柱)S表曲權(quán)=5信+2s底仁S底?h

錐體(棱錐和圓錐)S表面積=S(?+S底?h

J

右;（上遮M）力

臺體(棱臺和圓臺)S衣面積=SM+S上+S卜S+SF+

15

球5=4

J

微提醒■■■

(】)求棱柱、棱錐、棱臺與球的表面積時，要結(jié)合它們的結(jié)構(gòu)特點與平面幾何知識來解

決.

(2)常常利用一些幾何體的展開圖解決表面上的最短距離問題.

(3)求幾何體的體積時，要注意利用分割、補形與等體積法.

~~6.常用結(jié)論

幾個與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論：

(1)正方體的棱長為4球的半徑為尼

①若球為正方體的外接球，則2/?=4卻

②若球為正方體的內(nèi)切球，則2ka；

③若球與正方體的各棱相切，則2R=g.

(2)若長方體的同一頂點的三條棱長分別為a,b,c,外接球的半徑為R,則2R=

7才+方2+d.

(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3：1.

微提醒■■■

解決與球“外接”問題的關(guān)鍵：(1)確定球心.(2)構(gòu)造正(長)方體等特殊幾何體.

二、基本技能?思想?活動經(jīng)驗

1.判斷下列說法的正誤，對的打“J”，錯的打“X”.

(1)有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱.

(X)

(2)有一個面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐.

(X)

⑶棱臺是由平行于底面的平面截棱錐所得的平面與底面之間的部分.

(V)

(4)圓柱的一個底面積為S,側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2克S

(X)

2.如圖，長方體力"卷A'B'CD'被截去一部分，其中劭〃力'D',則剩下的幾

何體是()

C.五棱柱I).簡單組合體

c解析：由幾何體的結(jié)構(gòu)特征知，剩下的幾何體為五棱柱.

3.己知圓錐的表面積等于12ncm2,其側(cè)面展開圖是一個半圓，則底面圓的半徑為

()

A.1cmB.2cm

3

C.3cmD.-cm

B解析：S&=冗/+JI冗/r?2r=3Jif=12n，所以戶=4,所以r=2cm.

4.體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()

C.8nD.4n

A解析：由題意可知正方體的校長為2,其體對角線為2鎘即為球的直徑，所以球的

表面積為4。〃=(2心“Ji=123.故選A.

5.在直觀圖(如圖所示)中，四邊形。‘1,B'C為菱形且邊長為2cm,則在平面直角

坐標系不。，中，四邊形4ro為,面積為<

/b'A'F

矩形8解析：由斜二測畫法的規(guī)則可知，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCO

是一個長為4cm,寬為2cm的矩形，所以四邊形月6。。的面積為8cm2.

—^關(guān)鍵能力?研析考點強“四翼

考點1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征與直觀圖一一基礎(chǔ)性

多維訓練

1.用任意一個平面截一個幾何體，各個截面都是圓面，則這個幾何體一定是()

A.圓柱

B.圓錐

C.球

D.圓柱、圓錐、球體的組合體

C解析：截面是任意的，且都是圓面，則該幾何體為球體.

2.下列命題正確的是()

A.以直角三角形的一邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐

B.以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺

C.圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓面

D.一個平面截圓錐，得到一個圓錐和一個圓臺

C解析：由圓錐、圓臺、圓柱的定義可知A,B錯誤，C正確.對于D,只有用平行于

圓錐底面的平面去截圓錐，才能得到一個圓錐和一個圓臺，1)不正確.

3.如圖，矩形)A1//C是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O'H=6cm,

C=2cm,則原圖形是()

B.矩形

D.一般的平行四邊形

C解析：如圖，在原圖形》比中，應(yīng)有⑼=2。'D'=2X272=472(cm),CD=CI)'

=2cm.

所以06=^0^+CI)(4-x/2)2+22=6(cm),

所以勿=%,所以四邊形%是菱形.

4.（多選題）下列命題中正確的是（）

A.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形

B.在四棱柱中，若兩個過相對側(cè)棱的截面都垂直丁底面，則該四棱柱為直四棱柱

C.存在每個面都是直角三角形的四面體

D.棱臺的上、下底而可以不相似，但側(cè)棱長一定相等

BC解析：A不正確，根據(jù)楂柱的定義，楂柱的各個側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全

等；B正確，因為兩個過相對側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，乂垂直于底面；C正確，如圖,

正方體/1睨沙48￡〃中的三棱錐GABC,四個面都是直角三角形；D不正確，棱臺的上、

下底面相似且是對應(yīng)邊平行的多邊形，各惻棱的延長線交于一點，但是側(cè)棱長不一定相等.

解題通法

1.解決空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征的判斷問題主要方法是定義法，即緊扣定義來判斷，或

列舉反例進行判斷.解答此類問題常常由于概念理解出錯，如第2題有可能錯選A,B.D,

第4題錯選A,D等.

2.解決直觀圖問題，要理解并學會運用斜二測畫法規(guī)則.

考點2空間幾何體的表面積與體積一一綜合性

「典例引領(lǐng)」

考向1空間幾何體的表面積問題

例EJ*（1）（2021?新高考全國I卷）已知圓錐的底面半徑為地，其側(cè)面展開圖為一個半

圓，則該圓錐的母線長為（）

A.2B.272C.4D.4位

B解析：由題意知圓錐的底面周長為八pn.設(shè)圓錐的母線長為1,則“1=2隹丸，

即1=2位.故選員

（2）如圖，在三棱柱期&月心G中，川」底面力應(yīng)；4員L8￡AA=AC=2,直線4c與側(cè)

面所成的角為30°,則該三棱柱的側(cè)面積為（）

A.4+4啦B.4+4小

C.12D.8+4^2

A解析：連接48因為,44_L底面4外;則,44_1_鑿又ABLBC,AAOAB=A,所以勿

_L平面加出/,所以直線4C與側(cè)面力力必必所成的角為/。!/=30°.又月4=力仁2,所以

4仁2位，所以BC=W又/1BLBC,則AB=小,則該三棱柱的側(cè)面積為2*X2+2X2

=4+4卷

(3)在如圖所示的斜栽圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm,母線長最短50cm,最長

80cm,則斜截圓柱的側(cè)面面積S=

2600Ji解析：將題圖所示的相同的兩個幾何體對接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為

矩形.由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S="(50+80)X(nX40)=2600冗(cm2).

解題通法

求解幾何體表面積的類型及求法

求多面體的表只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求

面積多面體的表面積

求旋轉(zhuǎn)體的表可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面枳，但要

面積搞清它們的底面半徑、母線長與對應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長關(guān)系

求不規(guī)則幾何通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺體，先求出這些基本的柱

體的表面積體、錐體、臺體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積

多維訓練

1.一個六棱錐的體積為2#,其底面是邊長為2的正六邊形，側(cè)棱長都相等，貝!該六

棱錐的側(cè)面積為________.

12解析：設(shè)正六棱銖的高為方，側(cè)面的斜高為〃.由題意，得36x"x2xd5x力

=2#,所以方=1,所以斜高力'=71"小）2=2,所以S側(cè)=6X；X2X2=12.

2.《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學名著，它在幾何學中的研究比西方早一千多年，書中將

底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵.已知一個塹堵的底面積為6,體

積為號的球與其各面均相切，則該塹堵的表面積為.

36解析：設(shè)球的半徑為八底面三角形的周長為上由已知得r=l,所以塹堵的高為

2.則［力=6,7=12,所以表面積5=12X2+6X2=36.

考向2空間幾何體的體積問題

例?*（1）如圖所示，已知三棱柱49G4AC的所有棱長均為1,且44」底面力密則

三棱錐8「力8G的體積為（）

C必D通

124

A解析：易知三棱錐3-49G的體積等于三棱錐45加的體積，又三棱錐4笈陽的高

為很底面積為故其體積為思x乎君.

（2）（2021?八省聯(lián)考）圓臺上、下底面的圓周都在一個直徑為10的球面上，其上、下底

面半徑分別為4和5,則該圓臺的體枳為.

61n解析：圓臺的下底面半徑為5,故下底面在外接球的大圓上，

如圖，設(shè)球的球心為0,圓臺上底面的圓心為0',

則圓臺的高00'4/=^/52-42=3.

據(jù)此可得圓臺的體積勺9X3X6+5X4+42）=61n.

O

解題通法

求空間幾何體的體積的常用方法

公式法對于規(guī)則幾何體的體積問題，可以直接利用公式進行求解

把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體枳計算；或者把不規(guī)則的幾

割補法

何體補成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補成熟悉的幾何體，便于計算其體積

一個幾何體無論怎樣轉(zhuǎn)化，其體積總是不變的.如果一個幾何體的底面面積和高

等體積

較難求解時，我們可以采用等體積法進行求解.通過選擇合適的底面來求幾何體

法

體積，主要用來解決有關(guān)錐體的體積，特別是三棱錐的體積

「多維訓練」

1.（2021?全國甲卷）已知一個圓錐的底面半徑為6,其體積為30%則該圓錐的側(cè)面

積為.

39n解析：設(shè)圓錐的高為力，母線長為/,則圓錐的體積nX62X/?=30L解

得/?=|.所以/=d#+￥=76?+?=Y?故圓錐的側(cè)面積s=nrl=nX6Xy=39

2.如圖，已知體積為1/的三棱柱/14C/1由G,U是棱笈8上除凡8以外的任意一點,

則四棱錐的體積

917

—解析：如圖，把三棱柱ABC-4BC補成平行六面體小狀RG-ADBC.設(shè)點尸到平面

的距離為力,則

2V

V=-S?力^，/-4,2T

P-AAyCxC3AAxCxC3AACGDRB出3ABGABC3°

考點3與球有關(guān)的切、接問題一一綜合性

「典例引領(lǐng)」

考向1“相切”問題

例?，已知正四面體月4%的表面枳為S,此四面體的內(nèi)切球的表面積為S,則5=

萼解析：設(shè)正四面體的棱長為8則正四面體的表面積為S=4X乎X，=//，

其內(nèi)切球半徑二為正四面體高的｝，即或輸因此內(nèi)切球表面積為￡=41/=

O14

"S扁’6m

6，則^一互-n,

解題通法

處理與球有關(guān)內(nèi)切問題的策略

解答此類問題時首先要找準切點，通過作截面來解決.如果內(nèi)切的是多面體，則作截面

時主要抓住多面體過球心的對角面來作，利用體積分割法求內(nèi)切球半徑.

~~考向2~~“相接”問題

例0，已知直三棱柱力的44G的6個頂點都在球。的球面上，若力4=3,AC=4tAH

-LAC,44=12,則球。的半徑為（）

A.B.2m

,13

c,T1).3^10

C解析：如圖所示，由球心作平面月胸的垂線，則垂足為應(yīng)?的中點M

又A；if=^BC=^〃仁=6,所以球0的半徑R=04=7住)’+6?=4

解題通法

處理與球有關(guān)外接問題的策略

（1）構(gòu)造正（長）方體等特殊幾何體轉(zhuǎn)化為特殊幾何體的外接球問題.

（2）空間問題平面化，把平面問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，作出適當截面（過球心、接點等）.

（3）利用球與截面圓心的連線垂直于截面，確定球心所在的直線.

「多維訓練」

1.已知三楂錐月月比中，△月頗為等邊三角形，PA=PB=PC=3,PALPB,則三棱錐。

-44。的外接球的體積為（）

.27c27m

A.-11B.-n

乙乙

C.27小“D.27H

B解析：因為三棱錐月月8。中，△力比為等邊三角形，PA=PB=PC=3,所以△處四

APBg/XPAC.因為陽_L陽，所以用_L/T,PCVPB.以為，PB,/T為過同一頂點的三條棱

作正方體（如圖所示），

則正方體的外接球同時也是三棱錐八力優(yōu)的外接球.因為正方體的體對角線長為

亞H亨=3#,所以其外接球半徑仁羋.因此三棱錐足力比、的外接球的體積1=與

/O

X畫書

2.（2020?全國HI卷）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為3,則該圓錐內(nèi)半徑最大的球

的體積為.

平兀解析：方法一：如圖，在圓錐的軸截面力比中，CDLAB,劭=1,BC=3,圓0

內(nèi)切于△/1以、，E為切點、,連接M則應(yīng)工比：在Rt△加9中，CD=qBd—E『2晚.易知

BE=BD=1,則32.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為此則在‘=2啦一兄在口△4〃:'中，OC-Olt

=比,即（24一巧?一川=4,所以斤=乎，圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為^冗川=乎八

方法二：如圖，記圓錐的軸截面為△/!尻；AC=BC=^,AB=2,CD上AB,在Rt△仇刀

2XS/\ABC

中，g4初一即=2鏡，則S△疵=2小.設(shè)△力8。的內(nèi)切圓。的半徑為R,則——4

OI-JI乙

=乎，所以圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積制：孚兀.

第二節(jié)空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

考試要求：1.借助長方體，抽象出空間點、直線、平面的位置關(guān)系的定義.

2.了解可以作為推理依據(jù)的基本事實和定理.

3.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的位置關(guān)系的簡單命題.

.....―^必備知識-回顧教材重“四基”/—

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.平面的基本性質(zhì)

基本事實1：過不在一條直線上的三個點,有且只有一個平面.

基本事實2：如果一條直線上的兩仝點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在這個平面內(nèi).

微提醒■■■，

三點不一定能確定一個平面.當三點共線時，過這三點的平面有無數(shù)個，所以必須是不

在一條直線上的三點才能確定一個平面.

基本事實3加果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公

共直線.

基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線壬丘.

2.空間中直線與直線的位置關(guān)系

(1)位置關(guān)系的分類

平行直線

共面直線,

相交直線

I異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點

微提醒■■■

1.兩條異面直線不能確定一個平面.

2.不能把異面直線誤解為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線.

(2)異面直線所成的角

①定義：設(shè)a,。是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點。分別作直線a'"a,b'〃"把

直線a'與3所成的角叫做異面直線a與人所成的魚感皿.

②范圍：(0,y.

(3)等角定理：如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)壬紅，那么這兩個角相等或互補.

3.空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系

(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況.

(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況.

4.常用結(jié)論

(1)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行.

(2)過直線外一點有且只有一個平面與已知直線垂直.

(3)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

(4)過平面外一點有且只有一條直線與已知平面垂直.

二、基本技能?思想?活動經(jīng)驗

1.判斷下列說法的正誤，對的打“J”，錯的打“X”.

(1)如果兩個不重合的平面叫6有一條公共直線辦就說平面。，2相交，并記作。

G方=石.(4)

(2)兩個平面%￡有一個公共點兒就說%￡相交于過點力的任意一條直線.

(X)

(3)沒有公共點的兩條直線是異面直線.(X)

(4)若a,。是兩條直線，。，￡是兩個平面.，且aua,kB,則外。是異面直線.

(X)

2.已知a,b是異面直線，直線。平行于直線a,那么。與僅)

A.一定是異面直線

B.一定是相交直線

C.不可能是平行直線

D,不可能是相交直線

c解析：由已知得直線。與。可能為異面直線也可能為相交直線，但不可能為平行直

線.若力〃c,則a〃力，與已知a,方為異面直線相矛盾.

3.如圖所示，在正方體力及＞4合G〃中，E,產(chǎn)分別是力8,力。的中點，則異面直線

與所所成的角的大小為（）

C.60°D.90°

C解析：連接臺4,〃以圖略），則夕〃〃廳；故/〃臺C為所求角，又夕。=〃仁〃

所以/〃笈460°.

4.已知互相垂直的平面。，尸交于直線/.若直線例〃滿足m〃*〃_!_￡,則（）

A.m//1B.m//n

C.n\-lD./?_!_〃

C解析：由已知，cC8=1,所以/u月.又因為〃_L。，所以〃JI，C正確.

5.下列關(guān)于異面直線的說法正確的是.（填序號）

①若癰a,kB,則a與。是異面直線；

②若a與。異面，。與。異面，則a與。異面；

③若a,。不同在平面。內(nèi)，則a與人異面；

④若搭〃不同在任何一個平面內(nèi)，則a與力異面.

④解析：①②③中的兩條直線還有可能平行或相交，由異面直線的定義可知④中說法

正確.

、關(guān)鍵能力-研析考點強“四翼”/

考點1平面的基本性質(zhì)一一綜合性

「典例引領(lǐng)」

例D，⑴在三棱錐小以刀的邊月8BC,CD,加上分別取分F,G,〃四點.如果屈n

HG=P,則點尸（）

A.一定在直線8〃上

B.一定在直線16?上

C.在直線力C或欲上

I).不在直線〃'上，也不在直線〃〃上

B解析：如圖所示，因為EFu平面ABC,Hk平面ACD,EFC\HG=P,所以平面ABC,

莊平面力⑦又因為平面力仇丫1平面小》=然，所以產(chǎn)￡”.

(2)如圖，若直線/與平面。相交于點。，A,BQ],C,DG且力勿〃〃，則。，C,I)

三點的位置關(guān)系是_________.

共線解析：因為AC〃BD,所以力C與劭確定一個平面，記作平面8,則。^|￡=直

線CD.因為7Da=0,所以歸。.乂因為。匕%t6,所以代直線CD,所以。，C,I)

三點共線.

解題通法

共面、共線、共點問題的證明

(1)證明共面的方法：一是先確定一個平面，然后再證其余的線(或點)在這個平面內(nèi)；

二是證明兩平面重合.

(2)證明共線的方法：一是先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上；二

是直接證明這些點都在同一條特定直線上.

(3)證明線共點問題的常用方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經(jīng)過該點.

「多維訓練」

如圖是正方體或四面體，P,Q,R,S分別是所在棱的中點，則這四個點不共面的一個

圖是()

ABCD

I)解析：A、B、C圖中四點一定共面，D中四點不共面.

考點2異面直線所成的角一一綜合性

「典例引領(lǐng)」

例?，已知三棱柱4形4笈G的側(cè)棱與底面邊長都相等，4在底面力隙上的射影為BC

的中點，則異面直線/出與CG所成的角的余弦值為()

B解析：如圖，設(shè)起的中點為〃，連接4〃，柩小B,易知N4力〃即為異面直線/火

與CG所成的角(或其補角).

設(shè)三棱柱力8G力歸G的側(cè)棱與底面邊長均為1,則將平，4修，46=乎.由余弦

乙乙乙

..........1+1」

定理，得cosN4u4^￡力力?力8-2X1X「7

同源異考/

本例的條件改為“在直三棱柱加G48a中，Z/IZ?r=120°,仍=2,BC=CC、=\”,則

異面直線AB-.與BG所成角的余弦值為.

萼解析：把三棱柱.胴G補成四棱柱仍如第幾如圖所示.

連接G〃，BD,則與陽所成的先為/陽〃(或其補角).由題意可知陽=鏡，BD=

^/22+12-2X2X1XCOS60'=#,QD=AB產(chǎn)乖.可知竭+M=G4，所以△陽〃為直

角三角形，所以cos/阿八斗=坐.

勺55

解題通法

用平移法求異面直線所成的角的步驟

(1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角.

(2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角.

(3)三求：解三角形，求出所作的角.如果求出的角是銳角或直角，則它就是耍求的角:

如果求出的角是鈍角，則它的補角才是要求的角.

「多維訓練」

（2021?全國乙卷）在正方體力86948￡〃中，〃為必〃的中點，則直線房與月4所成的

角為（）

JIJT

A?萬B-T

C.D.

46

D解析：方法一：如圖，連接8G,4G,

易知肛〃BG,所以宜線所與/〃所成的角即為直線所與陽所成的角，即/儂.不

妨設(shè)該正方體的校長為2&則陽=2隹石，PC尸PB尸乖a,PB=?P^+B^=#>a,所以必

=P《+PI9,所以NG外=90°,則sin/加G得=親8'所以/雨弋.故選1）.

方法二：如圖，連接48,BG,4G,

易證四邊形"G〃為平行四邊形，所以加〃甯，因此/月瑞為異面直線力與力”所成

的角.易知△4陽為等邊三角形，所以N4附=《.在正方形力由G〃中.因為夕是4〃的

O

中點，所以夕是4G的中點，所以/如G=:N4?G=!.故選D.

ZO

考點3空間兩條直線的位置關(guān)系一一綜合性

「典例引領(lǐng)」

考向1異面直線的判斷

例?，如圖，點N為正方形力伙第的中心，△仇刀是正三角形，平面笈力L平面月閱9,〃

是線段砂的中點，則（）

M

B

'N

A.B\f=EN,且直線用/,以,是相交直線

B.B胖EN,且直線必從磯.是相交直線

C.BM=EN,且直線3優(yōu)仞V是異面直線

D.B/EN,且直線〃/,胡是異面直線

B解析：如圖，取切的中點尸，連接￡尸，EB,BI）,AV,MC.因為為正三角形,

所以牙上⑦設(shè)口?=2,則即=而，做=小.因為點A'是正方形力仍9的中心，所以做=

2^2,AF=1,BCLCD.因為平面比2L平面力仇力，所以覘L平面力仇刀，比上平面ECD,所

以EF1NF,%LCM,所以在RlZ\￡EV中，EN=2,在Rt△欣Z中，BSf=g,所以8吐￡電易

知則EV是相交直線.故選B.

考向2平行或相交直線的判定

例0"如圖，在正方體力以力45G〃中，點￡,廠分別在AC1.,且4￡=2微

CF=2FA,則哥'與做的位置關(guān)系是（）

A.相交但不垂直B.相交且垂直

C.異面D.平行

D解析：如圖，連接'并延長，與4〃交于點M由4￡'=2"，可得"為/!〃的中點.

連接跖并延長，交/。于點A：因為g2刃，可得N為4。的中點，所以機N重合，

UP1up1upup

所以"'和做共面，且亍=不方,=不所以含=片，所以須〃做.

C.LA乙DrLCLADr

解題通法

1.空間中兩直線位置關(guān)系的判定方法

空

司可構(gòu)造

中

西判幾何模

直

段型（長

芳巧

位法方體或

IK正方體）

關(guān)垂直.關(guān)系：利用線面垂直的

系性質(zhì)

2.異面直線的判定定理

平面外一點與平面內(nèi)一點的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線是異面直線.

多維訓練

1.已知空間三條直線/，加，〃，若/與勿異面，且/與〃異面，則（）

A.勿與n異面

B.勿與〃相交

C.勿與〃平行

D.勿與〃異面、相交、平行均有可能

D解析：在如圖所示的長方體中，勿，必與/都異面，但是m〃小，所以A,B錯誤；勿,

生與/都異面，且加，生也異面，所以C錯誤.

2.（多選題）如圖是正四面體（各面均為正三角形）的平面展開圖，C,〃，M"分別為〃夕,

BE,EF,的中點，在這個正四面體中，下列結(jié)論正確的是（）

A.GH與EF平行B.8與JW為異面直線

C.勵與財咸60°角D.施與，腫垂直

BCD解析：把正四面體的平面展開圖還原，如圖所示，G〃與既為異面直線，BD%MN

為異面直線，67/與就V成60°角，DEA.MN.故BCD正確.

3.（多選題）（2022?|缶沂二模）如圖，在正叩棱柱幺戈辦48W2中，E,〃分別是仍,

/%;的中點，則以下結(jié)論中成立的是（）

A.￡尸與如垂直

B.廝與物垂直

C.EF與由異面

D.以?'與4G異面

ABC解析：如圖所示，連接力/,由幾何關(guān)系可得點￡為48的中點，且BF=FC.由

三角形中位線的性質(zhì)可得仔〃力￡,即跖與4G不是異面直線，很明顯，用與⑦異面，由

幾何關(guān)系可得4GJ?做，AC1BD,則E吐瞅,EFIBI）.綜上可得，選項D中的結(jié)論不成

立.故選ABC.

第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)

考試要求：1.能以立體兒何中的定義、基本事實和定理為出發(fā)點，認識和理解空間中

線面平行的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.

2.能運用基本事實、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形中平行關(guān)系的簡單命題.

.....―^必備知識-回顧教材重“四基”/—

一、教材概念?結(jié)論?性質(zhì)重現(xiàn)

1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外一條直線

與此平面內(nèi)的一條直

線平行，則該直線與因為J〃a,aua,

判定定理

此平面平行（簡記為Ka,所以1//a

“線線平行=線面平

行”）

一條直線與一個平面

平行，如果過該直線

因為/〃。，luB,

的平面與此平面相

性質(zhì)定理aAB=b,所以］//

交，那么該直線與交

b

線平行（簡記為“線面

平行=線線平行”）

微提醒■■■

應(yīng)用判定定理時，要注意“內(nèi)”“外”“平行”三個條件必須具備，缺一不可.應(yīng)用性質(zhì)

定理時要體會輔助面的作用.

2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一個平面內(nèi)的兩

條相交直線與另一個/X：/因為a〃￡,bHB,a

判定定理平面平行，那么這兩個Clb=P,aua,/xza,

平面平行（簡記為“線L__/所以a〃￡

面平行n面面平行”）

兩個平面平行，如果另

因為aHB,。GY=

一個平面與這兩個平

性質(zhì)定理a,￡Cy=b,所以a

面相交，那么兩條交線

聿//b

平行

微提醒■■■

判定平面。與平面￡平行時，必須具備兩個條件：（1）平面尸內(nèi)兩條相交直線&即

a,be:a,aCb=P.（2）兩條相交直線a,。都與平面￡平行，即a〃ab"B.

3.常用結(jié)論

（1）兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面.

（2）夾在兩個平行平面之間的平行線段長度相等.

(3)經(jīng)過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行.

(4)兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應(yīng)線段成比例.

(5)同一條直線與兩個平行平面所成角相等.

(6)如果兩個平面分別平行于第三個平面，那么這兩個平面互相平行.

(7)面面平行判定定理的推論：一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)的兩條相交

直線分別對應(yīng)平行，那么這兩個平面平行.

二、基本技能-思想?活動經(jīng)驗

1.判斷下列說法的正誤，對的打“J”，錯的打“X”.

(1)若直線a與平面a內(nèi)無數(shù)條直線平行，則%(X)

(2)如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線平行于另一個平面，那么這兩個平面平行.

(V)

(3)若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面.

(X)

(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線平行或異面.

(J)

2.平面。〃平面日的一個充分條件是()

A.存在一條直線a,a,a"B

B.存在一條直線a,Qa,a"B

C.存在兩條平行直線a,b,<3(=a,Zxz￡,a〃B,b//a

D.存在兩條異面直線&b,au%k8,B,b//a

I)解析：ABC錯誤，兩個平面可能相交.

3.如果直線a〃平面。，那么直線a與平面。內(nèi)的()

A.一條直線不相交

B.兩條直線不相交

C.無數(shù)條直線不相交

D.任意一條直線都不相交

I)解析：因為直線a〃平面叫直線a與平面。無公共點，因此直線a和平面。內(nèi)的

任意一條直線都不相交.故選D.

4.若平面。〃平面￡,直線a〃平面。，點、BW6,則在平面月內(nèi)且過點8的所有直線

中()

A.不一定存在與a平行的直線

B.只有兩條與a平行的直線

C.存在無數(shù)條與a平行的直線

I).存在唯一的與a平行的直線

A解析：當直線a在平面月內(nèi)且過點/，時，不存在與a平行的直線.故選A.

5.如圖，在正方體力^4844中，￡為〃〃的中點，則的與平面力應(yīng)的位置關(guān)系為

平行解析：連接弧設(shè)BDCAC=O,連接血,在△皮見中，E為㈤的中點，0'為BD

的中點，所以￡0為△皮族的中位線，則初〃￡0,而8如平面力函既平面力的所以初

〃平面ACE.

——、關(guān)鍵能力-研析考點強“四翼”/—

考點1直線、平面平行的基本問題一一基礎(chǔ)性

「多維訓練」

1.（2022?上海二模）設(shè)。，￡是兩個不重合的平面，J,/〃是兩條不重合的直線，則“。

//的一個充分不必要條件是（）

A.7ca,//xza旦；〃B,勿〃￡

B.7ca,〃xzB,且/〃/〃

C.IL<?,ml_￡且l//m

D.1〃*勿〃￡,且l//m

C解析：對于A,若/ua,歸a旦1〃B,加〃6,若/,m是平行直線，則它們可

能都平行于。，￡的交線，所以A不正確；對于B,/ca,仁B,且/〃0，可得/,〃，都

平行于a，￡的交線，所以B不正確；對于C,IIa旦1〃m,可得m_L。，再由勿_La,m

_L萬，得到。〃萬，所以AL。，限L6且/〃勿是。〃￡的一個充分不必要條件，所